注釋：在傳統(tǒng)教材中，穩(wěn)定性理論還會介紹適用于線性子系統(tǒng)和非線性子系統(tǒng)串聯(lián)在一起時的分析理論，即絕對穩(wěn)定性理論，考慮到這套理論在自適應控制等的用處，將在以后的自適應部分進行適當介紹。

在經(jīng)典控制理論中，我們介紹過頻率響應方法，但是這種方法不能直接用于非線性系統(tǒng)，因為對于非線性系統(tǒng)來說不能定義頻率響應函數(shù)，然而對于某些非線性系統(tǒng)，可以對頻域方法進行擴展，即后面所說的描述函數(shù)方法，它可以用來近似的分析和預測非線性特性，由于缺乏系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析工具，使得它在實際工作當中不可缺少，在工程應用中描述函數(shù)方法，主要用來預測非線性系統(tǒng)的極限環(huán)。

本文以一個典型的例子入手，展示了怎樣用描述函數(shù)法求解它的極限環(huán)，在過程中展示了描述函數(shù)的求取方法，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合推廣后的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，對非線性系統(tǒng)例子進行了分析，最后補充了描述函數(shù)法的一些缺陷。

這里有人可能會問，為什么要預測極限環(huán)？這是因為，雖然在工程中有少數(shù)部分，我們期望極限環(huán)存在，但對于大部分系統(tǒng)來說，極限環(huán)使得控制的精密度下降，引起硬件機械故障或者其他我們不希望的效果，比如在自動駕駛的飛機里面，導致乘客產(chǎn)生不舒適感。

一、典型例子

對于非線性系統(tǒng)，有一個非常經(jīng)典的方程，范德波爾方程

我們采用一種完全不同的方法再來研究方程，具體來說，我們要確定這個系統(tǒng)是否存在極限環(huán)，如果有，能不能計算出極限環(huán)的幅值和頻率。

為了達到這個目的，首先我們假設(shè)存在一個幅值和頻率不確定的極限環(huán)，然后確定這個系統(tǒng)是否真的有這個解，這種思路類似于微分方程中的待定系數(shù)法

下面展示了一種解決這個問題的方法

首先我們用方框圖把系統(tǒng)表示出來

首先假設(shè)這個系統(tǒng)存在一個極限環(huán)，并且輸入信號具有如下的形式

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這里展示的一種求取極限環(huán)的方法，接下來我們就依據(jù)上面的過程進行分析。

我們首先畫出了系統(tǒng)的方框圖，把系統(tǒng)分成了線性單元和非線性單元，得出了非線性部分的輸出，在此處我們采用了一個關(guān)鍵的步驟，也就是忽略了輸出當中的一些部分，把非線性部分近似的等價于了擬線性部分，并且得出了一個頻域內(nèi)的近似表達式，而這個表達式就是描述函數(shù)。而得到了描述函數(shù)，后續(xù)的極限環(huán)的幅值和頻率可以求取。

二、使用條件

描述函數(shù)法的使用范圍，簡單來說包含兩類重要的系統(tǒng)，第一類系統(tǒng)由幾乎線性的系統(tǒng)組成，所謂幾乎線性就是它的控制回路里含有硬非線性特性，但其他部分都是線性的，所謂硬非線性特性，即不連續(xù)的非線性特性，比如飽和、死區(qū)、開關(guān)、間隙、滯后等，這些在非線性控制的第1篇文章中所提及。第二類系統(tǒng)就是可以拆成由非線性元件和線性元件構(gòu)成的一類非線性系統(tǒng)，

在這基礎(chǔ)上還有這樣幾條假設(shè)：

三、典型的描述函數(shù)

經(jīng)過上面的例子分析，對于描述函數(shù)的算法已經(jīng)清楚了，描述函數(shù)的核心就是非線性部分的輸出的傅里葉變換后只取基波分量，然后比上輸入正弦量。下面總結(jié)了常見的非線性特性的描述函數(shù)：

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四、用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

我們得到了描述函數(shù)，接下來就可以用它來分析系統(tǒng)，在第一部分里使用的例子表明了這一點，但例子里展示的方法，尤其是預測極限環(huán)時，有些地方?jīng)]有解釋。顯得沒有理論依據(jù)，這部分就進行這個工作。

我們可以將奈奎斯特判據(jù)進行推廣：（過程在鏈接里）

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另外需要補充一點

五、實際例子

得到了描述函數(shù)和推廣的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)就可以針對實際問題進行處理，進一步強化對于上面理論工具的認識，以及在實際應用中需要注意的問題。(比如軌線的畫法)

六、描述函數(shù)方法的可靠性

經(jīng)過長期實踐，人們發(fā)現(xiàn)描述函數(shù)法可以有效解決大量與極限環(huán)有關(guān)的實際控制問題，但是它也有可能造成以下三種不準確性，比如所預測的極限環(huán)的幅值和頻率不精確，預測有極限環(huán)，但實際不存在，或者存在預測不到的極限環(huán)。

第1類不準確性經(jīng)常存在，但是影響不大，我們重點關(guān)注的是第2類和第3類不準確性。這牽扯到描述函數(shù)法的核心功能

因此，需要在傳統(tǒng)的描述函數(shù)法上加上兩個檢驗條件

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的控制是否展示_非线性控制（四）描述函数法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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