在網(wǎng)上翻到一個(gè)非常有意思的問題：

這個(gè)問題乍看起來無厘頭，但實(shí)際上是個(gè)非常深刻的問題，涉及到抽象代數(shù)(abstract algebra)的一些基本概念，因此我打算寫篇文章來詳細(xì)闡述一下。

人類的數(shù)學(xué)從數(shù)數(shù)開始，最早誕生的概念是自然數(shù)(natrual number)。后來隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，又產(chǎn)生了新類型的數(shù)。

初中時(shí)我們對(duì)數(shù)的體系做了詳細(xì)地介紹

到了高中我們又學(xué)了集合的概念，從集合的角度來研究數(shù)。為了敘述的方面，我們把由不同類型的數(shù)組成的集合用一個(gè)字母來表示，我們學(xué)過的有如下幾個(gè)：

• 自然數(shù)集：N
• 整數(shù)集：Z
• 有理數(shù)集：Q
• 實(shí)數(shù)集：R
• 復(fù)數(shù)集：C

相信很多小伙伴在這里也會(huì)碰到同這位網(wǎng)友一樣的疑問：無理數(shù)(irrational number)也是很重要的數(shù)的類型，為什么它們的集合沒有字母表示呢？是書上忘了講，還是說數(shù)學(xué)家懶得起名字？

其實(shí)，無理數(shù)集沒有用字母表示是有其中的道理的，要弄清楚這個(gè)道理，就得先弄清楚三個(gè)基本概念：集合(set)，二元運(yùn)算(binary operation)，和封閉(closed)。

基本概念

• 集合

集合這個(gè)概念我們已經(jīng)很清楚了，指的就是具有某些特定性質(zhì)的元素做成的集體。當(dāng)然關(guān)于集合的精確定義還有很多需要討論，但是理解到這個(gè)層次也就足夠了。

• 二元運(yùn)算

二元運(yùn)算我們其實(shí)也已經(jīng)很熟悉了，但是之前沒有給它做出過精確的定義。用不太正式的語言來敘述，一個(gè)二元運(yùn)算就是一種把兩個(gè)數(shù)變成一個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。比如加法就是一個(gè)二元運(yùn)算，因?yàn)樗?和1變成2，把2和3變成5等等。同樣道理，四則運(yùn)算加減乘除都是二元運(yùn)算。

不過我們一般把減法運(yùn)算看作是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，把除法運(yùn)算看作是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此最基本的二元運(yùn)算只有兩種。

于是有人就會(huì)問了，既然有二元運(yùn)算，那有沒有一元運(yùn)算呢？當(dāng)然是有的，所謂的一元運(yùn)算，無非就是把一個(gè)數(shù)變成另一個(gè)數(shù)唄，我們常見的，比如對(duì)數(shù)運(yùn)算，開方運(yùn)算，都是一元運(yùn)算。但其實(shí)，所謂的一元運(yùn)算，就相當(dāng)于我們學(xué)過的函數(shù)。

同樣道理還會(huì)有三元運(yùn)算，四元運(yùn)算，n元運(yùn)算等等，我們不再做過多討論。

• 封閉

“封閉”其實(shí)是理解本文最核心的一個(gè)概念。

封閉是建立在集合與二元運(yùn)算的概念的基礎(chǔ)之上的。

對(duì)于某個(gè)數(shù)集和某種運(yùn)算，如果從該數(shù)集里面任意挑兩個(gè)數(shù)，做二元運(yùn)算所得到的結(jié)果仍然是這個(gè)集合中的數(shù)，就說該數(shù)集對(duì)于這個(gè)二元運(yùn)算是封閉的。

比如舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，自然數(shù)集對(duì)加法就是封閉的，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)自然數(shù)相加的結(jié)果，還是一個(gè)自然數(shù)。而自然數(shù)集對(duì)減法運(yùn)算不封閉，比如我隨便就可以舉出兩個(gè)數(shù)來2和3，他倆都是自然數(shù)，但是2-3=-1，它就不是自然數(shù)了。

封閉

要回答本文提出的問題，就得從封閉這個(gè)概念來著手。

我們先來分析一下已知的集合對(duì)四則運(yùn)算的封閉性。

• 自然數(shù)集N，對(duì)于加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都是封閉的，但是對(duì)于減法運(yùn)算和除法運(yùn)算不封閉。
• 整數(shù)集Z，對(duì)于加法運(yùn)算，減法運(yùn)算，乘法運(yùn)算都是封閉的，但是對(duì)于除法運(yùn)算不封閉。
• 有理數(shù)集Q，對(duì)于四則運(yùn)算都是封閉的。
• 實(shí)數(shù)集R，對(duì)于四則運(yùn)算都是封閉的。
• 復(fù)數(shù)集C，對(duì)于四則運(yùn)算都是封閉的。

這里我想特別強(qiáng)調(diào)一下有理數(shù)集，有理數(shù)集對(duì)加減乘除4則運(yùn)算都封閉，不是一件很明顯的事情，我們需要有嚴(yán)格的證明。

所謂有理數(shù)就是可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，所以我們假設(shè)有兩個(gè)有理數(shù)b1/a1，b2/a2，其中a1、b1、a2、b2都是整數(shù)，考察一下它們做四則運(yùn)算的結(jié)果：

可以看出，四個(gè)運(yùn)算結(jié)果依然都還是有理數(shù)，這就證明了有理數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算都是封閉的。

這里我想說的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明了：有理數(shù)集是對(duì)加減乘除四則運(yùn)算都封閉的最小的數(shù)集。意思就是說任何比有理數(shù)還要小的集合，哪怕只比有理數(shù)集少一個(gè)數(shù)，就不再對(duì)加減乘除四則運(yùn)算封閉了。

在抽象代數(shù)學(xué)中，我們把對(duì)加減乘除四則運(yùn)算都封閉的集合稱為一個(gè)數(shù)域(number field)，可以看出，實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集都是數(shù)域。而我們上面提到的結(jié)論就是：有理數(shù)集是最小的數(shù)域。換句話說，任何數(shù)域都包含有理數(shù)集作為它的子集。

無理數(shù)集

分析完這些，我們就可以來看看無理數(shù)集了。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，無理數(shù)及對(duì)四則運(yùn)算都不封閉。我們很容易就能舉出例子來：

• 對(duì)加法：√2和-√2都是無理數(shù)，但是加在一起等于0，0不是無理數(shù)。
• 對(duì)減法：√2和-√2的例子可以看成是√2-√2，結(jié)果也是0。
• 對(duì)乘法：√2×√2，結(jié)果是2，2不是無理數(shù)。
• 對(duì)除法：√2÷√2，結(jié)果是1，1不是無理數(shù)。

原來無理數(shù)集是個(gè)如此糟糕的集合！這就是我們不給它用字母表示的原因。

在現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們主要關(guān)注的就是集合及集合中元素的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了群(group)，環(huán)(ring)，域(field)等一系列概念。

一個(gè)集合上某個(gè)運(yùn)算是封閉的，那么研究它才有意義，會(huì)有很多很美好的性質(zhì)。但是如果運(yùn)算不封閉，那么研究起來就會(huì)雜亂無章，并沒有太大意義。

對(duì)于前面五個(gè)集合，都存在至少一種運(yùn)算使其封閉，我們就利用這種封閉性來得出不少新的性質(zhì)，解決了很多數(shù)學(xué)問題，甚至構(gòu)造出更多更復(fù)雜的結(jié)合。數(shù)學(xué)家們經(jīng)常使用這五個(gè)集合，為了敘述上的方便，就拿五個(gè)字母來代替他們。

但是對(duì)于無理數(shù)集合，因?yàn)樗鼘?duì)四則運(yùn)算都不封閉，因此無法得到像前面五個(gè)集合那樣豐富的性質(zhì)，使用起來也就不如它們頻繁，所以我們就沒有必要拿一個(gè)單獨(dú)的字母來命名它。

結(jié)束語

講到這里就不得不稍微提一下近世代數(shù)(modern algebra)的發(fā)展。

近世代數(shù)中最主要的概念——群，思想起源于19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)天才伽羅瓦(Galois，1811～1832)。伽羅瓦利用群論的方法，徹底解決了五次及以上方程根式解的問題，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上開天辟地的事情。我這位曠世數(shù)學(xué)天才卻因?yàn)橐馔舛⒛暝缡?#xff0c;年僅21歲，是人類數(shù)學(xué)史上的一大憾事。

不過，我們現(xiàn)在在教科書上學(xué)到的代數(shù)學(xué)之所以長(zhǎng)這個(gè)樣子，則主要?dú)w功于20世紀(jì)德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家，被譽(yù)為“現(xiàn)代代數(shù)之母”的艾米·諾特(Emmy Noether，1882～1935)。諾特是數(shù)學(xué)史上毫無爭(zhēng)議的最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家，他和他的學(xué)生所形成的“諾特學(xué)派”，徹底改變了代數(shù)學(xué)的全貌。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的设计一个程序实现两个任意长的整数的求和运算_自然数集，整数集，有理数集等都有字母表示，为什么无理数集没有...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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