Title

給定 n 個非負整數(shù)，用來表示柱狀圖中各個柱子的高度。每個柱子彼此相鄰，且寬度為 1 。

求在該柱狀圖中，能夠勾勒出來的矩形的最大面積。

以上是柱狀圖的示例，其中每個柱子的寬度為 1，給定的高度為 [2,1,5,6,2,3]。

圖中陰影部分為所能勾勒出的最大矩形面積，其面積為 10 個單位。

示例:

輸入: [2,1,5,6,2,3]
輸出: 10

Solve

Violence

暴力的方法就比較好寫了，直接枚舉矩形的寬和高，其中寬表示矩形貼著柱狀圖底邊的寬度，高表示矩形在柱狀圖上的高度。

雙重循環(huán)枚舉矩形的左右邊界以固定寬度w，高度為所有包含在內(nèi)柱子的最小高度h，對應(yīng)的面積為w * h：

def largestRectangleArea_Violence_Width(self, heights: List[int]) -> int:ans, length = 0, len(heights)for i in range(length):minHeight = max(heights)for j in range(i, length):minHeight = min(minHeight, heights[j])ans = max((j - i + 1) * minHeight, ans)return ans

還有一種暴力枚舉的方法，我們使用兩層循環(huán)枚舉寬，其實可以通過一層循環(huán)枚舉高，將其固定為矩形的高度h，然后從這根柱子開始向兩側(cè)延伸，直到遇到高度小于h的柱子，就確定了矩形的左右邊界，即寬w，對應(yīng)的面積就是w * h：

def largestRectangleArea_Violence_Height(self, heights: List[int]) -> int:ans, length = 0, len(heights)for middle in range(length):height = heights[middle]left, right = middle, middlewhile left - 1 > -1 and heights[left - 1] >= height:left -= 1while right + 1 < length and heights[right + 1] >= height:right += 1ans = max(ans, (right - left + 1) * height)return ans

兩種暴力枚舉方法的時間復(fù)雜度均為O(N²)，會超出時間顯示，枚舉寬度的方法使用了兩層循環(huán)，沒有什么優(yōu)化的空間了，所以只能優(yōu)化枚舉高度的一層循環(huán)。

單調(diào)棧

如果有兩根柱子j₀和j₁，其中j₀在j₁的左側(cè)，并且j₀的高度大于等于j₁，那么在后面的柱子i向左找小于其高度柱子時，j₁會擋住j₀。

這樣以來，可以對數(shù)組從左向右進行遍歷，同時維護一個可能答案的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中按照從小到大的順序存放一些j值，如果我們存放了j₀，j₁，…，j_s，一定有heights[j₀]<heights[j₁]<…<heights[j_s]。

當我們枚舉到第i根柱子時，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中存放了j₀，j₁，…，j_s，如果第i根柱子左側(cè)且最近的小于其高度的柱子為j_i，那么必然有：
$$height[j_0]<height[j_1]<?<height[j_i]<height[i]\le height[j_{i+1}]<?<height[j_s]$$
當我們枚舉到i+1時，原來的i也變成了j值，因此i會被放入數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。由于所有在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的j值均小于i，那么所有高度大于等于height[i]的j都不會作為答案，需要從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中移除，恰好就是j_i+1,…,j_s。

這樣我們在枚舉到第 i 根柱子的時候，就可以先把所有高度大于等于 height[i] 的 j 值全部移除，剩下的 j 值中高度最高的即為答案。

在這之后，我們將 i 放入數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，開始接下來的枚舉。此時，我們需要使用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也就呼之欲出了，它就是棧。

• 棧中存放了 j 值。從棧底到棧頂，j 的值嚴格單調(diào)遞增，同時對應(yīng)的高度值也嚴格單調(diào)遞增；
• 當我們枚舉到第 i 根柱子時，我們從棧頂不斷地移除 height[j]≥height[i] 的 j 值。在移除完畢后，棧頂?shù)?j 值就一定滿足 height[j]<height[i]，此時 j 就是 i 左側(cè)且最近的小于其高度的柱子。
  • 如果我們移除了棧中所有的 j 值，那就說明 i 左側(cè)所有柱子的高度都大于 height[i]，可以認為 i 左側(cè)且最近的小于其高度的柱子在位置 j=-1，一根「虛擬」的、高度無限低的柱子。
• 再將 ii 放入棧頂

棧中存放的元素具有單調(diào)性，這就是經(jīng)典的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)「單調(diào)棧」了。

例子：[6,7,5,2,4,5,9,3]

初始時的棧為空。

6：因為棧為空，所以 6 左側(cè)的柱子是「哨兵」，位置為 -1。隨后我們將 6 入棧。

• 棧：[6(0)]。（這里括號內(nèi)的數(shù)字表示柱子在原數(shù)組中的位置）

7：由于 6<7，因此不會移除棧頂元素，所以 6 左側(cè)的柱子是 7，位置為 0。隨后我們將 7 入棧。

• 棧：[6(0), 7(1)]

5：由于 7≥5，因此移除棧頂元素 7。同樣地，6≥5，再移除棧頂元素 6。此時棧為空，所以 5 左側(cè)的柱子是「哨兵」，位置為 ?1。隨后我們將 5 入棧。

• 棧：[5(2)]

2：移除棧頂元素 5，得到 2 左側(cè)的柱子是「哨兵」，位置為 ?1。將 2 入棧。

• 棧：[2(3)]

4，5 和 9：不會移除任何棧頂元素，得到它們左側(cè)的柱子分別是 2，4 和 5，位置分別為 3，4 和 5。將它們?nèi)霔！?/p>

• 棧：[2(3), 4(4), 5(5), 9(6)]

3：依次移除棧頂元素 9，5 和 4，得到 3 左側(cè)的柱子是 2，位置為 3。將 3 入棧。

• 棧：[2(3), 3(7)]

這樣以來，我們得到它們左側(cè)的柱子編號分別為 [-1, 0, -1, -1, 3, 4, 5, 3]。用相同的方法，我們從右向左進行遍歷，也可以得到它們右側(cè)的柱子編號分別為 [2, 2, 3, 8, 7, 7, 7, 8]，這里我們將位置 8 看作「哨兵」。

每一個位置只會入棧一次（在枚舉到它時），并且最多出棧一次。因此當我們從左向右/總右向左遍歷數(shù)組時，對棧的操作的次數(shù)就為 O(N)。所以單調(diào)棧的總時間復(fù)雜度為 O(N)。

Code

def largestRectangleArea_MonotoneStack(self, heights: List[int]) -> int:length = len(heights)left, right = [0] * length, [0] * lengthmonotoneStack = list()for i in range(length):while monotoneStack and heights[monotoneStack[-1]] >= heights[i]:monotoneStack.pop()left[i] = monotoneStack[-1] if monotoneStack else -1monotoneStack.append(i)monotoneStack = list()for i in range(length - 1, -1, -1):while monotoneStack and heights[monotoneStack[-1]] >= heights[i]:monotoneStack.pop()right[i] = monotoneStack[-1] if monotoneStack else lengthmonotoneStack.append(i)ans = max((right[i] - left[i] - 1) * heights[i] for i in range(length)) if length > 0 else 0return ans

總結(jié)

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