P3195 [HNOI2008]玩具裝箱TOY

題目描述

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，于是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號為1...N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮后變成一維長度為Ci.為了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那么兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那么容器的長度將為 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度為x,其制作費用為(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以制作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

輸出格式：

輸出最小費用

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：? 5 4 3 4 2 1 4 輸出樣例#1：?

1
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普通的一維DP很好想，題中給出$x = j - i + \sum\limits_{k=i}^{j}C_k$
考慮$(x-L)^2$可以變成$(j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k-L)^2 = ((\sum\limits_{k=i}^{j}C_k+1)-(L+1))^2$

讀入時直接把C和L都加1
枚舉j表示從j+1到i劃分成一段，時間是$O(N^2)$，TLE。

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$其中$S_i = \sum\limits_{k=1}^{i}C_k$,即C的前綴和

考慮如何對其進行優化

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$

$f[i] = min(f[j]+(S_i-L)^2-2(S_i-L)S_j+{S_{j}}^{2})$

$f[i] = (S_i-L)^2+min(y_j-k_ix_j)$

其中$x_j = S_j$，$y_j = f_j + {S_j}^2$，$k_i = 2(S_i-L)$

這就像是一個直線的斜率式

可知$k_i$是單調遞增的

將$x_j,y_j$映射到坐標軸里，畫一條過點$(x_j, y_j)$的斜率為$k_i$的直線

$y_j - k_ix_j$是它的截距。要使答案最小，就要使截距最小。

維護一個下凸殼（自行百度），可知只有下凸殼上的點組成的直線才有可能成為最優解

因為x是遞增的，只需考慮如何在右面加一個點。如果直線是逆時針旋轉，斜率變大，截距變小，直接加入

如果是順時針，刪除前一個點，加入當前點。

用單調隊列維護下凸殼。

轉載于:https://www.cnblogs.com/hkttg/p/9417466.html

總結

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