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编程问答

线代 [3]｜从增广矩阵漫谈矩阵转置对向量在四个向量子空间内的“飞舞”（第三篇）

發(fā)布時(shí)間：2024/8/1 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了线代 [3]｜从增广矩阵漫谈矩阵转置对向量在四个向量子空间内的“飞舞”（第三篇）小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

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文章目錄

- 前言
- 增廣矩陣(Augmented matrix)
- - ｜從QR分解的角度重構(gòu)增廣矩陣
- 轉(zhuǎn)置（Transpose）
- 向量子空間（subspace）
- 以MIT線性代數(shù)習(xí)題公開(kāi)課第11題為串聯(lián)脈絡(luò)
- 參考資料
- 文章更新記錄

前言

該篇文章以非齊次線性方程組為例題引出增廣矩陣(A,b)的解集，配合矩陣的QR分解對(duì)增廣矩陣(A,b)重新構(gòu)造。在轉(zhuǎn)置方面從代數(shù)的角度切入，但這個(gè)角度比較淺顯。我們需要真正明白的是轉(zhuǎn)置在向量空間層面發(fā)揮了什么作用。 重要提醒，在閱讀該文章之前，必須將MIT線性代數(shù)習(xí)題公開(kāi)課第11題的習(xí)題觀看完畢并消化理解，這是串聯(lián)所有知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)，其余只是模塊組成。

增廣矩陣(Augmented matrix)

e.g.1 求出非齊次方程組的通解 ${x1+2x2=32x1+4x2=6\left\{\begin{array}{c}x_1+2x_2=3\\2x_1+4x_2=6\\ \end{array}\right.$

解：特解

$X?=(11)X^*=\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix}$

零解
$N(A)={c(?21)∣c∈R}N(A)=\lbrace c\begin{pmatrix}-2\\1\\ \end{pmatrix} |c\in R\rbrace$

故原方程組解集為
$S(A,b)={(11)+c(?21)∣c∈R}S(A,b)=\lbrace \begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}-2\\1\\\end{pmatrix}|c \in R \rbrace$

可以看出任意解都可以被分解成 特解和零解 。

那么對(duì)于線性方程組 $x1a1+?+xnan=β\displaystyle{x_1a_1+\cdots+x_na_n=\beta}$ 有解到底意味著什么呢？結(jié)合本人第二篇博文，我們對(duì)于方程式

$x1a1+?+xnan=βx_1a_1+\cdots+x_na_n=\beta$

有解可以獲得以下結(jié)論：

β∈(a1,a2,…,an)\beta\in(a_1,a_2,\dots,a_n)

(a1,a2,…,an,β)?(a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\ldots,a_n,\beta) \subseteq (a_1,a_2,\ldots,a_n)

(a1,a2,…,an,β)=(a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\ldots,a_n,\beta)=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

dim(a1,a2,…,an,β)=dim(a1,a2,…,an)dim(a_1,a_2,\ldots,a_n,\beta)=dim(a_1,a_2,\ldots,a_n)

rank(a1,a2,…,an,β)=rank(a1,a2,…,an)rank(a_1,a_2,\ldots,a_n,\beta)=rank(a_1,a_2,\ldots,a_n)

$?\ast$ 注以上幾條結(jié)論可互相推導(dǎo)。

對(duì)于增廣矩陣，有以下結(jié)構(gòu)圖：

（高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（第二版上冊(cè)）第14頁(yè)）

｜從QR分解的角度重構(gòu)增廣矩陣

首先我們來(lái)看一下什么是QR分解。

定理如果 $m×n\mathsf{m \times n}$ 矩陣 $A\mathsf{A}$ 的列線性無(wú)關(guān)，那么A可以分解為 $A = QR$ ，其中 $Q$ 是一個(gè) $\times n$ 矩陣，其列形成 $C o l A$ 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，R是一個(gè) $\times n$ 上三角矩陣且在對(duì)角線上的元素為正數(shù)。若Q是一個(gè)方陣，則 $Q^{-1}=Q^T$ ，Q為正交陣。令 $Q=(q1,…,qn)Q=(q_1,\ldots,q_n)$ ，故
$QTQ=(q1T?qnT)(q1…qn)=(10?001?0????00?1)n×n=InQ^TQ= \begin{pmatrix} q_1^T\\ \vdots\\ q_n^T\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1&\ldots&q_n\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {1}&{0}&{\cdots}&0\\ {0}&{1}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{1}\\ \end{pmatrix}_{n \times n}=I_n$

應(yīng)用方面：

設(shè) A 為

\times n

階矩陣，A 的列向量線性無(wú)關(guān)，

A = QR

。

Ax=b?ATAx^=ATb?RTQTQRx^=RTQTb?RTRx^=RTQTb?Rx^=QTb?x^=R?1QTbAx=b \Leftrightarrow A^TA\hat{x}=A^Tb \Leftrightarrow R^TQ^TQR\hat{x}=R^TQ^Tb \Leftrightarrow R^TR\hat{x}=R^TQ^Tb \Leftrightarrow R\hat{x}=Q^Tb \Leftrightarrow \hat{x}=R^{-1}Q^Tb

。其中，若

A

的列相互正交，

A=（a1,…,an）A=（a_1,\ldots,a_n）

，則

R=diag(∥a1∥,…,∥an∥)→x^=R?1ATbR=diag(\parallel a_1 \parallel , \ldots , \parallel a_n \parallel )\rightarrow\hat{x}=R^ {-1}A^Tb

。設(shè)

A x = b

無(wú)解，則

b

在

C (A)

上的投影為

$P=∑i=1n(aiTbaiTai)ai\mathsf{\color{red}P=\displaystyle\sum_{i=1}^n(\frac{a_i^Tb}{a_i^Ta_i})a_i}$

A

是可逆矩陣，則QR分解唯一。

設(shè)

Am×nA_{m \times n}

列滿秩，有

\notin C(A)

，設(shè)其投影在

C (A)

為

P ， e = b ? p

，則

(A, b)

為列滿秩，其QR分解為

(A,b)=(Q,e∥e∥)(Rα0∥e∥),α=QTb\mathsf{\color{red}(A,b)=(Q,\frac{e}{\parallel e \parallel})\begin{pmatrix} R &\alpha \\ 0& \parallel e \parallel\\ \end{pmatrix},\alpha=Q^Tb}

，

A=(a1,…,an)～Q=(q1,…,qn)\mathsf{A=(a_1,\ldots,a_n) \sim Q=(q_1,\dots,q_n)}

上述從基的角度細(xì)細(xì)的梳理了QR分解，請(qǐng)多看幾遍并配合相關(guān)題目理解。

轉(zhuǎn)置（Transpose）

定義設(shè)A為 $m×n\mathsf{m \times n}$ 階矩陣，第 $i$ 行 $j$ 列的元素是 $a(i,j)\mathsf{a(i,j)}$ ，即： $A=(aij)m×nA=(a_{ij})_{m \times n}$ ，把 $\times n$ 矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè) $n×m\mathsf{n \times m}$ 矩陣，此矩陣叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記做 $AT=(aji)n×m\mathsf{A^T=(a_{ji})_{n \times m}}$ 。

代數(shù)式表達(dá)： $A=(aij)m×n<f:T>AT=(aji)n×m\mathsf{A=(a_{ij})_{m\times n}<f:T>A^T=(a_{ji})_{n \times m}}$

絕大多數(shù)人運(yùn)算的時(shí)候也只是在計(jì)算稿上將矩陣沿主對(duì)角線進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，如 $A=(12?21)A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\\\end{pmatrix}$ 轉(zhuǎn)置有 $AT=(1?221)A^T=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\\\end{pmatrix}$ 。我們?cè)購(gòu)拇鷶?shù)層面深入一點(diǎn)，來(lái)看下面兩個(gè)運(yùn)算。

e.g.2 $\in F^{m \times n}$ ， $X∈Fn×1X\in F^{n\times 1}$ ， $B∈Fn×pB\in F^{n\times p}$ ，則

$(Ax)T=(x1A1+?+xnAn)T=x1A1T+?+xnAnT=(x1x2?xn)(A1TA2T?AnT)=xTAT(Ax)^T=(x_1A_1+\cdots+x_nA_n)^T=x_1A_1^T+\cdots+x_nA_n^T=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1^T\\A_2^T\\\vdots\\A_n^T\\\end{pmatrix}=x^TA^T$ （數(shù) $x$ 轉(zhuǎn)置仍然為 $x$ 。）

e.g.3 $(AB)T=(AB1,AB2,?,ABP)T=((AB1)T?(ABp)T)=(B1AT?BpTAT)=(B1T?BpT)AT=BTAT(AB)^T=(AB_1,AB_2,\cdots,AB_P)^T=\begin{pmatrix}(AB_1)^T\\\vdots\\(AB_p)^T\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_1A^T\\\vdots\\B_p^TA^T\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_1^T\\\vdots\\B_p^T\\\end{pmatrix}A^T=B^TA^T$

筆者在這里可以肯定，絕大多數(shù)人對(duì)轉(zhuǎn)置的認(rèn)知都停留在以上定義層面以及上述的代數(shù)運(yùn)算層面。那轉(zhuǎn)置在幾何層面起什么作用呢？容筆者在這埋下一個(gè)伏筆，下面我們來(lái)快速的過(guò)一遍向量子空間。

向量子空間（subspace）

筆者清華線性代數(shù)公開(kāi)課筆記第一部分第27頁(yè)

四個(gè)基本子空間的基的代數(shù)表達(dá)：

$C(A)={y∈Rm∣y=Ax,?X∈RN}C(A)=\lbrace y\in R^m | y=Ax,\exists X\in R^N\rbrace$
$N(AT)={x∈Rm∣xTA=0}N(A^T)=\lbrace x\in R^m | x^TA=0\rbrace$
$N(A)={x∈Rn∣Ax=0}N(A)=\lbrace x\in R^n | Ax=0\rbrace$
$C(AT)={y∈Rn∣y=ATx,?X∈Rm}C(A^T)=\lbrace y\in R^n | y=A^Tx, \exists X \in R^m\rbrace$

小貼士：在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的過(guò)程你需要很多固定的元認(rèn)知模塊，以便在學(xué)習(xí)的過(guò)程中像搭積木一樣隨取隨用。比如上面四個(gè)子空間的代數(shù)表達(dá)式，心里知道核心圖僅是第一步，第二步更重要，將其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言代數(shù)化表達(dá)出來(lái)，這對(duì)于任何一個(gè)科目的學(xué)習(xí)都是通用的。類(lèi)似的還有數(shù)乘，加法，乘法等。（如果有個(gè)“倉(cāng)庫(kù)”隨時(shí)進(jìn)行查找，也沒(méi)有問(wèn)題。）

以MIT線性代數(shù)習(xí)題公開(kāi)課第11題為串聯(lián)脈絡(luò)

在開(kāi)始閱讀之前，請(qǐng)確保你已經(jīng)看完MIT線代習(xí)題公開(kāi)課第11題，而且有了略微的理解。

（筆者2019.11.30的線代習(xí)題公開(kāi)課摘錄筆記第7頁(yè)）

在計(jì)算的過(guò)程中，我們已經(jīng)的得到了四個(gè)子空間的基底，下一步我們來(lái)看它是如何經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)置產(chǎn)生聯(lián)系的。（直接上圖）

習(xí)題公開(kāi)課視頻的講解非常清晰，行空間（基底 ${(503),(011)}\lbrace \begin{pmatrix}5\\0\\3\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}\rbrace$ ）和零空間（基底 ${(?35?11)}\lbrace \begin{pmatrix}-\frac{3}{5}\\-1\\1\\\end{pmatrix}\rbrace$ ）經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)置被投射到列空間（基底 ${(1?21),(010)}\lbrace \begin{pmatrix}1\\-2\\1\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}\rbrace$ ）和左零空間（基底 ${(101)}\lbrace \begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix} \rbrace$ ）。在這里可以清晰明了的看到矩陣的數(shù)值計(jì)算僅僅是流于表面的現(xiàn)象，向量空間與向量空間之間經(jīng)由轉(zhuǎn)置發(fā)生的變化才是真正的核心。

小貼士：引申一個(gè)問(wèn)題，向量“ $↗\nearrow$ ”究竟是什么？經(jīng)過(guò)以上的講解，再將其理解為有方向、有長(zhǎng)度的箭頭是否已經(jīng)有點(diǎn)太“低端”了呢？你必須理解，初次學(xué)習(xí)線性代數(shù)，引入一個(gè)“有方向、有長(zhǎng)度的箭頭”作為向量?jī)H僅是為了讓你建立幾何直觀方便入門(mén)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，你要逐漸摒棄這個(gè)概念，真正從空間變化的角度來(lái)理解線性變換。更多時(shí)候，你要把向量看作是空間變化的線性載體。（觀點(diǎn)啟蒙于課程「線性代數(shù)的本質(zhì)」）

參考資料

北京航空航天大學(xué)線性代數(shù)公開(kāi)課李尚志老師&個(gè)人筆記

線性代數(shù)的本質(zhì)系列課程個(gè)人筆記第2頁(yè)

清華大學(xué)線性代數(shù)公開(kāi)課第一部分徐帆老師&馬輝老師個(gè)人筆記第7頁(yè)、第32頁(yè)

MIT線性代數(shù)習(xí)題公開(kāi)課個(gè)人筆記第11頁(yè)

高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（第二版上冊(cè)）邱維聲著第14頁(yè)

文章更新記錄

文章版面微微調(diào)整，修改了幾個(gè)錯(cuò)別字以及數(shù)學(xué)符號(hào)樣式調(diào)整。「2020.12.4 15:22」
文章內(nèi)容調(diào)整。「2021.4.2 18:58」
文章部分內(nèi)容調(diào)整。「2021.5.19 16:21」
修改標(biāo)題。「2022.11.5 9:53」

P.S.1 學(xué)業(yè)中斷后一兩年方知讀書(shū)好，在學(xué)校真幸福呀。真的很希望那段時(shí)間有一個(gè)長(zhǎng)輩、學(xué)者做個(gè)引導(dǎo)指點(diǎn)個(gè)人學(xué)習(xí)的方向。太多人尤其是剛進(jìn)大一的學(xué)子不知那幾年的歲月對(duì)當(dāng)時(shí)的他們意味著什么。分?jǐn)?shù)不得，真正的學(xué)問(wèn)也無(wú)，后悔者不在少數(shù)呀。「2021.5.19 16:27」

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线代 [3]｜从增广矩阵漫谈矩阵转置对向量在四个向量子空间内的“飞舞”（第三篇）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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