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這期呢，還是計算機原理系列，上期最后講到了自動制表機和IBM。本期接著講計算機歷史。

## 前言與內容提綱

上集，我們談了計算機最早是機電設備，一般用十進制計數，比如用齒輪數來代表十進制。再到晶體管計算機電子計算機的晶體管可以打開或關閉電流(二進制)。

只用開/關兩種狀態也可以代表信息，這叫二進制。二進制計算機運算的核心，是各種開關。那么，為什么一堆開關，就能完成運算呢？這就是本期我們要講的內容。

* 為什么用二進制, 布爾代數與布爾邏輯

* 3個基本操作：NOT，AND，OR——或且非

* 對應的：非門、且門、或門的電路實現

* 基于上述門，制作一個XOR——異或門

## 二進制的工程優勢與數學基礎

你可能覺得晶體管只有兩種狀態不多，功能很有限。事實上，晶體管的確可以不只是開/關，還可以讓不同大小的電流通過，一些早期電子計算機是三進制的，有3種狀態(比如蘇聯的某些計算機)，甚至五進制，5種狀態。

問題是，狀態越多，越難區分信號-如果手機快沒電了或者附近有電噪音(因為有人在用微波爐)，信號可能會混在一起...而每秒百萬次變化的晶體管會讓這個問題變得更糟！

所以我們把兩種信號盡可能分開 - 只用"開"和"關"兩種狀態，可以盡可能減少這類問題

這是計算機使用二進制的好處，但是，我們關心的問題是，為什么只憑借開關兩種狀態，就可以完成這么復雜的運算呢？

最關鍵的原因是，在當時，有一整個數學分支存在，專門處理"真"和"假"，它已經解決了所有法則和運算,叫"布爾代數"(Boolean Algebra)！

布爾代數是計算機的基礎。沒有它，就不會有計算機。所有數字芯片，從設計到生產，每一個環節都離不開布爾代數。事實上，它是現在計算機類學科必修的知識，從大學一年級課程開始，AND, OR, NOT 邏輯運算，CNF, DNF, 笛摩根定理…等等等等，就已經植根到每一個業者的腦海里。

## 布爾代數因布爾而得名

布爾代數的本質，是通過符號化和代數化來有系統地進行邏輯推理。它為邏輯推理發明了一套可以像算術演算一樣的計算方法。

說起邏輯，這其實本來是哲學和語言學的一個分支，研究怎們樣有條理的說話和寫文章，遠在古希臘時代就已經存在了。比如，與或非等邏輯的思想，從亞里士多德時代就有了。著名的三段論，就是亞里士多德提出的。

但哲學領域的邏輯學，都是用文字標書的。人的思維過程能用數學表示嗎？在這個問題上，最早的可以追溯到萊布尼茨，他曾試圖將邏輯思想形式化，就是將它們用簡潔的數學形式表達出來，但沒有獲得成功。

> 我想尋求這樣一張特殊的字母表，其元素表示的不是聲音而是概念。有了這樣一個符號系統，我們就可以發展出一種語言，我們僅憑符號演算，就可以確定用這種語言寫成的哪些句子為真，以及它們之間存在著什么樣的邏輯關系。——萊布尼茨的愿望

這個問題在萊布尼茨的一百多年后，終于被布爾解決(萊布尼茨和牛頓的微積分大約是在布爾出生前150年出現)。

布爾應用代數方法研究了邏輯，把一些簡單的邏輯思維數學化，建立了邏輯代數【在之前，1843年，漢密爾頓已經發明了四元數代數，這個東西肯定對布爾有所啟發】

1847年，32歲的布爾出版了一本書，將他的研究成果整理發表，只有86頁。名字叫做《邏輯的數學分析》The Mathematical Anaysis of Logic。這也是布爾代數第一次公之于眾。

## 布爾代數的內容

現在的數學書上已經把布爾代數講的云里霧里，非常抽象，看起來就讓人頭大，但其實它本來是很簡單的。本文幫助你理解布爾代數，以及為什么它促成了計算機的誕生。

所謂邏輯，就是判斷真假或者是非。邏輯的基礎是三段論，這是古希臘的哲學家亞里斯多德發明的，包括一個大前提、一個小前提和一個結論。我們舉個例子來看一下：

1. 所有人都是會死的。（這是大前提）

2. 蘇格拉底是人。（這是小前提）

3. 所以，蘇格拉底也是會死的。（這是結論）

在這個推理的三段論中，我們關心的是最后的結論是真的，還是假的。當大前提和小前提都是真的時，那么結論也必然是真的。

前面的例子是一個單一的判斷。布爾代數是關于幾個判斷之間的邏輯關系的演算，所以稱為邏輯代數。

假設，關于蘇格拉底，有下面兩種說法：

* 蘇格拉底是一個人————這個大家都知道是 **真** 的

* 蘇格拉底還活著————這顯然是 **假的** ，蘇格拉底已經死了兩千多年了

在這兩種說法的基礎上，我們來看看下面幾種說法的真假：

* 蘇格拉底是一個人 **并且** 蘇格拉底還活著。

這種說法自然不能成立。因為，'并且'是一個并列的邏輯關系，其前后的條件都必須為真，整個判斷才能成立；如果其中的任何一個條件是**假**的，那么整個判斷就是假的，這個事件就不會發生。

在上面的說法中，如果把表示邏輯關系的詞'并且'換成'或者'，像下面這樣：

* 蘇格拉底是一個人，或者，蘇格拉底還活著。

那么，這種說法就是成立的，因為，'或者'是一個選擇性的邏輯關系，所有的條件中，只要其中任意一個條件是真的，那么，這個判斷就是**真**的，這整個事件就會發生。

這是兩種最基本的邏輯關系。除此之外，我們還有關于'否定'的邏輯關系，就是'非'邏輯。'非邏輯'就是對一個判斷作相反的操作，'真'的一否定，就變成了'假'的；'假'的一否定，就變成了'真'的。比如：

* 蘇格拉底不是人————這顯然是假的

喬治·布爾就是用數學的方法來研究我們前面講的這些邏輯關系。在"常規"代數里(你在高中學的那種)變量的值是數字，可以進行加法或乘法之類的操作。

簡單代數系統可以表達為：

數量屬性：

1. 變量是自然數

2. 每一個自然數a都有一個后繼a+1

數量值運算：加減乘除

運算法則：結合律、分配率等等

但在布爾代數中，變量的值是 true 和 false，能進行邏輯操作。

邏輯代數有下面幾個規則和運算法則，因為邏輯運算不是算術計算，所以有以下規定：

（1)布爾代數中，數值只能取true和false或者0和1

用字母來代替我們前面那些例子中的具體的人和事，并且他用數字1表示'真'，用數字0表示'假'。這樣一來，邏輯判斷就變成了數學運算。

* 用A代表'蘇軾是詩人'，所以A = 1

* 用B代表'蘇軾還活著'，所以B = 0

* 用C表示'蘇軾已經死了'，所以C = 1

(2)布爾代數中，變量可以進行“或且非”三種邏輯操作

用'乘法'來表示'且'運算，用'加法'來表示'或'運算，在字母上面加一撇'''表示'非'運算，那么，這三個判斷之間的邏輯關系就可以變成這樣：

* A + B = 1 + 0 = 1

* A + C = 1 + 1 = 1

* A·B = 1·0 = 0

* A·C = 1·1 = 1

* B' = C = 0' = 1

(3)邏輯運算滿足以下定律：

* 交換律：

* A + B = B + A

* A·B = B·A

* 結合律：

* (A+B) + C = A + (B + C)

* (A·B)·C = A·(B·C)

* 吸收律：

* A + A·B = A

* (A + B)(A + C)=A + B·C

* 反演律：

* （A·B·C……）' = A' + B' + C' + ……

有了吸收率和反演律，有些看似非常復雜的邏輯關系，就可以化簡合并。比如：

這個式子中字母上面的短橫和前面式子中的'''是同樣的意思，代表'非'運算。

去掉算術系統中數字的屬性及其意義，保留對數字的操作；用邏輯值（true和false）代替數值，而邏輯值有自己的屬性和意義，就形成了布爾邏輯系統。

其他運算可以參照代數邏輯推演出來。這樣布爾就把邏輯歸約成代數運算系統，發現代數系統中的運算法則（結合，交換，分配法則）同樣也適用于邏輯系統。

有了邏輯系統，我們就可以對句子進行推理，也就實現了開頭萊布尼茨的愿望。這樣代數系統就有了推理能力。

推理能力正是布爾邏輯產生的原因，也是其最重要的意義所在。而推理是比代數運算更具有普適性的運算，因此，推理反過來又可以構建代數系統，甚至可以用來構建任何系統(計算機的強大就是證明)。

明白這一點也就明白了計算機中的抽象的本質，明白了如何去構建一個可用的抽象系統，計算理論中有一個名詞，圖靈可歸約，其實是一個意思。

## 布爾代數因香農而不凡

講了這么多，大家可能要問，布爾搞出這些無聊的字母游戲有什么用？

這個問題，不僅你我疑惑，在當時，整個學界也是疑惑的。布爾代數發明后很久都不受重視。數學家們曾輕蔑地說它：沒有數學意義，在哲學上也屬于稀奇古怪的東西。

直到20世紀初，羅素在《數學原理》中提到：“純數學是布爾在一部他稱之為《思想規律》的著作中發現的”，人們這才關注到布爾代數。但還是認為它是毫無實際用途的“純數學”。

直到1938年，一位年僅22歲的美國年輕人在《繼電器與開關電路的符號分析》中，將布爾代數與開關電路聯系起來了。這篇文章是他在麻省理工學院（MIT）獲得電氣工程碩士學位的畢業論文。

上世紀八十年代，被譽為“多元智能理論”之父的哈佛大學教授霍華德.加德納（HowardGardner）曾經評論這篇文章：“它可能是本世紀最重要、最著名的一篇碩士論文”。

這位年輕人就是克勞德.艾爾伍德.香農(這位后面我們也會講到)

## 用布爾代數制作計算機

我們前面已經說過，這個東西用處非常巨大。它是我們現代這個電子時代和信息社會最底層的基本原理。如果沒有布爾代數，什么計算機、自動控制、手機、互聯網等等這一切，都不可能存在。

數學公式和科學原理，并不能直接產生任何實際的用途，還必須有相應的實現這些功能的物理元件。恰好，咱上期繼電器、電子管和晶體管的發明，為實現邏輯控制和信息的數字化處理，鋪平了道路。沒看過的同學，可以關注超智星球公號，看一下。

我們知道，計算機、手機、自動控制系統、人工智能等等這些東西，都是用集成電路——也就是電子芯片組裝起來的。而集成電路是由幾千萬、上億個晶體管組成的。

而晶體管，我們上一篇文章說過了，就是個受控制的開關。可以接收控制信號，改變是否導電。我們可以假設開關接通的狀態為'1'，開關不通的狀態為'0'，這樣就可以用開關電路模擬邏輯狀態，組成邏輯電路。而這最最基本的邏輯電路，我們稱為**“邏輯門”**。之所以叫 "門"，是因為它能控制電流的路徑。

邏輯門可以由電阻、電容、二極管、三極管等分立原件構成，成為**分立元件門**。也可以將門電路的所有器件及連接導線制作在同一塊半導體基片上，構成**集成邏輯門電路**。

對應布爾代數中有三個基本操作：NOT, AND 和 OR。構成計算機最基本的邏輯門就是：與門、或門、非門。將這三個基本邏輯電路通過不同的組合關系，就形成了人們所需要的各種數字電路。

我們來看下如何使用晶體管制作這三個邏輯門。

## NOT 和 "非門"

NOT 操作把布爾值反轉，把 true 進行 NOT 就會變成 false，反之亦然。我們可以根據 NOT 操作的輸入和輸出，做出這個表。我們叫NOT操作表。

我們先來看一個晶體管。晶體管只是電控制的開關，有3根線：2根電極和1根控制線。

控制線通電時，電流就可以從一個電極流到另一個電極。就像水龍頭一樣- 打開水龍頭，就有水流出來；關掉水龍頭，就沒水了。

可以把控制線，當做輸入(input)；底部的電極，當做輸出（output）；所以 1 個晶體管，有一個輸入和一個輸出。

如果我們打開輸入（input on)，輸出也會打開（output on），因為電流可以流過；如果關閉輸入（input off），輸出也會關閉（output off），因為電流無法通過

或者用布爾術語來說，輸入為真，輸出為真；輸入為假，輸出為假，我們也可以把這個做成"真值表"

這個電路沒什么意思，因為它沒做什么事-輸入和輸出是一樣的，但我們可以稍加修改，實現NOT。

與其把下面那根線當做輸出，我們可以把輸出放到上面，如果打開輸入，電流可以流過然后 "接地"，輸出就沒有電流，所以輸出是off。如果用水來舉例，就像家里的水都從一個大管子流走了，打開淋浴頭一點水也沒有。

如果輸入是on，輸出是 off；當輸入是 off，電流沒法接地，就流過了輸出，所以輸出是 on；如果輸入是off，輸出是on。和NOT操作表一樣！太棒了！

我們做了個有點用的電路！我們叫它 "非門"-。

## AND 和 "且門"

在布爾代數中，"AND"操作有 2 個輸入，1 個輸出；和上次一樣，可以給"AND"做個表。

為了實現 "AND 門"，我們需要2個晶體管連在一起，這樣有2個輸入和1個輸出

如果只打開 A，不打開 B 電流無法流到 output，所以輸出是 false;如果只打開B，不打開 A，也一樣，電流無法流到 output;只有 A 和 B 都打開了，output 才有電流。

## OR 和 “或門”

最后一個是OR-- 只要 2 個輸入里，其中 1 個是 true，輸出就是 true

實現 "OR 門" 除了晶體管還要額外的線，不是串聯起來。而是并聯，然后左邊這條線有電流輸入。用"小拱門"代表2條線沒連在一起，只是跨過而已(雖然看起來像連在一起)

如果 A 和 B 都是 off，電流無法流過，所以輸出是 off；如果打開 A，電流可以流過。輸出是 on。如果只打開 B 也一樣，只要 A OR B是on，輸出就是 on；如果 A 和 B 都 on，結果是on。

## 一次抽象：制作"異或門"-XOR

好，現在 NOT門, AND門, OR門 都搞定了，我們可以基于它們構建更復雜的門了。

但在開始之前呢，我們先進行一次抽象，我們只是用符號來代表這三個門，這樣我們構建其他電路的時候，就不再管底層的細節(也就是那些開關)，可以集中精力用來構建更復雜的系統。

NOT門的畫法是三角形前面一個圓點；AND門用D表示；OR門用太空船表示————"D 形狀和太空船"不是標準叫法, 只是我喜歡這樣叫而已。

前面說的三個操作，是最基本的邏輯操作。除了前面說的三個，另一個有用的布爾操作叫"異或"，XOR。

XOR就像普通OR，但有一個區別：如果2個輸入都是true，XOR輸出false；想要XOR輸出true，一個輸入必須是true，另一個必須是false

用晶體管實現XOR門有點燒腦子，但可以展示一下怎么用前面提到的3種門來做XOR門：

XOR門有2個輸入，A和 B ，還有1個輸出.

## 最后，聊聊抽象

XOR超有用的，我們下次再說它。因為超有用，工程師給了它一個符號，一個 OR 門 + 一個笑臉

重要的是，我們現在可以知道怎么造XOR門了，并且用抽象符號封裝了它。我們完成了又一層抽象，把 XOR 放入"工具箱"了。

后面的課程中，我們可以直接使用它來推導更高級的運算，而不用擔心XOR具體用了幾個門，這幾個門又是怎么用晶體管拼的，或電子是怎么流過半導體的。

工程師設計處理器時，很少在晶體管的層面上思考，而是用更大的組件，比如邏輯門，或者由邏輯門組成的更大組件，我們以后會講，就算是專業程序員也不用考慮邏輯是怎樣在物理層面實現的。

這關鍵的能力，就是抽象，封裝。抽象能力決定一個人的編程能力。

我們從電信號開始，到現在第一次表示數據-真和假-開始有點"計算"的感覺了。

好啦，本期我們實現了布爾代數最最重要的三層門。我們下期見。

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參考文獻：

1. 楊露斯, 黎煉. 論計算機發展史及展望[J]. 信息與電腦(理論版), 2010(06):194.

2. N·M·莫里斯, 楊光輝. 英國標準——二進制邏輯元件的符號[J]. 煤礦自動化, 1984(02):41.

3. N.A.知乎.布爾代數是怎么出現的？.2017.

4. 阮一峰.布爾代數入門.阮一峰博客.2016

5. CrashCourse/CrashCourse字幕組.《計算機科學速成課》.youtube.2018

總結

以上是生活随笔為你收集整理的逻辑代数01律的理解_零基础学习计算机原理：布尔逻辑和逻辑门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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