***一文搞懂HMM（隱馬爾可夫模型）***

簡單來說，熵是表示物質(zhì)系統(tǒng)狀態(tài)的一種度量，用它老表征系統(tǒng)的無序程度。熵越大，系統(tǒng)越無序，意味著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)的不確定和無規(guī)則；反之，，熵越小，系統(tǒng)越有序，意味著具有確定和有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。熵的中文意思是熱量被溫度除的商。負(fù)熵是物質(zhì)系統(tǒng)有序化，組織化，復(fù)雜化狀態(tài)的一種度量。

熵最早來原于物理學(xué). 德國物理學(xué)家魯?shù)婪颉た藙谛匏故状翁岢鲮氐母拍?#xff0c;用來表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度，能量分布得越均勻，熵就越大。

一滴墨水滴在清水中，部成了一杯淡藍(lán)色溶液

熱水晾在空氣中，熱量會(huì)傳到空氣中，最后使得溫度一致

更多的一些生活中的例子:

熵力的一個(gè)例子是耳機(jī)線，我們將耳機(jī)線整理好放進(jìn)口袋，下次再拿出來已經(jīng)亂了。讓耳機(jī)線亂掉的看不見的“力”就是熵力，耳機(jī)線喜歡變成更混亂。

熵力另一個(gè)具體的例子是彈性力。一根彈簧的力，就是熵力。 胡克定律其實(shí)也是一種熵力的表現(xiàn)。

萬有引力也是熵力的一種(熱烈討論的話題)。

渾水澄清[1]

于是從微觀看，熵就表現(xiàn)了這個(gè)系統(tǒng)所處狀態(tài)的不確定性程度。香農(nóng)，描述一個(gè)信息系統(tǒng)的時(shí)候就借用了熵的概念，這里熵表示的是這個(gè)信息系統(tǒng)的平均信息量(平均不確定程度)。

最大熵模型

我們在投資時(shí)常常講不要把所有的雞蛋放在一個(gè)籃子里，這樣可以降低風(fēng)險(xiǎn)。在信息處理中，這個(gè)原理同樣適用。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)原理稱為最大熵原理(the maximum entropy principle)。

讓我們看一個(gè)拼音轉(zhuǎn)漢字的簡單的例子。假如輸入的拼音是"wang-xiao-bo"，利用語言模型，根據(jù)有限的上下文(比如前兩個(gè)詞)，我們能給出兩個(gè)最常見的名字“王小波”和“王曉波 ”。至于要唯一確定是哪個(gè)名字就難了，即使利用較長的上下文也做不到。當(dāng)然，我們知道如果通篇文章是介紹文學(xué)的，作家王小波的可能性就較大；而在討論兩岸關(guān)系時(shí)，臺灣學(xué)者王曉波的可能性會(huì)較大。在上面的例子中，我們只需要綜合兩類不同的信息，即主題信息和上下文信息。雖然有不少湊合的辦法，比如：分成成千上萬種的不同的主題單獨(dú)處理，或者對每種信息的作用加權(quán)平均等等，但都不能準(zhǔn)確而圓滿地解決問題，這樣好比以前我們談到的行星運(yùn)動(dòng)模型中的小圓套大圓打補(bǔ)丁的方法。在很多應(yīng)用中，我們需要綜合幾十甚至上百種不同的信息，這種小圓套大圓的方法顯然行不通。

數(shù)學(xué)上最漂亮的辦法是最大熵(maximum entropy)模型，它相當(dāng)于行星運(yùn)動(dòng)的橢圓模型。“最大熵”這個(gè)名詞聽起來很深?yuàn)W，但是它的原理很簡單，我們每天都在用。說白了，就是要保留全部的不確定性，將風(fēng)險(xiǎn)降到最小。

回到我們剛才談到的拼音轉(zhuǎn)漢字的例子，我們已知兩種信息，第一，根據(jù)語言模型，wangxiao-bo可以被轉(zhuǎn)換成王曉波和王小波；第二，根據(jù)主題，王小波是作家，《黃金時(shí)代》的作者等等，而王曉波是臺灣研究兩岸關(guān)系的學(xué)者。因此，我們就可以建立一個(gè)最大熵模型，同時(shí)滿足這兩種信息。現(xiàn)在的問題是，這樣一個(gè)模型是否存在。匈牙利著名數(shù)學(xué)家、信息論最高獎(jiǎng)香農(nóng)獎(jiǎng)得主希薩（Csiszar）證明，對任何一組不自相矛盾的信息，這個(gè)最大熵模型不僅存在，而且是唯一的。而且它們都有同一個(gè)非常簡單的形式 -- 指數(shù)函數(shù)。下面公式是根據(jù)上下文（前兩個(gè)詞）和主題預(yù)測下一個(gè)詞的最大熵模型，其中 w3 是要預(yù)測的詞（王曉波或者王小波）w1 和 w2 是它的前兩個(gè)字（比如說它們分別是“出版”，和“”），也就是其上下文的一個(gè)大致估計(jì)，subject 表示主題。

我們看到，在上面的公式中，有幾個(gè)參數(shù) lambda 和 Z ，他們需要通過觀測數(shù)據(jù)訓(xùn)練出來。最大熵模型在形式上是最漂亮的統(tǒng)計(jì)模型，而在實(shí)現(xiàn)上是最復(fù)雜的模型之一。

我們上次談到用最大熵模型可以將各種信息綜合在一起。我們留下一個(gè)問題沒有回答，就是如何構(gòu)造最大熵模型。我們已經(jīng)所有的最大熵模型都是指數(shù)函數(shù)的形式，現(xiàn)在只需要確定指數(shù)函數(shù)的參數(shù)就可以了，這個(gè)過程稱為模型的訓(xùn)練。

最原始的最大熵模型的訓(xùn)練方法是一種稱為通用迭代算法 GIS(generalized iterative scaling) 的迭代 算法。GIS 的原理并不復(fù)雜，大致可以概括為以下幾個(gè)步驟：
1. 假定第零次迭代的初始模型為等概率的均勻分布。
2. 用第 N 次迭代的模型來估算每種信息特征在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的分布，如果超過了實(shí)際的，就把相應(yīng)的模型參數(shù)變小；否則，將它們便大。
3. 重復(fù)步驟 2 直到收斂。

GIS 最早是由 Darroch 和 Ratcliff 在七十年代提出的。但是，這兩人沒有能對這種算法的物理含義進(jìn)行很好地解釋。后來是由數(shù)學(xué)家希薩（Csiszar)解釋清楚的，因此，人們在談到這個(gè)算法時(shí)，總是同時(shí)引用 Darroch 和Ratcliff 以及希薩的兩篇論文。GIS 算法每次迭代的時(shí)間都很長，需要迭代很多次才能收斂，而且不太穩(wěn)定，即使在 64 位計(jì)算機(jī)上都會(huì)出現(xiàn)溢出。因此，在實(shí)際應(yīng)用中很少有人真正使用 GIS。大家只是通過它來了解最大熵模型的算法。
??? 八十年代，很有天才的孿生兄弟的達(dá)拉皮垂(Della Pietra)在 IBM 對 GIS 算法進(jìn)行了兩方面的改進(jìn)，提出了改進(jìn)迭代算法 IIS（improved iterative scaling）。這使得最大熵模型的訓(xùn)練時(shí)間縮短了一到兩個(gè)數(shù)量級。這樣最大熵模型才有可能變得實(shí)用。即使如此，在當(dāng)時(shí)也只有 IBM 有條件是用最大熵模型。

由于最大熵模型在數(shù)學(xué)上十分完美，對科學(xué)家們有很大的誘惑力，因此不少研究者試圖把自己的問題用一個(gè)類似最大熵的近似模型去套。誰知這一近似，最大熵模型就變得不完美了，結(jié)果可想而知，比打補(bǔ)丁的湊合的方法也好不了多少。于是，不少熱心人又放棄了這種方法。第一個(gè)在實(shí)際信息處理應(yīng)用中驗(yàn)證了最大熵模型的優(yōu)勢的，是賓夕法尼亞大學(xué)馬庫斯的另一個(gè)高徒原 IBM 現(xiàn)微軟的研究員拉納帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉納帕提的聰明之處在于他沒有對最大熵模型進(jìn)行近似，而是找到了幾個(gè)最適合用最大熵模型、而計(jì)算量相對不太大的自然語言處理問題，比如詞性標(biāo)注和句法分析。拉納帕提成功地將上下文信息、詞性（名詞、動(dòng)詞和形容詞等）、句子成分（主謂賓）通過最大熵模型結(jié)合起來，做出了當(dāng)時(shí)世界上最好的詞性標(biāo)識系統(tǒng)和句法分析器。拉納帕提的論文發(fā)表后讓人們耳目一新。拉納帕提的詞性標(biāo)注系統(tǒng)，至今仍然是使用單一方法最好的系統(tǒng)。科學(xué)家們從拉納帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解決復(fù)雜的文字信息處理的希望。

但是，最大熵模型的計(jì)算量仍然是個(gè)攔路虎。我在學(xué)校時(shí)花了很長時(shí)間考慮如何簡化最大熵模型的計(jì)算量。終于有一天，我對我的導(dǎo)師說，我發(fā)現(xiàn)一種數(shù)學(xué)變換，可以將大部分最大熵模型的訓(xùn)練時(shí)間在 IIS 的基礎(chǔ)上減少兩個(gè)數(shù)量級。我在黑板上推導(dǎo)了一個(gè)多小時(shí)，他沒有找出我的推導(dǎo)中的任何破綻，接著他又回去想了兩天，然后告訴我我的算法是對的。從此，我們就建造了一些很大的最大熵模型。這些模型比修修補(bǔ)補(bǔ)的湊合的方法好不少。即使在我找到了快速訓(xùn)練算法以后，為了訓(xùn)練一個(gè)包含上下文信息，主題信息和語法信息的文法模型(language model)，我并行使用了20 臺當(dāng)時(shí)最快的 SUN 工作站，仍然計(jì)算了三個(gè)月。由此可見最大熵模型的復(fù)雜的一面。

最大熵模型，可以說是集簡與繁于一體，形式簡單，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜。值得一提的是，在Google的很多產(chǎn)品中，比如機(jī)器翻譯，都直接或間接地用到了最大熵模型。
???? 講到這里，讀者也許會(huì)問，當(dāng)年最早改進(jìn)最大熵模型算法的達(dá)拉皮垂兄弟這些年難道沒有做任何事嗎？他們在九十年代初賈里尼克離開 IBM 后，也退出了學(xué)術(shù)界，而到在金融界大顯身手。他們兩人和很多 IBM 語音識別的同事一同到了一家當(dāng)時(shí)還不大，但現(xiàn)在是世界上最成功對沖基金(hedge fund)公司----文藝復(fù)興技術(shù)公司 (Renaissance Technologies)。我們知道，決定股票漲落的因素可能有幾十甚至上百種，而最大熵方法恰恰能找到一個(gè)同時(shí)滿足成千上萬種不同條件的模型。達(dá)拉皮垂兄弟等科學(xué)家在那里，用于最大熵模型和其他一些先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具對股票預(yù)測，獲得了巨大的成功。從該基金 1988 年創(chuàng)立至今，它的凈回報(bào)率高達(dá)平均每年 34%。也就是說，如果 1988 年你在該基金投入一塊錢，今天你能得到 200 塊錢。這個(gè)業(yè)績，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過股神巴菲特的旗艦公司伯克夏哈撒韋（Berkshire Hathaway)。同期，伯克夏哈撒韋的總回報(bào)是 16 倍。
??? 值得一提的是，信息處理的很多數(shù)學(xué)手段，包括隱含馬爾可夫模型、子波變換、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等等，在華爾街多有直接的應(yīng)用。由此可見，數(shù)學(xué)模型的作用。

HMM（隱馬爾可夫模型）

隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是統(tǒng)計(jì)模型，它用來描述一個(gè)含有隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過程。其難點(diǎn)是從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含參數(shù)。然后利用這些參數(shù)來作進(jìn)一步的分析，例如模式識別。

是在被建模的系統(tǒng)被認(rèn)為是一個(gè)馬爾可夫過程與未觀測到的（隱藏的）的狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)馬爾可夫模型。

下面用一個(gè)簡單的例子來闡述：

假設(shè)我手里有三個(gè)不同的骰子。第一個(gè)骰子是我們平常見的骰子（稱這個(gè)骰子為D6），6個(gè)面，每個(gè)面（1，2，3，4，5，6）出現(xiàn)的概率是1/6。第二個(gè)骰子是個(gè)四面體（稱這個(gè)骰子為D4），每個(gè)面（1，2，3，4）出現(xiàn)的概率是1/4。第三個(gè)骰子有八個(gè)面（稱這個(gè)骰子為D8），每個(gè)面（1，2，3，4，5，6，7，8）出現(xiàn)的概率是1/8。

假設(shè)我們開始擲骰子，我們先從三個(gè)骰子里挑一個(gè)，挑到每一個(gè)骰子的概率都是1/3。然后我們擲骰子，得到一個(gè)數(shù)字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一個(gè)。不停的重復(fù)上述過程，我們會(huì)得到一串?dāng)?shù)字，每個(gè)數(shù)字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一個(gè)。例如我們可能得到這么一串?dāng)?shù)字（擲骰子10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4

這串?dāng)?shù)字叫做可見狀態(tài)鏈。但是在隱馬爾可夫模型中，我們不僅僅有這么一串可見狀態(tài)鏈，還有一串隱含狀態(tài)鏈。在這個(gè)例子里，這串隱含狀態(tài)鏈就是你用的骰子的序列。比如，隱含狀態(tài)鏈有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8

一般來說，HMM中說到的馬爾可夫鏈其實(shí)是指隱含狀態(tài)鏈，因?yàn)殡[含狀態(tài)（骰子）之間存在轉(zhuǎn)換概率（transition probability）。在我們這個(gè)例子里，D6的下一個(gè)狀態(tài)是D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一個(gè)狀態(tài)是D4，D6，D8的轉(zhuǎn)換概率也都一樣是1/3。這樣設(shè)定是為了最開始容易說清楚，但是我們其實(shí)是可以隨意設(shè)定轉(zhuǎn)換概率的。比如，我們可以這樣定義，D6后面不能接D4，D6后面是D6的概率是0.9，是D8的概率是0.1。這樣就是一個(gè)新的HMM。

同樣的，盡管可見狀態(tài)之間沒有轉(zhuǎn)換概率，但是隱含狀態(tài)和可見狀態(tài)之間有一個(gè)概率叫做輸出概率（emission probability）。就我們的例子來說，六面骰（D6）產(chǎn)生1的輸出概率是1/6。產(chǎn)生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。我們同樣可以對輸出概率進(jìn)行其他定義。比如，我有一個(gè)被賭場動(dòng)過手腳的六面骰子，擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。

其實(shí)對于HMM來說，如果提前知道所有隱含狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率和所有隱含狀態(tài)到所有可見狀態(tài)之間的輸出概率，做模擬是相當(dāng)容易的。但是應(yīng)用HMM模型時(shí)候呢，往往是缺失了一部分信息的，有時(shí)候你知道骰子有幾種，每種骰子是什么，但是不知道擲出來的骰子序列；有時(shí)候你只是看到了很多次擲骰子的結(jié)果，剩下的什么都不知道。如果應(yīng)用算法去估計(jì)這些缺失的信息，就成了一個(gè)很重要的問題。這些算法我會(huì)在下面詳細(xì)講。

×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
????? 如果你只想看一個(gè)簡單易懂的例子，就不需要往下看了。
???? ×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
??? 說兩句廢話，答主認(rèn)為呢，要了解一個(gè)算法，要做到以下兩點(diǎn)：會(huì)其意，知其形。答主回答的，其實(shí)主要是第一點(diǎn)。但是這一點(diǎn)呢，恰恰是最重要，而且很多書上不會(huì)講的。正如你在追一個(gè)姑娘，姑娘對你說“你什么都沒做錯(cuò)！”你要是只看姑娘的表達(dá)形式呢，認(rèn)為自己什么都沒做錯(cuò)，顯然就理解錯(cuò)了。你要理會(huì)姑娘的意思，“你趕緊給我道歉！”這樣當(dāng)你看到對應(yīng)的表達(dá)形式呢，趕緊認(rèn)錯(cuò)，跪地求饒就對了。數(shù)學(xué)也是一樣，你要是不理解意思，光看公式，往往一頭霧水。不過呢，數(shù)學(xué)的表達(dá)頂多也就是晦澀了點(diǎn)，姑娘的表達(dá)呢，有的時(shí)候就完全和本意相反。所以答主一直認(rèn)為理解姑娘比理解數(shù)學(xué)難多了。

回到正題，和HMM模型相關(guān)的算法主要分為三類，分別解決三種問題：
????? 1）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道每次擲出來的都是哪種骰子（隱含狀態(tài)鏈）。
????? 這個(gè)問題呢，在語音識別領(lǐng)域呢，叫做解碼問題。這個(gè)問題其實(shí)有兩種解法，會(huì)給出兩個(gè)不同的答案。每個(gè)答案都對，只不過這些答案的意義不一樣。第一種解法求最大似然狀態(tài)路徑，說通俗點(diǎn)呢，就是我求一串骰子序列，這串骰子序列產(chǎn)生觀測結(jié)果的概率最大。第二種解法呢，就不是求一組骰子序列了，而是求每次擲出的骰子分別是某種骰子的概率。比如說我看到結(jié)果后，我可以求得第一次擲骰子是D4的概率是0.5，D6的概率是0.3，D8的概率是0.2.第一種解法我會(huì)在下面說到，但是第二種解法我就不寫在這里了，如果大家有興趣，我們另開一個(gè)問題繼續(xù)寫吧。

2）還是知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道擲出這個(gè)結(jié)果的概率。
????? 看似這個(gè)問題意義不大，因?yàn)槟銛S出來的結(jié)果很多時(shí)候都對應(yīng)了一個(gè)比較大的概率。問這個(gè)問題的目的呢，其實(shí)是檢測觀察到的結(jié)果和已知的模型是否吻合。如果很多次結(jié)果都對應(yīng)了比較小的概率，那么就說明我們已知的模型很有可能是錯(cuò)的，有人偷偷把我們的骰子給換了。

3）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），不知道每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），觀測到很多次擲骰子的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想反推出每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率）。
????? 這個(gè)問題很重要，因?yàn)檫@是最常見的情況。很多時(shí)候我們只有可見結(jié)果，不知道HMM模型里的參數(shù)，我們需要從可見結(jié)果估計(jì)出這些參數(shù)，這是建模的一個(gè)必要步驟。

問題闡述完了，下面就開始說解法。（0號問題在上面沒有提，只是作為解決上述問題的一個(gè)輔助）
????? 0.一個(gè)簡單問題
其實(shí)這個(gè)問題實(shí)用價(jià)值不高。由于對下面較難的問題有幫助，所以先在這里提一下。
知道骰子有幾種，每種骰子是什么，每次擲的都是什么骰子，根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果，求產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的概率。

解法無非就是概率相乘：


1.看見不可見的，破解骰子序列
????? 這里我說的是第一種解法，解最大似然路徑問題。
????? 舉例來說，我知道我有三個(gè)骰子，六面骰，四面骰，八面骰。我也知道我擲了十次的結(jié)果（1 6 3 5 2 7 3 5 2 4），我不知道每次用了那種骰子，我想知道最有可能的骰子序列。

其實(shí)最簡單而暴力的方法就是窮舉所有可能的骰子序列，然后依照第零個(gè)問題的解法把每個(gè)序列對應(yīng)的概率算出來。然后我們從里面把對應(yīng)最大概率的序列挑出來就行了。如果馬爾可夫鏈不長，當(dāng)然可行。如果長的話，窮舉的數(shù)量太大，就很難完成了。
????? 另外一種很有名的算法叫做Viterbi algorithm. 要理解這個(gè)算法，我們先看幾個(gè)簡單的列子。
????? 首先，如果我們只擲一次骰子：

看到結(jié)果為1.對應(yīng)的最大概率骰子序列就是D4，因?yàn)镈4產(chǎn)生1的概率是1/4，高于1/6和1/8.
????? 把這個(gè)情況拓展，我們擲兩次骰子：

結(jié)果為1，6.這時(shí)問題變得復(fù)雜起來，我們要計(jì)算三個(gè)值，分別是第二個(gè)骰子是D6，D4，D8的最大概率。顯然，要取到最大概率，第一個(gè)骰子必須為D4。這時(shí)，第二個(gè)骰子取到D6的最大概率是


????? 同樣的，我們可以計(jì)算第二個(gè)骰子是D4或D8時(shí)的最大概率。我們發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)骰子取到D6的概率最大。而使這個(gè)概率最大時(shí)，第一個(gè)骰子為D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6。
繼續(xù)拓展，我們擲三次骰子：

同樣，我們計(jì)算第三個(gè)骰子分別是D6，D4，D8的最大概率。我們再次發(fā)現(xiàn)，要取到最大概率，第二個(gè)骰子必須為D6。這時(shí)，第三個(gè)骰子取到D4的最大概率是

????? 同上，我們可以計(jì)算第三個(gè)骰子是D6或D8時(shí)的最大概率。我們發(fā)現(xiàn)，第三個(gè)骰子取到D4的概率最大。而使這個(gè)概率最大時(shí)，第二個(gè)骰子為D6，第一個(gè)骰子為D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6 D4。

寫到這里，大家應(yīng)該看出點(diǎn)規(guī)律了。既然擲骰子一二三次可以算，擲多少次都可以以此類推。我們發(fā)現(xiàn)，我們要求最大概率骰子序列時(shí)要做這么幾件事情。首先，不管序列多長，要從序列長度為1算起，算序列長度為1時(shí)取到每個(gè)骰子的最大概率。然后，逐漸增加長度，每增加一次長度，重新算一遍在這個(gè)長度下最后一個(gè)位置取到每個(gè)骰子的最大概率。因?yàn)樯弦粋€(gè)長度下的取到每個(gè)骰子的最大概率都算過了，重新計(jì)算的話其實(shí)不難。當(dāng)我們算到最后一位時(shí)，就知道最后一位是哪個(gè)骰子的概率最大了。然后，我們要把對應(yīng)這個(gè)最大概率的序列從后往前推出來。
2.誰動(dòng)了我的骰子？
????? 比如說你懷疑自己的六面骰被賭場動(dòng)過手腳了，有可能被換成另一種六面骰，這種六面骰擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。你怎么辦么？答案很簡單，算一算正常的三個(gè)骰子擲出一段序列的概率，再算一算不正常的六面骰和另外兩個(gè)正常骰子擲出這段序列的概率。如果前者比后者小，你就要小心了。
????? 比如說擲骰子的結(jié)果是：

要算用正常的三個(gè)骰子擲出這個(gè)結(jié)果的概率，其實(shí)就是將所有可能情況的概率進(jìn)行加和計(jì)算。同樣，簡單而暴力的方法就是把窮舉所有的骰子序列，還是計(jì)算每個(gè)骰子序列對應(yīng)的概率，但是這回，我們不挑最大值了，而是把所有算出來的概率相加，得到的總概率就是我們要求的結(jié)果。這個(gè)方法依然不能應(yīng)用于太長的骰子序列（馬爾可夫鏈）。
????? 我們會(huì)應(yīng)用一個(gè)和前一個(gè)問題類似的解法，只不過前一個(gè)問題關(guān)心的是概率最大值，這個(gè)問題關(guān)心的是概率之和。解決這個(gè)問題的算法叫做前向算法（forward algorithm）。
首先，如果我們只擲一次骰子：

看到結(jié)果為1.產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的總概率可以按照如下計(jì)算，總概率為0.18：

把這個(gè)情況拓展，我們擲兩次骰子：

看到結(jié)果為1，6.產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的總概率可以按照如下計(jì)算，總概率為0.05：

繼續(xù)拓展，我們擲三次骰子：

看到結(jié)果為1，6，3.產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的總概率可以按照如下計(jì)算，總概率為0.03：

同樣的，我們一步一步的算，有多長算多長，再長的馬爾可夫鏈總能算出來的。用同樣的方法，也可以算出不正常的六面骰和另外兩個(gè)正常骰子擲出這段序列的概率，然后我們比較一下這兩個(gè)概率大小，就能知道你的骰子是不是被人換了。

Viterbi algorithm

HMM（隱馬爾可夫模型）是用來描述隱含未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型，舉一個(gè)經(jīng)典的例子：一個(gè)東京的朋友每天根據(jù)天氣{下雨，天晴}決定當(dāng)天的活動(dòng){公園散步,購物,清理房間}中的一種，我每天只能在twitter上看到她發(fā)的推“啊，我前天公園散步、昨天購物、今天清理房間了！”，那么我可以根據(jù)她發(fā)的推特推斷東京這三天的天氣。在這個(gè)例子里，顯狀態(tài)是活動(dòng)，隱狀態(tài)是天氣。

任何一個(gè)HMM都可以通過下列五元組來描述：

:param obs:觀測序列 :param states:隱狀態(tài) :param start_p:初始概率（隱狀態(tài)） :param trans_p:轉(zhuǎn)移概率（隱狀態(tài)） :param emit_p: 發(fā)射概率 （隱狀態(tài)表現(xiàn)為顯狀態(tài)的概率）

偽碼如下：

states = ('Rainy', 'Sunny')

observations = (‘walk’, ‘shop’, ‘clean’)

start_probability = {‘Rainy’: 0.6, ‘Sunny’: 0.4}

transition_probability = {
‘Rainy’ : {‘Rainy’: 0.7, ‘Sunny’: 0.3},
‘Sunny’ : {‘Rainy’: 0.4, ‘Sunny’: 0.6},
}

emission_probability = {
‘Rainy’ : {‘walk’: 0.1, ‘shop’: 0.4, ‘clean’: 0.5},
‘Sunny’ : {‘walk’: 0.6, ‘shop’: 0.3, ‘clean’: 0.1},
}

求解最可能的天氣

求解最可能的隱狀態(tài)序列是HMM的三個(gè)典型問題之一，通常用維特比算法解決。維特比算法就是求解HMM上的最短路徑（-log(prob)，也即是最大概率）的算法。

稍微用中文講講思路，很明顯，第一天天晴還是下雨可以算出來：

定義V[時(shí)間][今天天氣] = 概率，注意今天天氣指的是，前幾天的天氣都確定下來了（概率最大）今天天氣是X的概率，這里的概率就是一個(gè)累乘的概率了。

??? 因?yàn)榈谝惶煳业呐笥讶ド⒉搅?#xff0c;所以第一天下雨的概率V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 發(fā)射概率[下雨][散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06，同理可得V[第一天][天晴] = 0.24 。從直覺上來看，因?yàn)榈谝惶炫笥殉鲩T了，她一般喜歡在天晴的時(shí)候散步，所以第一天天晴的概率比較大，數(shù)字與直覺統(tǒng)一了。

從第二天開始，對于每種天氣Y，都有前一天天氣是X的概率 * X轉(zhuǎn)移到Y(jié)的概率 * Y天氣下朋友進(jìn)行這天這種活動(dòng)的概率。因?yàn)榍耙惶焯鞖釾有兩種可能，所以Y的概率有兩個(gè)，選取其中較大一個(gè)作為V[第二天][天氣Y]的概率，同時(shí)將今天的天氣加入到結(jié)果序列中

比較V[最后一天][下雨]和[最后一天][天晴]的概率，找出較大的哪一個(gè)對應(yīng)的序列，就是最終結(jié)果。

算法的代碼可以在github上看到，地址為：

https://github.com/hankcs/Viterbi

運(yùn)行完成后根據(jù)Viterbi得到結(jié)果：

Sunny Rainy Rainy

Viterbi被廣泛應(yīng)用到分詞，詞性標(biāo)注等應(yīng)用場景。

作者：張鋒 出處：http://www.cnblogs.com/skyme/ 本文版權(quán)歸作者和博客園共有，歡迎轉(zhuǎn)載，但未經(jīng)作者同意必須在文章頁面給出原文連接，否則保留追究法律責(zé)任的權(quán)利。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一文搞懂HMM（隐马尔可夫模型）-Viterbi algorithm的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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