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排隊論模型（一）：基本概念、輸入過程與服務時間的常用概率分布

排隊論模型（二）：生滅過程 、 M / M /s 等待制排隊模型、多服務臺模型

排隊論模型（三）：M / M / s/ s 損失制排隊模型

排隊論模型（四）：M / M / s 混合制排隊模型

排隊論模型（五）： 有限源排隊模型、服務率或到達率依賴狀態的排隊模型

排隊論模型（六）：非生滅過程排隊模型、愛爾朗（Erlang）排隊模型

排隊論模型（七）：排隊系統的優化

排隊論模型（八）：Matlab 生成隨機數、排隊模型的計算機模擬

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目錄

?1 生滅過程?

2? ?M / M /s 等待制排隊模型

? ? ? ? ?2.1 單服務臺模型? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2.1?隊長的分布

2.2 幾個主要數量指標? ? ? ? ? ? ? ? ??2.3 忙期和閑期

3 與排隊論模型有關的 LINGO 函數? ? ? ? ? ? ? ? ????4 多服務臺模型（ M / M /s/ ∞ ）

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?1 生滅過程?

一類非常重要且廣泛存在的排隊系統是生滅過程排隊系統。生滅過程是一類特殊的隨機過程，在生物學、物理學、運籌學中有廣泛的應用。在排隊論中，如果 N(t) 表示 時刻t 系統中的顧客數，則{N(t),t ≥ 0}就構成了一個隨機過程。如果用“生”表示顧 客的到達，“滅”表示顧客的離去，則對許多排隊過程來說，{N(t),t ≥ 0}就是一類特殊的隨機過程－生滅過程。

下面結合排隊論的術語給出生滅過程的定義。

為求平穩分布，考慮系統可能處的任一狀態 n 。假設記錄了一段時間內系統進入狀 態n 和離開狀態 n 的次數，則因為“進入”和“離開”是交替發生的，所以這兩個數要么相等，要么相差為 1。但就這兩種事件的平均發生率來說，可以認為是相等的。即當 系統運行相當時間而到達平衡狀態后，對任一狀態 n 來說，單位時間內進入該狀態的平 均次數和單位時間內離開該狀態的平均次數應該相等，這就是系統在統計平衡下的“流 入＝流出”原理。根據這一原理，可得到任一狀態下的平衡方程如下：

述公式得到平穩狀態的概率分布。

2? ?M / M /s 等待制排隊模型

2.1 單服務臺模型

單服務臺等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顧客的相繼到達時間服從參數為λ 的負指 數分布，服務臺個數為 1，服務時間V 服從參數為 μ 的負指數分布，系統空間無限， 允許無限排隊，這是一類最簡單的排隊系統。

2.1?隊長的分布

2.2 幾個主要數量指標

?對單服務臺等待制排隊系統，由已得到的平穩狀態下隊長的分布，可以得到平均隊 長

式（14）和式（15）通常稱為 Little 公式，是排隊論中一個非常重要的公式。

2.3 忙期和閑期

個顧客在系統內的平均逗留時間應等于服務員平均連續忙的時間。

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3 與排隊論模型有關的 LINGO 函數

（1）@peb(load,S) 該函數的返回值是當到達負荷為 load，服務系統中有 S 個服務臺且允許排隊時系 統繁忙的概率，也就是顧客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 該函數的返回值是當到達負荷為 load，服務系統中有 S 個服務臺且不允許排隊時 系統損失概率，也就是顧客得不到服務離開的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 該函數的返回值是當到達負荷為 load，顧客數為 K，平行服務臺數量為 S 時，有限 源的 Poisson 服務系統等待或返修顧客數的期望值。

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例 1 某修理店只有一個修理工，來修理的顧客到達過程為 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理時間服從負指數分布，平均需要 6min。試求：（1）修理店空閑的概率；（2） 店內恰有 3 個顧客的概率；（3）店內至少有 1 個顧客的概率；（4）在店內的平均顧客數； （5）每位顧客在店內的平均逗留時間；（6）等待服務的平均顧客數；（7）每位顧客平 均等待服務時間；（8）顧客在店內等待時間超過 10min 的概率。

編寫 LINGO 程序如下：

model: s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu; Pwait=@peb(rho,s); p0=1-Pwait; Pt_gt_10=@exp(-1); end

4 多服務臺模型（ M / M /s/ ∞ ）

設顧客單個到達，相繼到達時間間隔服從參數為λ 的負指數分布，系統中共有 s 個 服務臺，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數為 μ 的負指數分布。當顧客到 達時，若有空閑的服務臺則馬上接受服務，否則便排成一個隊列等待，等待時間為無限。

公式（19）和式（20）給出了在平衡條件下系統中顧客數為 n 的概率，當 n ≥ s 時，即 系統中顧客數大于或等于服務臺個數，這時再來的顧客必須等待，因此記

式（21）稱為 Erlang 等待公式，它給出了顧客到達系統時需要等待的概率。 對多服務臺等待制排隊系統，由已得到的平穩分布可得平均排隊長 Lq 為：

對多服務臺系統，Little 公式依然成立，即有

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例 2 ? 某售票處有 3 個窗口，顧客的到達為 Poisson 流，平均到達率為 λ = 0.9人/ min ；服務（售票）時間服從負指數分布，平均服務率 μ = 0.4人/ min 。 現設顧客到達后排成一個隊列，依次向空閑的窗口購票，這一排隊系統可看成是一個

M / M / s/ ∞ 系統，其中

求解的 LINGO 程序如下：

model: s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s; P_wait=@peb(rho,s); p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait; L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s); L_s=L_q+rho; W_q=L_q/lamda; W_s=L_s/lamda; end

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排隊論模型（一）：基本概念、輸入過程與服務時間的常用概率分布

排隊論模型（二）：生滅過程 、 M / M /s 等待制排隊模型、多服務臺模型

排隊論模型（三）：M / M / s/ s 損失制排隊模型

排隊論模型（四）：M / M / s 混合制排隊模型

排隊論模型（五）： 有限源排隊模型、服務率或到達率依賴狀態的排隊模型

排隊論模型（六）：非生滅過程排隊模型、愛爾朗（Erlang）排隊模型

排隊論模型（七）：排隊系統的優化

排隊論模型（八）：Matlab 生成隨機數、排隊模型的計算機模擬

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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