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一：樹的基本術(shù)語

1.定義
樹是一種非線性結(jié)構(gòu)，只有一個根結(jié)點(diǎn)，除根結(jié)點(diǎn)外每個孩子結(jié)點(diǎn)可以有多個后繼，沒有后繼的結(jié)點(diǎn)叫葉子結(jié)點(diǎn)。
2.概念
根結(jié)點(diǎn)：沒有前驅(qū)；
孩子：有前驅(qū)的結(jié)點(diǎn)；
雙親結(jié)點(diǎn)：孩子結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)；
葉子：沒有孩子結(jié)點(diǎn)
結(jié)點(diǎn)度：結(jié)點(diǎn)的分支數(shù)；

樹的度：一棵樹中最大結(jié)點(diǎn)度數(shù)；
樹的深度：樹的層次數(shù)目；
有序樹：結(jié)點(diǎn)的子樹從左到右有順序；
森林：多棵互不相交的樹的集合；
3.二叉樹
**特點(diǎn)：特殊的樹，每個結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹，有左右順序之分。
性質(zhì)：
1.第i層上最多2^(i-1)個結(jié)點(diǎn)，最少0個；
2.深度k，最多2^k-1個結(jié)點(diǎn)，最少k個結(jié)點(diǎn)；
3.對于二叉樹，終端結(jié)點(diǎn)（葉子結(jié)點(diǎn)）數(shù)為n0,度為2的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n2,則n0=n2+1;
4.總結(jié)點(diǎn)數(shù)n,分支數(shù)B,則n=B+1,n=n0+n1+n2,B=n1+2*n2;
5.具有n個結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度:[log2^n]+1;

二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)：
對于非線性結(jié)構(gòu)，順序二叉樹僅適用于完全二叉樹，所有在這采用鏈?zhǔn)酱鎯Α?/p>

以下為二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯盎静僮?br /> 包含三種遞歸遍歷。

#define CHAR /* 字符型 *//* #define INT /* 整型（二者選一） */#include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /* malloc()等 */#include<limits.h> /* INT_MAX等 */#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */#include<stdlib.h> /* atoi() */#include<io.h> /* eof() */#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */#include<process.h> /* exit() *//* 函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼 */#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1typedef int Status; /* Status是函數(shù)的類型,其值是函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼，如OK等 */typedef int Boolean; /* Boolean是布爾類型,其值是TRUE或FALSE */#ifdef CHARtypedef char TElemType;TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符為空 */#endif#ifdef INTtypedef int TElemType;TElemType Nil=0; /* 整型以0為空 */#endif/* c6-2.h 二叉樹的二叉鏈表存儲表示 */typedef struct BiTNode{TElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指針 */}BiTNode,*BiTree;Status InitBiTree(BiTree *T){ /* 操作結(jié)果: 構(gòu)造空二叉樹T */*T=NULL;return OK;}void CreateBiTree(BiTree *T){ /* 算法6.4:按先序次序輸入二叉樹中結(jié)點(diǎn)的值（可為字符型或整型，在主程中 *//* 定義），構(gòu)造二叉鏈表表示的二叉樹T。變量Nil表示空（子）樹。有改動 */TElemType ch;#ifdef CHARscanf("%c",&ch);#endif#ifdef INTscanf("%d",&ch);#endifif(ch==Nil) /* 空 */*T=NULL;else{*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));if(!*T)exit(OVERFLOW);(*T)->data=ch; /* 生成根結(jié)點(diǎn) */CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 構(gòu)造左子樹 */CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 構(gòu)造右子樹 */}}Status BiTreeEmpty(BiTree T){ /* 初始條件: 二叉樹T存在 *//* 操作結(jié)果: 若T為空二叉樹,則返回TRUE,否則FALSE */if(T)return FALSE;elsereturn TRUE;}#define ClearBiTree DestroyBiTreeint BiTreeDepth(BiTree T){ /* 初始條件: 二叉樹T存在。操作結(jié)果: 返回T的深度 */int i,j;if(!T)return 0;if(T->lchild)i=BiTreeDepth(T->lchild);elsei=0;if(T->rchild)j=BiTreeDepth(T->rchild);elsej=0;return i>j?i+1:j+1;}TElemType Root(BiTree T){ /* 初始條件: 二叉樹T存在。操作結(jié)果: 返回T的根 */if(BiTreeEmpty(T))return Nil;elsereturn T->data;}void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始條件: 二叉樹T存在,Visit是對結(jié)點(diǎn)操作的應(yīng)用函數(shù)。算法6.1，有改動 *//* 操作結(jié)果: 先序遞歸遍歷T,對每個結(jié)點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次 */if(T) /* T不空 */{Visit(T->data); /* 先訪問根結(jié)點(diǎn) */PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍歷左子樹 */PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍歷右子樹 */}}void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始條件: 二叉樹T存在,Visit是對結(jié)點(diǎn)操作的應(yīng)用函數(shù) *//* 操作結(jié)果: 中序遞歸遍歷T,對每個結(jié)點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次 */if(T){InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍歷左子樹 */Visit(T->data); /* 再訪問根結(jié)點(diǎn) */InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍歷右子樹 */}}void PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始條件: 二叉樹T存在,Visit是對結(jié)點(diǎn)操作的應(yīng)用函數(shù) *//* 操作結(jié)果: 后序遞歸遍歷T,對每個結(jié)點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次 */if(T) /* T不空 */{PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍歷左子樹 */PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍歷右子樹 */Visit(T->data); /* 最后訪問根結(jié)點(diǎn) */}}Status visitT(TElemType e){#ifdef CHARprintf("%c ",e);#endif#ifdef INTprintf("%d ",e);#endifreturn OK;}void main(){int i;BiTree T,p,c;TElemType e1,e2;InitBiTree(&T);printf("構(gòu)造空二叉樹后,樹空否？%d(1:是 0:否) 樹的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));e1=Root(T);if(e1!=Nil)#ifdef CHARprintf("二叉樹的根為: %c\n",e1);#endif#ifdef INTprintf("二叉樹的根為: %d\n",e1);#endifelseprintf("樹空，無根\n");#ifdef CHARprintf("請先序輸入二叉樹(如:ab三個空格表示a為根結(jié)點(diǎn),b為左子樹的二叉樹)\n");#endif#ifdef INTprintf("請先序輸入二叉樹(如:1 2 0 0 0表示1為根結(jié)點(diǎn),2為左子樹的二叉樹)\n");#endifCreateBiTree(&T);printf("建立二叉樹后,樹空否？%d(1:是 0:否) 樹的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));e1=Root(T);if(e1!=Nil)#ifdef CHARprintf("二叉樹的根為: %c\n",e1);#endif#ifdef INTprintf("二叉樹的根為: %d\n",e1);#endifelseprintf("樹空，無根\n");printf("先序遞歸遍歷二叉樹:\n");PreOrderTraverse(T,visitT);printf("\n");printf("中序遞歸遍歷二叉樹:\n");InOrderTraverse(T,visitT);printf("\n");printf("后序遞歸遍歷二叉樹:\n");PostOrderTraverse(T,visitT);}

4.線索二叉樹
特征：LTag=0:lchild域指示結(jié)點(diǎn)的左孩子
———LTag=1:lchild域指示結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)
———RTag=0:lchild域指示結(jié)點(diǎn)的右孩子
———RTag=1:lchild域指示結(jié)點(diǎn)的后繼
以這種結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)構(gòu)成的二叉樹鏈表作為二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)，叫做線索鏈表，其中指向前驅(qū)和后繼的指針叫做線索，加上線索的二叉樹叫線索二叉樹。

5.樹、二叉樹、森林之間的轉(zhuǎn)換
1.樹和二叉樹：
樹轉(zhuǎn)化成二叉樹：1.加線：兄弟相連；2.抹線：長兄為父；3.旋轉(zhuǎn)：順時針旋轉(zhuǎn)90度；
二叉樹轉(zhuǎn)化樹：過程相反。
2. 把如圖所示的樹轉(zhuǎn)化成二叉樹。

2.森林轉(zhuǎn)化成二叉樹：
先把每棵樹轉(zhuǎn)換成二叉樹，把第二棵樹根結(jié)點(diǎn)當(dāng)作第一棵樹的兄弟，依次這樣操作。

3.二叉樹轉(zhuǎn)化成森林：
二叉樹的根結(jié)點(diǎn)的右孩子必是森林，孩子結(jié)點(diǎn)的右子樹為兄弟。

6.赫夫曼樹應(yīng)用
定義：又稱最優(yōu)樹，是一類帶權(quán)值最短路徑的樹。
路徑長度：樹中一個結(jié)點(diǎn)到另一個結(jié)點(diǎn)的分支數(shù)之和。
帶權(quán)路徑長度：各分支數(shù)與上面的權(quán)值乘積之和。 樹的帶權(quán)路徑長度：WPL

最優(yōu)二叉樹或赫夫曼樹:WPL最小的樹。

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總結(jié)

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