在前文中，我們推導出了關于物體碰撞的一些相關公式。其實，在實際情況下，這些公式并不能直接使用。這是因為，在現(xiàn)實中很難找到“完全沒有彈性”或“完全有彈性”的物體。一般的物體都達不到這兩種標準。換句話說，對于絕大多數(shù)物體來說，它們既不是“完全有彈性”的，也不是“完全沒有彈性”的。舉個例子來說吧，皮球是什么性質(zhì)的物體呢？這個問題可能會讓古代的寓言家嘲笑我們，不過沒關系，我們就是想知道它到底是“完全有彈性”的，還是“完全沒有彈性”的。

其實，要想驗證一個球的彈性是怎樣的并不難，我們可以把它拿到一定的高度，然后讓它自然落到堅實的地面上。如果這個球是“完全有彈性”的，那么它落下后再彈起來的高度應該等于原來的高度；而如果是“完全沒有彈性”的，那么它就會一點兒都彈不起來。

剛才，我們說的是“完全沒有彈性”或“完全有彈性”的球。如果皮球不是完全有彈性的又會是怎樣的情況？要想回答這個問題，我們需要先深入研究一下彈性物體的碰撞。當皮球到達地面時，它與地面接觸的部分將被壓扁，壓力會使皮球的速度降低。在這之前，皮球與地面碰撞的情形跟非彈性物體是一樣的。換句話說，皮球這時候的速度是u，而失去的速度是v1-u。但是，剛才壓扁的地方又會馬上凸起來。由于地面妨礙了它的凸起，所以它必然作用于地面一個力，同時也有一個力作用在皮球上，使得皮球的速度降低。如果皮球的形狀得以恢復，皮球形狀的變化正好與前面被壓扁的情形相反，那么皮球就會再一次失去前面失去的速度，也就是v1-u。所以，如果皮球是完全彈性的，那它總共減少的速度為2(v1-u)，它的速度變?yōu)?#xff1a;

v1-2(v1-u)2u-v1

如果皮球“不是完全有彈性的”，在外力的作用下，它的形狀發(fā)生變化后不會完全恢復成原來的樣子。換句話說，使皮球恢復成原來形狀的力要小于前面使它改變形狀的力。與此對應，皮球在恢復形狀的過程中失去的速度要比在形狀改變的過程中失去的速度小，它的大小等于v1-u的一部分。如果我們用e表示“恢復系數(shù)”，那么皮球在彈性碰撞的整個過程中，前一階段失去的速度仍然為v1-u，而后一階段失去的速度為e(v1-u)，皮球總共失去的速度就是(1+e)(v1-u)。于是，皮球碰撞后的速度u1就等于：

u1=v1-(1+e)(v1-u)(1+e)u-ev1

這里，我們討論的是皮球碰撞地面的情形。根據(jù)反作用定律，地面在皮球的作用下，速度也會發(fā)生變化，可得：

它們的差u1-u2得：

所以，對于皮球來說，恢復系數(shù)e得：

此外，由于這里討論的是皮球撞向地面的情況，所以u2=(1+e)u-ev2=0，v2=0，那么可得：

其中，u1是皮球跳起時的速度，它等于

，其中h為皮球跳起的高度；

，H為皮球落下的高度。于是可得：

我們推導出了皮球的恢復系數(shù)的計算公式。在某種意義上來說，恢復系數(shù)e表示皮球“不完全彈性”的程度。從表達式可以看出，只要我們測量出皮球落下的高度，以及跳起來的高度，把得到的兩個數(shù)值相除，然后再開方，就可以得到我們想要的系數(shù)值了。

根據(jù)物體的運動規(guī)則，當網(wǎng)球從250厘米的高度下落時，它彈起的高度大概是127厘米~152厘米，如 圖所示。所以，網(wǎng)球的恢復系數(shù)介于

和

之間，也就是0.71～0.78。

圖 網(wǎng)球在從250厘米的高處落下時，能跳起到約140厘米的高度。

下面，我們以e的平均值0.75，即彈性為75％的皮球為例，舉幾個運動員們非常感興趣的例子。

第一個例子：讓皮球從高度H落下，皮球第二次、第三次以及后面每次彈起的高度都是多少？

通過前面的分析，我們知道，皮球第一次跳起的高度可以用下式來計算：

把e = 0.75，H = 250厘米代入上式，可得：

當皮球第二次從地上彈起來的時候，就相當于從h = 140厘米的高度落下，然后再彈起來。假設這時候皮球的高度是h1，可得：

同樣的方法，我們可以求出，當皮球第三次彈起來的時候，它的高度是：

后面每一次的高度都可以用這個方法一直計算下去。

如 圖 所示，如果不考慮空氣阻力，那么當皮球從埃菲爾鐵塔的頂端(高度H = 300米)落下時，它第一次彈起來的高度就是168米，第二次是94米……實際上，由于高度比較高，皮球落下的速度也很大，所以空氣阻力的影響是比較大的。

圖 從埃菲爾鐵塔塔頂落下的球能跳到多高。

第二個例子：如果皮球從高度H落下，那么它彈起來的總時間是多少？

我們有下面的式子：

可得：

皮球每次彈起來的時間之和就等于：

把前面的公式代入，并進行一些計算，我們就可以得到這個多項式之和等于：

如果H=2.5米，那么把g=9.8米/秒2和e=0.75代入上式，得到的總時間就是5秒。也就是說，皮球會持續(xù)彈跳5秒鐘。

如果皮球從埃菲爾鐵塔的頂端落下，在不考慮空氣阻力的情況下，通過計算可得：皮球會一直彈跳大概1分鐘(確切地說，是54秒)。當然了，是在皮球不會撞破的情況下。

如果皮球只是從幾米高的地方落下，那它落下時的速度并不大，所以受到的空氣阻力也不大。人們曾經(jīng)進行過專門的試驗：讓一個恢復系數(shù)是0.76的皮球從250厘米的高度落下。我們知道，如果沒有空氣的阻力，它彈起來的高度應該是84厘米，而實際上，它彈起來的高度是83厘米。可見，這時空氣阻力的影響并不大。

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總結

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