其實(shí)參考鏈接中已經(jīng)解釋的很好了，這篇博客主要就是為了碼一下別人的博客。鏈接1、2里面不僅有關(guān)于齊次坐標(biāo)的解釋，還有很多其他的計(jì)算機(jī)圖像的知識(shí)點(diǎn)，鏈接2還做了很多《冰與火之歌》的彩蛋。

在平常數(shù)學(xué)運(yùn)算中，我們一般使用笛卡爾坐標(biāo)，但是在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中使用的更多的是齊次坐標(biāo)（Homogeneous Coordinates）。數(shù)學(xué)里，齊次坐標(biāo)（homogeneous coordinates），或投影坐標(biāo)（projective coordinates）是指一個(gè)用于投影幾何里的坐標(biāo)系統(tǒng)，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標(biāo)一般。該詞由奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯于1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內(nèi)引入齊次坐標(biāo)有三大優(yōu)點(diǎn)。

一，還可以表示無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)。在歐式空間（Euclidean space）或者笛卡爾空間（Cartesian space）中，平行線是無法相交的，但是真實(shí)世界中因?yàn)橥敢曣P(guān)系，平行的鐵軌在無窮遠(yuǎn)處也可以相交。而歐式空間中的坐標(biāo)沒有意義，所以齊次坐標(biāo)就出現(xiàn)了。齊次坐標(biāo)可以用維的坐標(biāo)表示笛卡爾坐標(biāo)系中維的坐標(biāo)。齊次坐標(biāo)對(duì)應(yīng)笛卡爾坐標(biāo)，是縮放系數(shù)。這樣當(dāng)取，就可以表示笛卡爾坐標(biāo)系中的無窮大，對(duì)應(yīng)無窮點(diǎn)（points at infinity）。一般的，取，得到歸一化的齊次坐標(biāo)。是齊次坐標(biāo)，被稱為增廣矢量（augmented vector）。

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二，齊次坐標(biāo)可以區(qū)分點(diǎn)和向量。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(OpenGL版)》的作者F.S. Hill Jr. 寫到：齊次坐標(biāo)表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來明確區(qū)分向量和點(diǎn)，同時(shí)也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換[98]。在笛卡爾坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)，我們無法判斷它表示的是一個(gè)點(diǎn)還是一個(gè)從原點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量。齊次坐標(biāo)因?yàn)橛幸粋€(gè)冗余的維度（縮放系數(shù)），可以作為標(biāo)志位，當(dāng)它取1時(shí)表示坐標(biāo)點(diǎn)，當(dāng)它為0時(shí)表示向量。這是因?yàn)楸磉_(dá)一個(gè)點(diǎn)比一個(gè)向量需要額外的信息：

三，齊次坐標(biāo)允許平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和透視投影表示為矩陣與向量相乘的運(yùn)算，而使用笛卡爾坐標(biāo)，平移和透視投影不能表示成矩陣相乘。仿射變換其實(shí)就是線性變換（旋轉(zhuǎn)縮放）與平移的疊加。笛卡爾坐標(biāo)系不能用乘法表示仿射變換主要是因?yàn)槠揭谱儞Q?，F(xiàn)在利用齊次就可以將平移變換中的矩陣相加轉(zhuǎn)換為矩陣相乘：

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至于為什么叫齊次，這是因?yàn)辇R次坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)的。只要前n個(gè)分量與縮放系數(shù)的比例相同就會(huì)映射到同一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)，即對(duì)齊次坐標(biāo)每一個(gè)分量同等進(jìn)行縮放，都表示的是笛卡爾坐標(biāo)系中的同一個(gè)點(diǎn)，這就是尺度不變性（Scale Invariant），也就是齊次。谷歌翻譯Homogeneous是“同質(zhì)”的意思，百度翻譯結(jié)果是“均勻的;同性質(zhì)的。這里寫作齊次。而之前學(xué)習(xí)的單應(yīng)矩陣中單應(yīng)英文單詞是Homography，指的是點(diǎn)與點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。他們共同使用詞根homo，意為“相同的”。

注意：

三元組 (0, 0, 0) 不表示任何點(diǎn)。原點(diǎn)表示為 (0, 0, 1)

Reference：

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http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

冰與火之歌https://oncemore.wang/blog/homogeneous/

https://www.cnblogs.com/xin-lover/p/9486341.html

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的齐次坐标，怎么你也叫Homogeneous的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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