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概述

在對汽車結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)有限元分析時，無論是瞬態(tài)問題還是頻響問題，都經(jīng)常使用模態(tài)疊加法。

模態(tài)疊加法動力學(xué)分析是常規(guī)模態(tài)分析的自然擴(kuò)展，它利用結(jié)構(gòu)振型來縮減問題求解規(guī)模，從而使數(shù)值求解更為高效。

模態(tài)疊加法首先計算結(jié)構(gòu)的各階固有頻率和振型，然后把有限元節(jié)點(diǎn)的位移變換為模態(tài)坐標(biāo)(實(shí)旨是各階模態(tài)在總響應(yīng)中的占比)，從而將動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為一系列非耦合的單自由度方程：?

ξξ求解這些單自由度方程，得到各階模態(tài)坐標(biāo)?ξ?，再將各階模態(tài)坐標(biāo)與其振型相乘疊加，即可得到各節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)。進(jìn)而可得到各個部位的應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng)。

大多數(shù)情況下我們都是對無約束結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，所涉及的模態(tài)是自由模態(tài)。而自由模態(tài)又包含剛體自由模態(tài)和彈性自由模態(tài)。

在模態(tài)分析環(huán)節(jié)，我們有時將模態(tài)分解的起始頻率設(shè)置為0或者負(fù)值，這樣得到的模態(tài)結(jié)果中包含了各階剛體模態(tài)，后續(xù)利用模態(tài)疊加得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)體現(xiàn)了剛體模態(tài)的貢獻(xiàn)。有時則將模態(tài)分解的起始頻率設(shè)置為大于0的數(shù)值(通常用1.0),令求解器不提取各階剛體模態(tài)，計算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)也就忽略了剛體模態(tài)的貢獻(xiàn)。

常見的白車身原點(diǎn)動剛度(IPI)分析、車身振動傳函(VTF)分析、車身噪聲傳函(NTF)分析、基于時域載荷譜的瞬態(tài)動應(yīng)力分析以及基于頻域載荷的隨機(jī)響應(yīng)分析，一般都是采用模態(tài)疊加法。在這些分析中，剛體模態(tài)何時應(yīng)當(dāng)考慮，何時應(yīng)當(dāng)忽略，目前行業(yè)內(nèi)似乎沒有定論。本文將對這一問題進(jìn)行探討。

02

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彈性自由模態(tài)的物理意義

彈性自由模態(tài)表征的是結(jié)構(gòu)無外界激勵和無阻尼條件下的自由振動。彈性自由模態(tài)有一個特性幾乎未被文獻(xiàn)提及，即：結(jié)構(gòu)按某階彈性自由模態(tài)做自由簡諧振動時，結(jié)構(gòu)的總動量和總角動量恒定為0。

我未在教科書或文獻(xiàn)中找到上述特性的證明過程，所以在本文將做一個比較詳細(xì)的證明。

一個包含n個節(jié)點(diǎn)(3n個自由度)的無約束有限元模型，它的某一階彈性模態(tài)振型矢量為?φ?，對應(yīng)的固有圓頻率為?ω?，結(jié)構(gòu)按該階模態(tài)做自由振動，則其節(jié)點(diǎn)速度列陣為?

φωω()

其中??和?φ?都是3n階矢量，?φφφφφφφφφφ?。

這n個節(jié)點(diǎn)的動量所構(gòu)成的列陣為?

φωω()其中??為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，節(jié)點(diǎn)動量列陣??也是3n階矢量。

將n個節(jié)點(diǎn)的動量相加，就可以得到結(jié)構(gòu)總動量??，?

φωω

?φωω?

其中??、??和??都是3n階矢量列陣，跟據(jù)其定義可知，它們分別是結(jié)構(gòu)沿X、Y和Z向做剛體平動，平動單位距離后的節(jié)點(diǎn)位移列陣。即??、??和??實(shí)質(zhì)是三個剛體平動模態(tài)，對應(yīng)的固有頻率為0。

固有頻率不同的兩個模態(tài)矢量關(guān)于質(zhì)量矩陣??必然相互正交，所以，??

φφφ()將式(5)代入式(4)，得?

()即結(jié)構(gòu)按某階彈性自由模態(tài)做自由簡諧振動時，總動量始終為0。

接下來我們來證明，結(jié)構(gòu)按振型?φ?和固有圓頻率?ω?為做自由簡諧振動時，結(jié)構(gòu)的總角動量始終為0。

式(3)給出了節(jié)點(diǎn)動量列陣，我們可以進(jìn)一步計算出結(jié)構(gòu)繞某固定點(diǎn)的總角動量。

我們首先計算第i節(jié)點(diǎn)繞固定點(diǎn)的角動量??，為3階矢量。?()其中??為第i節(jié)點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離矢量，??為第i節(jié)點(diǎn)的動量，均為三階矢量。

對所有n個節(jié)點(diǎn)的角動量矢量求和，即可得到總的角動量??，也為三階矢量。

φωω?

φωω()上式中 ，??，??和??都是3n階矢量列陣，跟據(jù)其定義可知，它們分別是結(jié)構(gòu)繞固定點(diǎn)以X、Y和Z方向為軸向旋轉(zhuǎn)所形成的節(jié)點(diǎn)位移列陣，即??，??和??實(shí)質(zhì)是三個剛體轉(zhuǎn)動模態(tài)。這三個剛體模態(tài)與彈性模態(tài)?φ?關(guān)于質(zhì)量矩陣??正交，所以

φφφ()將式(9)代入式(8)，得?

()即結(jié)構(gòu)按某階彈性自由模態(tài)做自由振動時，結(jié)構(gòu)總角動量始終為0。

上述結(jié)論也可從物理上簡證，結(jié)構(gòu)按某階彈性自由模態(tài)做自由振動時，結(jié)構(gòu)上所有的點(diǎn)同時達(dá)到最大振幅，此時各點(diǎn)的速度為0，即此時結(jié)構(gòu)總動量和角總動量均為0。結(jié)構(gòu)未受任何外力和外力矩作用，振動過程中結(jié)構(gòu)的總動量和總角動量必然保持恒定。所以振動過程中結(jié)構(gòu)的總動量和總角動量始終為0。

結(jié)構(gòu)的總動量始終為0，意味著結(jié)構(gòu)質(zhì)心始終保持靜止，結(jié)構(gòu)的振動不包含隨質(zhì)心的平動；結(jié)構(gòu)總動量矩始終為0，意味著結(jié)構(gòu)的運(yùn)動不包含繞質(zhì)心的整體轉(zhuǎn)動。

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剛體模態(tài)的物理意義

一個無約束的空間三維結(jié)構(gòu)，它有六階相互獨(dú)立的剛體模態(tài)。任一階剛體模態(tài)都是三向隨質(zhì)心平動模態(tài)和三向繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動模態(tài)的線性組合。

如果結(jié)構(gòu)按照某階剛體模態(tài)??發(fā)生位移，則此時結(jié)構(gòu)無彈性變形，不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，外載荷為0，即?

()其中??為結(jié)構(gòu)的剛度陣。

我們進(jìn)行模態(tài)分析，實(shí)質(zhì)是求解廣義特征值問題，?

ω比較公式(11)和(12)，可知當(dāng)?ω?為0時，剛體模態(tài)??能夠使公式(12)成立。所以剛體模態(tài)的固有頻率為0。實(shí)際有限元分析中，因為運(yùn)算誤差，計算出的剛體模態(tài)固有頻率并非絕對為0，但必定是非常接近0的一個數(shù)值。

剛體模態(tài)表征的是無約束結(jié)構(gòu)的剛體位移。在基于模態(tài)疊加法的動力學(xué)分析中，剛體模態(tài)和彈性模態(tài)有明確分工。彈性模態(tài)用來描述是結(jié)構(gòu)相對于質(zhì)心的變形，質(zhì)心位移始終為0，結(jié)構(gòu)也不發(fā)生繞質(zhì)心的總體轉(zhuǎn)動。而剛體模態(tài)用來描述結(jié)構(gòu)隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，結(jié)構(gòu)只有剛體移動但無彈性變形。

各階剛體模態(tài)疊加所體現(xiàn)的剛體運(yùn)動由外載荷合力和合力矩、結(jié)構(gòu)總質(zhì)量和總轉(zhuǎn)動慣量決定，與載荷的分布形式、結(jié)構(gòu)具體質(zhì)量分布無關(guān)。

按照以上分工，我們就可針對具體問題來討論分析中應(yīng)當(dāng)保留還是忽略剛體模態(tài)。

04

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關(guān)于車身VTF分析

車身振動傳函分析，即車身VTF分析，主要用于校核車身關(guān)鍵板件的剛度是否合乎要求。車身VTF分析在動力總成懸置點(diǎn)或者懸架接附點(diǎn)施加單位簡諧力，考察關(guān)鍵壁板處的響應(yīng)，如前后座椅導(dǎo)軌安裝點(diǎn)、前壁板踏板安裝點(diǎn)、乘員腳部位置等，如圖1。

圖1 座椅導(dǎo)軌安裝點(diǎn)為VTF分析的響應(yīng)點(diǎn)

車身VTF分析的目的是控制關(guān)鍵板件在接附點(diǎn)激勵下的變形，所以只需要考慮各階彈性模態(tài)，忽略掉那些不含彈性變形的剛體模態(tài)。因此我們應(yīng)該將模態(tài)分解的起始頻率設(shè)置為1.0。

TB車身VTF分析，有時還用來考察內(nèi)飾板卡扣及IP部件卡扣連接點(diǎn)的速度響應(yīng)，為內(nèi)飾件異響控制提供參考，如圖2。

圖2 儀表板卡扣連接點(diǎn)作為響應(yīng)點(diǎn)

卡扣異響是來源于卡扣所連接的兩個部件之間的相對運(yùn)動。剛體模態(tài)所描述的運(yùn)動中，部件之間沒有任何相對變形和相對運(yùn)動，不可能產(chǎn)生摩擦和接觸，所以不會產(chǎn)生異響。因此用于卡扣異響控制的VTF分析也應(yīng)該忽略剛體模態(tài)。

車身的振動傳函可用試驗方法測得，試驗測試通常不會刻意去除剛體模態(tài)的影響，所以試驗結(jié)果包含了剛體模態(tài)的貢獻(xiàn)。如果我們要將仿真結(jié)果與試驗結(jié)果對標(biāo)，在仿真分析中應(yīng)該考慮剛體模態(tài)，此時模態(tài)分解的下限應(yīng)設(shè)置為0。

實(shí)際上，因為TB車身的總質(zhì)量和總轉(zhuǎn)動慣量都很大，在簡諧激勵下，剛體模態(tài)的貢獻(xiàn)在結(jié)構(gòu)響應(yīng)中所占的比例非常小。對TB車身而言，模態(tài)分解的起始點(diǎn)設(shè)置成0或者1.0，對結(jié)果影響并不大，但對于一些質(zhì)量和慣量較小的部件，剛體模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響就無法忽略。

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關(guān)于車身NTF分析

車身噪聲傳函分析，即車身NTF分析，不僅需要內(nèi)飾車身的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，還需要如圖3所示的艙內(nèi)聲腔網(wǎng)格，并且要在二者之間建立耦合關(guān)系。NTF分析也是在動力總成懸置點(diǎn)或者懸架接附點(diǎn)施加單位簡諧激勵，考察關(guān)鍵位置的聲壓響應(yīng)，響應(yīng)點(diǎn)一般是駕駛員或乘員的耳部位置。

結(jié)構(gòu)和聲腔的交界面上有以下耦合關(guān)系：

圖3 NTF分析所需的聲腔網(wǎng)格?

ρ()其中，?ρ?為空氣密度，??為結(jié)構(gòu)單元的法向振動加速度。

根據(jù)上式可知，無論車身結(jié)構(gòu)是否發(fā)生彈性變形，只要結(jié)構(gòu)單元有法向加速度，就將對聲腔產(chǎn)生激勵，從而在響應(yīng)點(diǎn)處產(chǎn)生聲壓。

也就是說，車身的剛體運(yùn)動雖然不產(chǎn)生彈性變形和應(yīng)力應(yīng)變，但能使結(jié)構(gòu)-聲腔交界面產(chǎn)生法向加速度，所以仍能導(dǎo)致聲壓響應(yīng)。

如果車身結(jié)構(gòu)發(fā)生了設(shè)計變更，只要車身的質(zhì)量和慣量無變化，則車身的剛體運(yùn)動不會發(fā)生改變。但車身結(jié)構(gòu)的改變有可能導(dǎo)致交界面的幾何和聲腔本身幾何發(fā)生變化，車身剛體運(yùn)動所導(dǎo)致的聲壓響應(yīng)也會發(fā)生變化。

總之，車身剛體運(yùn)動能夠?qū)е侣晧喉憫?yīng)，而且還能部分體現(xiàn)結(jié)構(gòu)幾何變更對聲壓響應(yīng)的影響。所以我們在進(jìn)行車身NTF分析時，不應(yīng)忽略結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)，結(jié)構(gòu)模態(tài)分解的起始頻率應(yīng)設(shè)置為0。

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關(guān)于IPI分析

源點(diǎn)動剛度分析，又叫IPI分析，是在結(jié)構(gòu)的接附點(diǎn)沿某個方向施加單位簡諧力，然后考察接附點(diǎn)在該方向的位移或者加速度幅值，通常也是采用模態(tài)疊加法。

IPI分析所考察的接附點(diǎn)是結(jié)構(gòu)與其他部件發(fā)生柔性連接的點(diǎn)。柔性連接處的剛度遠(yuǎn)低于兩側(cè)的結(jié)構(gòu)，所以兩側(cè)結(jié)構(gòu)振動的傳遞在此處中斷。這就意味著我們認(rèn)為結(jié)構(gòu)在接附點(diǎn)處不受位移約束，僅受外載荷激勵。

IPI分析常用于車身，有時也用于副車架和懸架部件。

白車身IPI分析主要是考察接附點(diǎn)在激勵力方向的位移幅值，控制住了位移幅值，就相當(dāng)于控制住了一個周期內(nèi)激勵能量輸入的上限。位移幅值既包含彈性變形的貢獻(xiàn)，也包含剛體運(yùn)動的貢獻(xiàn)，所以在模態(tài)分解時應(yīng)當(dāng)考慮剛體模態(tài)。

白車身IPI分析雖然叫動剛度分析，但它的最終目的不是控制結(jié)構(gòu)剛度，而是控制噪聲傳函。白車身IPI分析實(shí)質(zhì)是車身NTF分析的前奏(對于乘用車，一般要求車身與底盤的接附點(diǎn)達(dá)到0.01Pa/N的NTF,經(jīng)驗表明，為實(shí)現(xiàn)這個NTF目標(biāo)，接附點(diǎn)主方向動剛度達(dá)到10000N/mm是比較穩(wěn)妥的)。前面已經(jīng)討論過,車身的剛體運(yùn)動會影響NTF結(jié)果，從這個角度考慮，我們在車身IPI分析中考慮剛體模態(tài)是合理的。

對于副車架，按道理應(yīng)該將其裝到車身模型上，再進(jìn)行IPI分析。但是在研發(fā)的初期，一般不會有成熟的車身模型可用，副車架與車身的連接襯套剛度也不易確定，所以仍需要對自由狀態(tài)的副車架做IPI分析。

副車架IPI分析與白車身IPI分析有所不同。副車架剛度很大，不易發(fā)生彈性變形，且副車架的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量都遠(yuǎn)小于白車身，所以在單位簡諧激勵下，無約束副車架的響應(yīng)中有相當(dāng)大比例為剛體運(yùn)動。但是，副車架在裝車狀態(tài)會受到車身約束，實(shí)際工作過程并沒有多少剛體運(yùn)動。

對單獨(dú)副車架做IPI分析，主要目的是考察副車架本體在動載荷作用下抵抗變形的能力。如果我們在分析中考慮了剛體模態(tài)，則接附點(diǎn)的響應(yīng)中剛體運(yùn)動將占據(jù)很大一部分，有可能掩蓋了彈性變形的貢獻(xiàn)，使我們得到錯誤的結(jié)論。

下面我們用一個算例來說明。一個如圖4所示的副車架，對于某一接附點(diǎn)的Z方向做IPI分析，模態(tài)分解起始頻率設(shè)為0。然后我們改變副車架的狀態(tài)，將剛度提升10%，質(zhì)量減少30%(通過彈性模量提升10%、材料密度減少30%來實(shí)現(xiàn))，按同樣設(shè)置做IPI分析。對于原狀態(tài)和新狀態(tài)分別得到位移幅值隨頻率的曲線，如圖5。

圖4 副車架模型

圖5 考慮剛體模態(tài)的副車架IPI結(jié)果(模態(tài)分解起始頻率為0)

新狀態(tài)提升了副車架剛度，增加了抵抗變形能力，且實(shí)現(xiàn)了輕量化，按道理是明顯優(yōu)于原狀態(tài)的。但是由于新狀態(tài)質(zhì)量和慣量減少，剛體運(yùn)動幅度大于原狀態(tài)，所以在中低頻段新狀態(tài)的位移幅值大于原狀態(tài)。根據(jù)圖5中的曲線結(jié)果，新狀態(tài)在50-200Hz頻段上的平均動剛度明顯低于原狀態(tài)，我們無法判定新狀態(tài)具有優(yōu)勢，反而會得出新狀態(tài)不如原狀態(tài)的結(jié)論。

將模態(tài)分解的起始頻率設(shè)置為5.0，忽略掉剛體模態(tài)的影響，只考慮副車架的彈性變形，分別得到原狀態(tài)和新狀態(tài)的IPI曲線，如圖6所示。因為新狀態(tài)的結(jié)構(gòu)剛度大，剔除了剛體運(yùn)動后，新狀態(tài)的接附點(diǎn)位移幅值在大部分頻段都明顯低于原狀態(tài)。根據(jù)圖6的結(jié)果，我們可以確認(rèn)新狀態(tài)的平均動剛度更高，相比原狀態(tài)有優(yōu)勢。

圖6 不考慮剛體模態(tài)的副車架IPI結(jié)果(模態(tài)分解起始頻率為5)

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結(jié)語

在基于模態(tài)疊加法的動力學(xué)分析中，剛體模態(tài)和彈性模態(tài)有明確分工。彈性模態(tài)用來描述是結(jié)構(gòu)相對于質(zhì)心的變形，質(zhì)心位移始終為0，結(jié)構(gòu)也不發(fā)生繞質(zhì)心的總體轉(zhuǎn)動。而剛體模態(tài)用來描述結(jié)構(gòu)隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，結(jié)構(gòu)只有剛體移動但無彈性變形。按照這個分工，我們就可針對具體問題來確定應(yīng)當(dāng)保留還是忽略剛體模態(tài)。

車身VTF分析用來控制關(guān)鍵板件在接附點(diǎn)激勵下的彈性變形，或者是控制卡扣所連接的部件之間的相對運(yùn)動。而剛體模態(tài)不體現(xiàn)彈性變形和部件相對運(yùn)動。所以車身VTF分析應(yīng)當(dāng)忽略剛體模態(tài)。

在車身NTF分析中，車身結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動能夠?qū)е侣晧喉憫?yīng)，而且還能部分體現(xiàn)車身結(jié)構(gòu)幾何變化對聲壓響應(yīng)的影響。所以在進(jìn)行車身NTF分析時，應(yīng)當(dāng)考慮車身剛體模態(tài)。

白車身IPI分析主要是考察接附點(diǎn)在激勵力方向的位移幅值，以控制噪聲能量輸入。位移幅值既包含彈性變形的貢獻(xiàn)，也包含剛體運(yùn)動的貢獻(xiàn)，所以我們在模態(tài)分解時應(yīng)當(dāng)考慮剛體模態(tài)。

對單獨(dú)副車架做IPI分析，主要目的是考察副車架在動載荷作用下抵抗變形的能力。在接附點(diǎn)的響應(yīng)中，副車架的剛體運(yùn)動占據(jù)了很大一部分，有可能掩蓋了彈性變形的貢獻(xiàn)。因此對于單獨(dú)副車架的IPI分析，應(yīng)當(dāng)忽略剛體模態(tài)。

作者簡介

王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車結(jié)構(gòu)CAE分析專家。重慶市科協(xié)成員、《計算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項目評審專家。專業(yè)領(lǐng)域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發(fā)與仿真計算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動化等。王朋波私人微信：poplewang。

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總結(jié)

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