??有關模態邏輯的知識請看模態邏輯入門筆記，有關證據理論的知識請看證據理論入門筆記。本文主要記錄我對文獻[1]的理解，文獻[2]介紹了一種基于多值映射 (Multivalued mapping) 解釋證據理論的方法，多值映射類似模態理論中的關系 $R$。

符號定義

$M=<W,R,V>$，模態邏輯的模型 $M$，模態邏輯采用系統 T 或更強的模態邏輯系統，即 $R$ 滿足反身性 (reflexive)，每個可能世界能夠到達自身。

$||p|{|}^M$，命題 $p$ 的真集 (Truth set)，即 $||p|{|}^M=\{w|w\in W\wedge V(p,w)=T\}$。

$|A|$，集合 $A$ 的基數，即集合 $A$ 中元素的個數。例如，$A=\{1,2,3\},|A|=3$。

$X$，證據理論的辨識架構。

$e_A$，一個命題，表示一個給定的研究元素被分類到集合 $A$ 中。
$$e_A=\underset{x\in A}{?}{e}_{\{x\}},?A=?;e_{?}=\underset{x\in X}{?}?e_{\{x\}}$$

證據理論的模態邏輯解釋

信任函數：$$Bel(A)=\sum _{B?A}m(B)=\frac{|||\square e_A|{|}^M|}{|W|}$$

似然函數：$$Pl(A)=\sum _{B\cap A=?}m(B)=\frac{|||?e_A|{|}^M|}{|W|}$$

基本概率分配函數：$$m(A)=\frac{|||E_A|{|}^M|}{|W|}$$ $$E_A=\square e_A\wedge (\underset{B?A}{?}(?(\square e_B)))$$

??下面解釋上面幾個公式（可以參考下圖）。首先，假設在每一個可能世界 $w$ 中，有且僅有一個 $x\in W$ 使命題 $e_{\{x\}}$ 為真 (Singleton Valuation Assumption)，我稱之為可能世界 $w$ 對應的 $x$。$w^{\prime }$ 是從一個 $w$ 能夠到達的可能世界（可能有好幾個 $w^{\prime }$），$w^{\prime }$ 對應的 $x$ 構成集合 $B$，我稱之為 $w$ 對應的集合 $B$。
??接下來，有一類 $w$ 的集合，其中 $w$ 對應的集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集，即有 $(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }?V(e_A,w^{\prime })=T)$，則 $V(\square e_A,w)=T$，這類 $w$ 的集合即為 $||\square e_A|{|}^M$。
??還有一類 $w$ 的集合，其中的任意一個 $w$ 能到達的可能世界 $w^{\prime }$，$w^{\prime }$ 對應的 $x$ 構成的集合 $B$ 包含集合 $A$，這類 $w$ 的集合為 $||{?}_{x\in A}?e_{\{x\}}|{|}^M$。
??另一類 $w$ 的集合，其中 $w$ 對應的集合 $B$ 與集合 $A$相交不為空集，即 $B\cap A=?$，則有$(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\wedge V(e_A,w^{\prime })=T)$，這類 $w$ 的集合即為 $||?e_A|{|}^M$。
??定義一個集合 $B_w=\{x\in X|(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\wedge V(e_{\{x\}},w^{\prime })=T)\}$，其實就是上述 3 中的集合 $A$，對于每一個可能世界 $w$，這樣的集合有且只有一個，不同的 $w$ 可以有相同的 $B_w$， $B_w$ 由所有 $w$ 可以到達的 $w^{\prime }$ 對應的 $x$ 構成。
??由上述分析可以看出，可能世界 $w$ 對應的集合 $B$ 和集合 $A$ 之間的關系是符合經典 DS 證據理論的，這樣也就能更好的理解上述公式。
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Example

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證據理論的模態邏輯解釋的完整性 (Completeness)

??對于每一個由理數構成的基本概率分配函數，都存在一個系統 T 的模態邏輯模型 $M$ 能推導出該基本概率分配函數。看例子怎么找這個模型 $M$ 。

Example

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參考文獻

[1] Harmanec D , Klir G J , Resconi G . On modal logic interpretation of Dempster–Shafer theory of evidence[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 9(10):941-951. [2] Tsiporkova E , Boeva V , Baets B D . Dempster–Shafer theory framed in modal logic[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 1999, 21(2):157-175.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的证据理论的模态逻辑解释的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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