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因為月考趕上運動會，

繼國慶之后，

感覺又放了一個小長假。

原本身體是很愿意的，

可是，

剛講的解析幾何突然被中斷了，

思想上還真是有點矛盾。

因為，

想了想兩天后該講些什么，

腦中卻一片空白了，

突然有了點無所適從的感覺。

所以說，

學習真的需要一個連貫性的思維，

和一個安靜的環境。

不過，

今天也真的是有些時間，

想了想，

還是寫點什么吧，

就來個橢圓的焦點三角形。

因為很多時候，

圓錐曲線的考題，

都會與焦點有或多或少的聯系。

而焦點三角形，

也確實是圓錐曲線中，

一個最為特殊的存在了。

01

什么是焦點三角形

橢圓上任意一點(非長軸端點)與兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形。

02

焦點三角形周長

因為頂點P總在橢圓上，

所以它一定是滿足橢圓定義的。

這樣的焦點三角形，

其周長就一定是定值。

03

焦點三角形頂角

顯然，

和周長不同的是，

焦點三角形的頂角θ是一個變量。

但是，

它的變化也還是有一點規律可循的：

P從長軸端點向短軸端點運動的過程中，

頂角θ從0增大到它的最大值。

如圖所示位置的頂角，

就是最大的了。

此時，

04

焦點三角形面積

說到面積，

當然會想到一些面積的常用公式。

在我的映象中，

平時最常用的面積公式，

其實也并沒有太多了：

但作為橢圓中一個特殊的、

焦點三角形的面積，

一定還應該會有其特殊性的吧。

確實，

根據橢圓的定義及余弦定理，

可以導、得出一個非常好記的面積：

其實，

建議你也自己推導并記住它，

畢竟這個公式，

以后可能會經常與它見面的。

其實，

在我的解題經驗里，

這個面積公式，

除了可以計算焦點三角形的面積，

還可以有這樣的姿態：

原來，

利用面積，

還可以求頂點的坐標呢！

是不是有點太神奇！

05

焦點三角形內心

說到三角形，

當然免不了談到它的幾個心了。

而焦點三角形中，

我覺得還是內心，

才是最為較特殊的。

至于特殊在哪，

你可以先看看下面的結論：

原來，

內心與離心率是有直接關系的。

當然，

如果在焦點三角形中用正弦定理，

也是可以得到離心率的：

所以說，

橢圓的離心率，

除了在基本三角形中有它的幾何意義，

能夠影響橢圓的扁圓程度，

在焦點三角形中，

也是有它自己的位置的。

最重要的是，

如果已知了焦點三角形的大小，

是可以秒求離心率的。

知道么？

橢圓焦點三角形內心的軌跡，

其實依然是一個橢圓，

只是比原來的，

稍微小了點。

如果你愿意計算，

你還會得到兩個橢圓離心率之間的關系：

如果你再耐心點，

會不會發現在我的證明過程中，

求點M坐標時，

并沒有用到最好的焦半徑公式，

而是用到了切線方程？

其實這個道理，

源于課本中，

對橢圓光學性質的解釋。

06

橢圓光學性質

還記不記得教材中，

橢圓的這一組光學性質了呢？

它的意思其實也簡單，

就是說：

從橢圓焦點發出的光線，

被橢圓反射后，

反射光線一定是要經過另一個焦點的。

嗯，

就像是動圖中那樣，

可以一直反射下去，

無止盡的。

反射過程中，

我想到了物理中的光學性質。

對于入射光線與反射光線，

是總有入射角等于反射角的。

于是，

這里便出現了，

角平分線的問題了。

所以說，

聯想很重要！

從圖中很容易就看出，

焦點三角形的頂角平分線，

其實就是法線了。

而法線，

很顯然的，

應該與點P處的切線互相垂直吧！

我就是這樣，

求得了頂角平分線方程的。

其實，

與三角形內心相對的，

焦點三角形還有三個旁心。

而這三個旁心的軌跡，

也是非常有意思的。

之所以說有意思，

主要還是因為，

這組結論，

也太漂亮了點吧！

看見了么？

兩條焦半徑所對的外心I₁和I₂，

軌跡方程正好是x=±a，

而底邊所對的外心I₃的軌跡，

卻是一個你意料之外的橢圓！

那么你有勇氣，

親自操刀，

證明一下么？

07

焦點三角形重心

我想更讓你驚訝的是，

焦點三角形重心的軌跡，

竟然依然是個橢圓！

其實，

也只是你沒有想到而已，

因為，

這個結論的證明，

其實真的是再簡單不過了，

我只用了一個重心的坐標公式，

就輕易搞定了它。

08

焦點三角形外心

說到外心，

當然也是要想到其軌跡了。

可惜這個沒有給你驚喜，

因為外心一定是在y軸上的吧？

那還多想什么呢！

至于外接圓的半徑，

一般自然就想到了正弦定理了。

所以外接圓的半徑：

而前面說的內切圓，很容易的就可以由周長與面積關系：

關于橢圓的焦點三角形，

今天的講解，

應該是你見過的，

最為全面的了。

其實，

雙曲線的焦點三角形，

它的相關性質，

和橢圓其實基本是一個類型的。

也希望有心的同學，

能夠試著用類比的方式，

去進行一些研究。

END

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相關鏈接：

00.韋達定理，說好的對稱翻車了……

01.比點差法更高級的——定比點差法

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14.計算最體驗，圓錐曲線的面積問題

15.淡定處理！解幾遇到不等式。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的已知三角形三点坐标求角度_细心研磨椭圆焦点三角形，这肯定是最全的解释。...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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