文章目錄

• • • 1 進(jìn)制轉(zhuǎn)換
    • 2 定點(diǎn)數(shù)表示及其運(yùn)算
    • • 2.1 定點(diǎn)數(shù)表示
      • • 2.1.1 真值→補(bǔ)碼
        • 2.1.2 補(bǔ)碼→真值
        • 2.1.3 [X_T]_補(bǔ) →[-X_T]_補(bǔ)
        • 2.1.4 真值、原碼、反碼、補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換關(guān)系圖形總結(jié)
        • 2.2.4 移碼
      • 2.2 定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算
      • • 2.2.1 移位運(yùn)算
        • 2.2.2 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算
        • 2.2.3 溢出判斷
        • • 判溢出方法一
          • 判溢出方法二
          • 判溢出方法三
    • 3 浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算
    • • 3.1 浮點(diǎn)數(shù)表示
      • 3.2 浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化
      • 3.3 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的特點(diǎn)
      • 3.4 IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)
      • 3.5 浮點(diǎn)數(shù)加減
      • • 3.5.1 浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算實(shí)例
        • 3.5.2 舍入
      • 3.6 浮點(diǎn)數(shù)強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換

1 進(jìn)制轉(zhuǎn)換

任意進(jìn)制→十進(jìn)制

已知K、r、n
按權(quán)展開相加法

十進(jìn)制→任意進(jìn)制

除基取余法：

乘基取整法：

進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

分組轉(zhuǎn)換：
2ⁿ進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換：二進(jìn)制、四進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制

二進(jìn)制一>四進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制n位一組，每組轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)進(jìn)制的符號(hào)，位數(shù)不夠補(bǔ)左邊最高位0和右邊最低位0

四進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制一>二進(jìn)制
每位寫成對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制形式

BCD碼
用途：可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制，十進(jìn)制的快速轉(zhuǎn)換（一一對(duì)應(yīng)）

8421碼，4位一組的二進(jìn)制表示十進(jìn)制對(duì)應(yīng)的符號(hào)

0123456789

0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

遇到8421碼某組上的計(jì)算產(chǎn)生超過1001時(shí)，需進(jìn)行加6（0110）進(jìn)行結(jié)果修正

2 定點(diǎn)數(shù)表示及其運(yùn)算

小數(shù)點(diǎn)位置約定在固定位置的數(shù)稱為定點(diǎn)數(shù)
小數(shù)點(diǎn)位置約定為可浮動(dòng)的數(shù)稱為浮點(diǎn)數(shù)

2.1 定點(diǎn)數(shù)表示

定點(diǎn)數(shù)可分為無符號(hào)數(shù)和有符號(hào)數(shù)

• 無符號(hào)數(shù)：整個(gè)機(jī)器字長(zhǎng)的全部二進(jìn)制位均為數(shù)值位，沒有符號(hào)位，相當(dāng)于數(shù)的絕對(duì)值。
• 無符號(hào)數(shù)表示范圍：n位的無符號(hào)數(shù)表示范圍為：0~2ⁿ-1

有符號(hào)數(shù)對(duì)應(yīng)真值和機(jī)器數(shù)

真值和機(jī)器數(shù)

2.1.1 真值→補(bǔ)碼

• 正數(shù)：[X]_原=[X]_反=[X]_補(bǔ) 正數(shù)原反補(bǔ)一樣
• 負(fù)數(shù)：

求補(bǔ)碼：原符號(hào)位不變，數(shù)值部分按位取反，末尾+1
求反碼：符號(hào)位不變，數(shù)值位按位取反

2.1.2 補(bǔ)碼→真值

按位取反+1

[X_T]_補(bǔ) =1 0110100
[X_T]= -（1001011+1）= -1001100

2.1.3 [X_T]_補(bǔ) →[-X_T]_補(bǔ)

連同符號(hào)位各位取反，末尾+1

[X_T]_補(bǔ)=1 0110100
[-X_T]_補(bǔ)= 0 1001100

2.1.4 真值、原碼、反碼、補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換關(guān)系圖形總結(jié)

2.2.4 移碼

浮點(diǎn)數(shù)階碼用移碼表示，移碼只用來表示定點(diǎn)整數(shù)
設(shè)E為階碼，階碼的移碼表示位n位，[E]_移=2^n-1+E（2^n-1為偏置常數(shù)）

2.2 定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算

2.2.1 移位運(yùn)算

r進(jìn)制

右移n位：÷ rⁿ
左移n位： × rⁿ

• 機(jī)器數(shù)采用無符號(hào)數(shù)：邏輯移位
  邏輯左移時(shí)，高位移丟，低位添0；邏輯右移時(shí)，低位移丟，高位添0

• 機(jī)器碼采用有符號(hào)數(shù)：算術(shù)移位
  算術(shù)移位：左移相當(dāng)于乘以基數(shù)，右移相當(dāng)于除以基數(shù)
  符號(hào)位不參與移位
  

1，0110101 真值-53 左移1位（丟0）：1，110101 0 真值-106 右移1位（丟1）：1，0 011010 真值-26 假設(shè)不丟1：1，0011010.1 真值-26.5 再左移1位（丟1）：1，1010100 真值-84 假設(shè)不丟1：1，111010100 真值-212 再右移1位（丟0）：1，0001101 真值-13

結(jié)論：原碼算術(shù)移位：左移丟1，運(yùn)算出錯(cuò)；右移丟1，影響精度。

正數(shù)：原碼、補(bǔ)碼、反碼一樣→左移、右移都補(bǔ)0
負(fù)數(shù)：反碼1<——>原碼0

2.2.2 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算

補(bǔ)碼的主要作用：兩個(gè)有符號(hào)數(shù)可以直接相加

加減運(yùn)算基本思路：

轉(zhuǎn)換成x+y的形式

計(jì)算[x]_補(bǔ)+[y]_補(bǔ)

例題：設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為8位（含1位符號(hào)位），A=15，B=-24，求[A+B]_補(bǔ)和[A-B]_補(bǔ)

走捷徑：十進(jìn)制運(yùn)輸完畢將結(jié)果轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼

也可以先轉(zhuǎn)化為補(bǔ)碼，再將補(bǔ)碼進(jìn)行符號(hào)擴(kuò)展

[A+B]_補(bǔ)=[A]_補(bǔ)+[B]_補(bǔ)=0，0001111+1，1101000=1，1110111

補(bǔ)碼1，1110111，對(duì)應(yīng)原碼：1，0001001 真值就是-9，15+（-24）=-9

[A-B]_補(bǔ)=[4]_補(bǔ)+[-B]_補(bǔ)=0，0001111+0，0011000=0，0100111

補(bǔ)碼0，0100111對(duì)應(yīng)真值+39,15-（-24）=+39

[-B]_補(bǔ)：[B]_補(bǔ)連同符號(hào)位一起取反加1

2.2.3 溢出判斷

正溢出：兩個(gè)正數(shù)做加法得負(fù)數(shù)
負(fù)溢出：兩個(gè)負(fù)數(shù)做加法得正數(shù)

例：A=15，B=-34，C=124，求[A+C]_補(bǔ)和[B-C]_補(bǔ)

[A+C]_補(bǔ)=0 0001111+0 1111100=1 10001011 真值-11→正溢出
[B-C]_補(bǔ)=1 101000+0 000100=10 1101100 真值+108→負(fù)溢出

判溢出方法一

采用一位符號(hào)位設(shè)A的符號(hào)為As，B的符號(hào)為Bs，運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)為Ss，則溢出邏輯表達(dá)式為

V表示含義：[As為1且Bs為1且Ss為0] 或 [As為0且Bs為0且Ss為1]

若V=0，表示無溢出；
若V=1，表示有溢出。

補(bǔ)充邏輯表達(dá)式：

與：如ABC，表示A與B與C僅當(dāng)A、B、C均為1時(shí)，ABC為1
A、B、C中有一個(gè)或多個(gè)為0，則ABC為0

或：如A+B+C，表示A或B或C僅當(dāng)A、B、C均為0時(shí)，A+B+C為0
A、B、C中有一個(gè)或多個(gè)為1，則A+B+C為1

判溢出方法二

采用一位符號(hào)位，根據(jù)數(shù)據(jù)位進(jìn)位情況判斷溢出

符號(hào)位的進(jìn)位Cs最高數(shù)位的進(jìn)位C1

正溢出	0	1
負(fù)溢出	1	0

即：Cs與C1不同時(shí)有溢出

處理“不同”的邏輯符號(hào)：異或

溢出邏輯判斷表達(dá)式為：

若V=0，表示無溢出；
V=1，表示有溢出。

補(bǔ)充異或：

判溢出方法三

采用雙符號(hào)位，配合補(bǔ)碼
正數(shù)符號(hào)為00，負(fù)數(shù)符號(hào)為11

[A+C]_補(bǔ)=00，0001111+00，1111100=01，0001011→正溢出
[B-C]_補(bǔ)=11，1101000+11，0000100=10，1101100→負(fù)溢出

記兩個(gè)符號(hào)位為S_s1S_s2，則

若V=0，表示無溢出；
若V=1，表示有溢出。

利用雙符號(hào)位計(jì)算[A+B]_補(bǔ)和[A-B]_補(bǔ)

[A+B]_補(bǔ)=00，0001111+11，1101000=11，1110111
[A-B]_補(bǔ)=00，0001111+00，0011000=00，0100111

采用雙符號(hào)位的移位運(yùn)算：低位符號(hào)位參與移位，高位符號(hào)位代表真正的符號(hào)

11，1110111 右移1位： 11，1111011 //低位符號(hào)位參與右移，對(duì)于負(fù)數(shù)補(bǔ)碼，符號(hào)位空出的部分補(bǔ)1 00，0100111 左移1位： 00，1001110 //左移一位，數(shù)值位最高位0移到符號(hào)位低位，數(shù)值位低位空出的部分則補(bǔ)0 00，0100111 左移2位： 01，0011100 正溢出

3 浮點(diǎn)數(shù)及其運(yùn)算

3.1 浮點(diǎn)數(shù)表示

任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)X可以表示為： X=（-1）^S× M × R^E

S取值為0或1，用來決定X的符號(hào)
M是一個(gè)二進(jìn)制定點(diǎn)小數(shù)，稱為數(shù)X的尾數(shù)
E是一個(gè)二進(jìn)制定點(diǎn)整數(shù)，稱為X的階碼或指數(shù)
R是基數(shù)，可以取值為 2、4、16

階碼：常用補(bǔ)碼或移碼表示
尾數(shù)：常用原碼或補(bǔ)碼表示
階碼E反映浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍及小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置；尾數(shù)M的數(shù)值部分的位數(shù)n反映浮點(diǎn)數(shù)的精度。

例：階碼、尾數(shù)均用補(bǔ)碼表示，求b的真值

如果尾數(shù)部分只存儲(chǔ)1001，怎么處理？----→規(guī)格化

3.2 浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化

規(guī)格化：規(guī)定尾數(shù)的最高數(shù)位必須是一個(gè)有效值。對(duì)于二進(jìn)制來說最高位數(shù)1有效，對(duì)于其他進(jìn)制，不是0則有效

左規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為 非規(guī)格化時(shí) 要進(jìn)行規(guī)格化處理，將尾數(shù)左移一位，階碼減1（基數(shù)為2時(shí)）。
右規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果尾數(shù)出現(xiàn) 溢出（雙符號(hào)位為01或10） 時(shí)，將尾數(shù)右移一位，階碼加1（基數(shù)為2時(shí)）。

例：a=010；00.1001，b=010；00.1000，求a+b

a=2² × 00.1001； b=2² × 00.1000

a+b=2² × 00.1001+2² × 00.1000
=2² ×（00.1001+00.1000）
=2² × 01.0100 →尾數(shù)溢出，右規(guī)
=2³ × 00.1010

3.3 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的特點(diǎn)

規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M的絕對(duì)值應(yīng)滿足：1/r<|M|<1
如果r=2，則有1/2<M<1

原碼規(guī)格化后：

• 正數(shù)為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
  尾數(shù)的表示范圍為 1/2≤M≤（1-2^-n）。
• 負(fù)數(shù)為1.1××.…×的形式，其最大值表示為1.10…0；最小值表示為1.11…1。
  尾數(shù)的表示范圍為 -（1-2^-n）≤M≤ -1/2。

補(bǔ)碼規(guī)格化后：

• 正數(shù)為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
  尾數(shù)的表示范圍為 1/2≤M≤（1-2^-n）。
• 負(fù)數(shù)為1.0××.…×的形式，其最大值表示為1.01…1；最小值表示為1.00…0。
  尾數(shù)的表示范圍為 -1≤M≤ -（1/2+2^-n）。
  

3.4 IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)

尾數(shù)規(guī)格化，最高位肯定為1，若尾數(shù)原碼xx...x，則尾數(shù)是1.xx...x

階碼部分用移碼表示的，由移碼得真值要減去偏置值

短浮點(diǎn)數(shù)：

長(zhǎng)浮點(diǎn)數(shù)：

IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)下短浮點(diǎn)數(shù)和長(zhǎng)浮點(diǎn)數(shù)的真值：

IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)一些規(guī)定（短浮點(diǎn)數(shù)為例）：

E=0且M=0，則真值為0

E=0且M≠0，為非規(guī)格化數(shù)，真值 =（-1）^s×0.M×2^-126

1≤E≤254時(shí)，真值 =（-1)^s×1.M×2^E-127

E=255且M≠0時(shí)（階碼全1，尾數(shù)不為0），真值為NaN（非數(shù)值）

E=255且M=0時(shí)，真值為正無窮或負(fù)無窮（看符號(hào)位）

IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)表示范圍

3.5 浮點(diǎn)數(shù)加減

浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟：

對(duì)階

一般在對(duì)階之前就有必須要把真值轉(zhuǎn)化為機(jī)器數(shù)的步驟（即用補(bǔ)碼表示階碼和尾數(shù)）

尾數(shù)加減

規(guī)格化

舍入

判溢出

3.5.1 浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算實(shí)例

例：已知十進(jìn)制數(shù)X=-5/256、Y=+59/1024，按機(jī)器補(bǔ)碼浮點(diǎn)運(yùn)算規(guī)則計(jì)算X-Y，結(jié)果用二進(jìn)制表示，浮點(diǎn)數(shù)格式如下：階符取2位，階碼取3位，數(shù)符取2位，尾數(shù)取9位

先進(jìn)行格式轉(zhuǎn)換：用補(bǔ)碼表示階碼和尾數(shù)

• 將X的階碼轉(zhuǎn)化為機(jī)器數(shù)：-101 補(bǔ)碼：1 011，再變?yōu)殡p符號(hào)位（階符取兩位）： 11 011（11 代表負(fù)，00代表正），數(shù)值部分（階碼）3位不需要擴(kuò)展
• 將X的尾數(shù)轉(zhuǎn)化為機(jī)器數(shù)：-0.101 補(bǔ)碼：1.011 ，再變?yōu)殡p符號(hào)位（數(shù)符取兩位）：11.011，尾數(shù)取9位則擴(kuò)展到9位：11.011000000（小數(shù)低位添0，整數(shù)高位添0）

轉(zhuǎn)化完畢X，Y機(jī)器數(shù)表示：X:11 011,11.011000000 ；Y:11 100,00.111011000
轉(zhuǎn)化完接下來就是對(duì)階

對(duì)階
對(duì)階目的：使兩個(gè)數(shù)的階碼相等，小階向大階看齊，尾數(shù)每右移一位，階碼加1

①求階差：[△E]_補(bǔ)=[X階]_補(bǔ)+[-Y階]_補(bǔ)=11011+00100=11111，知△E=-1（被減的數(shù)轉(zhuǎn)化為相反數(shù)的補(bǔ)碼形式，即[Y]_補(bǔ)→[-Y]_補(bǔ)→連同符號(hào)位按位取反，末尾+1）
②對(duì)階X 向Y看齊：X：11011，11.011000000→11100，11.101100000（X尾數(shù)右移1位，階碼+1）

尾數(shù)左移/右移：雙符號(hào)位也要參與移位

接下來進(jìn)行尾數(shù)加減，原理就是提取公因式

尾數(shù)加減
求 X-Y，先求-Y補(bǔ)碼：階碼部分不變，尾數(shù)調(diào)整為相反數(shù)補(bǔ)碼，即連同符號(hào)位按位取反，末尾+1
[-Y]_補(bǔ):11100,11.000101000

X-Y=11100,10.110001000
機(jī)器數(shù)操作不理解，可以把真值操作寫在旁邊對(duì)比：

算出的結(jié)果符號(hào)位10，溢出了，需要右規(guī)

規(guī)格化
X-Y：11100,10.110001000→11101,11.011000100
對(duì)應(yīng)真值運(yùn)算：

• 規(guī)格化之后，觀察階碼階符是否還保持正常情況（00或11），則此次運(yùn)算不溢出，若規(guī)格化后，雙符號(hào)位表現(xiàn)出溢出模式（10或 01），此次運(yùn)算一定溢出！
• 在加減處溢出不一定是溢出，只有在規(guī)格化以后還是溢出，才是真正溢出！

舍入
這里無舍入，因?yàn)槲矓?shù)右移時(shí)候，末尾丟的是一個(gè)0，不影響整個(gè)數(shù)值運(yùn)算

判溢出
此處正常階碼11，無溢出

所以結(jié)果真值為2^-3×（-0.1001111）₂

3.5.2 舍入

“0”舍“1”入法：類似于十進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中的“四舍五入”法，即在尾數(shù)右移時(shí)，被移去的最高數(shù)值位為0，則舍去；被移去的最高數(shù)值位為1，則在尾數(shù)的末位加1。這樣做可能會(huì)使尾數(shù)又溢出，此時(shí)需再做一次右規(guī)。

恒置“1”法：尾數(shù)右移時(shí)，不論丟掉的最高數(shù)值位是“1”還是“0”，都使右移后的尾數(shù)末位恒置“1”。這種方法同樣有使尾數(shù)變大和變小的兩種可能。

例：兩浮點(diǎn)數(shù)加減后結(jié)果為11100，10.110001011。此時(shí)肯定需要右規(guī)

采用0舍1入：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1（末尾1丟棄，需要+1）
→11101，11.011000110 （末尾+1后進(jìn)位）

恒置1：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1
→11101，11.011000101 1

3.6 浮點(diǎn)數(shù)強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換

類型16位機(jī)器32位機(jī)器64位機(jī)器

char	8	8	8
short	16	16	16
int	16	32	32
long	32	32	64
long long	64	64	64
float	16	32	32
double	64	64	64

char →int→long →double
float →double
范圍、精度從小到大，轉(zhuǎn)換過程沒有損失

32位
int：表示整數(shù)，范圍-2³¹-2³¹-1，有效數(shù)字32位
float：表示整數(shù)及小數(shù)，范圍 士[2^-126 ~~ 2⁺¹²⁷×（2-2^-23）]，有效數(shù)字23+1=24位

int→float：可能損失精度
float →int：可能溢出及損失精度

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2 计算机组成原理第二章 数据的表示和运算 定点数运算 浮点数运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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