主要內(nèi)容：

1、引言

2、高斯消去法

3、直接分解法

4、解線性方程組的迭代法

5、向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及迭代法的收斂性

第一節(jié) 引言

用克拉姆求解線性方程組

第二節(jié) 高斯消去法

高斯消去法是一種古老的直接法，其基本思想是通過消元將線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化成三角形式方程組的求解問題。

1、上三角形方程組

則上方程組可以寫成矩陣形式：

Ux=b

當(dāng) det(U) ≠0時，即aii≠0時，方程組有唯一解。

求解上述方程組：

一般地，假設(shè)已經(jīng)求得xn,xn-1....xi+1，帶入第i 個方程得到：

此過程稱為回代過程。

2、回代過程的計(jì)算量

（1）乘除法運(yùn)算次數(shù)

（2）加減法運(yùn)算次數(shù)

第二節(jié) 高斯消去法

1、高斯消去法：

對一般的n階方程組，消去過程分n-1步：第一步消去a11下方元素，第二步消去a22下方元素，……，第n-1步消去an-1,n-1下方元素。

具體步驟如下：

第一步消元：

第二步消元：

.........

.........

第k步消元：

第n－1步后：

2.列主元高斯消去法

高斯消去法消去過程中，第k步求n-k個倍數(shù)用到的除數(shù)，稱為主元。它若為零或接近于零，計(jì)算機(jī)將“溢出”而停止計(jì)算，或產(chǎn)生較大誤差。

準(zhǔn)確到九位小數(shù)的解是x1=0.250 001 875，x2=0.499 998 749，若在4位計(jì)算機(jī)上按高斯消去法求解

回代解得 x2=0.5， x1=0，顯然嚴(yán)重失真。

造成這種結(jié)果的原因，就是小主元的出現(xiàn)。用它做除數(shù)產(chǎn)生大乘數(shù)，出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)產(chǎn)生舍入誤差

解決方法：為了避免出現(xiàn)小主元，可在第k步的第k列的元素 中選主元，即在其中找出絕對值最大的元素

然后交換第k和第p行，繼續(xù)進(jìn)行消去過程。交換行相當(dāng)于改變方程順序，不會影響原方程組的解。這種消去法稱為列主元消去法。

第三節(jié)、直接分解法

第四節(jié)、解線性方程組的迭代法

1、迭代法的基本思想

設(shè)有線性代數(shù)方程組：

a11 x1+a12 x2+····+a1n xn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

用矩陣表示： Ax =b

其中A 為系數(shù)矩陣，非奇異且設(shè)aii≠0；b為右端常數(shù)項(xiàng)，x為解向量

則方程組的一個等價變換為：x=Bx+f

任取初始向量x(0)，按照下列公式構(gòu)造迭代序列：

2、迭代公式：

迭代矩陣：B

3.不同的迭代矩陣構(gòu)成不同的迭代法，介紹兩種迭代法：

雅可比迭代法

高斯-賽德爾迭代法

4.雅可比迭代法

公式推導(dǎo)：

a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

. . . . . .

an1x1+an2x2+····+annxn=bn

5.高斯-賽德爾迭代法

第五節(jié) 向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及迭代法收斂性

向量范數(shù)和矩陣范數(shù)是研究迭代法及其收斂性、估計(jì)方程組近似解的誤差的一種有力工具。

1、向量范數(shù)

定義：（1）絕對值

范數(shù)的最簡單的例子，是絕對值函數(shù)

（2）范數(shù)的另一個簡單例子是二維歐氏空間的長度

（3）設(shè)x = (x1, x2,…, xn)T，則有：

——向量的1范數(shù)：

——向量的2范數(shù)

——向量的無窮范數(shù)：

例題：

設(shè)x=[1 2 3]T，求x的1范數(shù)，2范數(shù)和無窮范數(shù)

解：根據(jù)定義可以得到：

2、矩陣范數(shù)

定義：

對于任意n 階方陣A，按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，記為||A||，若||A||滿足：

（1）正定：

（2）

（3）

則||A||稱為矩陣A的范數(shù)

矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性

對于任意的n 維向量x，都有：

這一性質(zhì)稱為矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性。

常用的矩陣范數(shù)：

注釋：矩陣B的特征值表示為

則特征值的最大絕對值稱為B的譜半徑，記為：

則矩陣的2范數(shù)其實(shí)為AAT的譜半徑的平方根。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的qr分解求线性方程组_计算方法/数值分析第三章 线性方程组的数值解法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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