• 背景

最近在抖音直播數學答疑的時候，恰好有一位朋友問到了這個問題，已知x，z，y三列數據如上圖所示，請問y的最后一位數是多少？

乍一看，還以為很簡單，拎（掄）起粉筆就一頓操作（猛如虎）

（1）分別將x，z，y三列數據記作3個數列$\{x_n\},\{z_n\}$ 和 $\{y_n\}$， 其中n表示其所在數列的序號或位置。

（2）很容易發現如下規律
$$z_n?x_n=6\text{\hspace{1em}(1)}$$
和
$$x_n+y_n=x_{n+1}\text{\hspace{1em}(2)}$$
以及

$$z_n+y_n=z_{n+1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

將（2）和（3）組合一下便得到（1），即

$$z_n?x_n=z_{n+1}?x_{n+1}=6\text{\hspace{1em}(4)}$$

而問題相當于是要求$\{y_n\}$的下一個$y_{n+1}$，上面3個關系式中卻沒有任何項涉及到，故這些關系不能解決根本問題，現在擺在我們面前的有兩條路

• 找出數列 $\{x_n\}$ ,$\{z_n\}$ 的下一項 m 和 m+6，然后利用（1）-（4）的關系進行求解$y_n$ 下一項 $\lambda$；

序號123456789

x	-5	5	0	2	9	6	4	10	m
z	1	11	6	8	15	12	10	16	m+6
y	10	-5	2	7	-3	-2	6	$\lambda$

• 直接找出 $\{y_n\}和\{x_n\},\{z_n\}$ 之間的關系表達式， 即

$$y_n=f(x_n,z_n)\text{\hspace{1em}(5)}$$

由 $\{x_n\}$ 和 $\{z_n\}$的關系，（5）又可以改寫成

$$y_n=f(x_n)\text{\hspace{1em}(6)}$$

第一條道路相當于繞了一圈，簡稱間接法，第二條道路更直接，簡稱直接法，我們先采用直接法來進行解答

• 先畫出$\{y_n\}和\{x_n\}$散點圖

為了找出$\{y_n\}和\{x_n\}$之間的函數關系，我們可以先建立一個最簡單最純粹的假設

$$y=ax+b\text{\hspace{1em}(7)}$$

沒錯，就是最簡單的線性關系，然后擬合出來系數 a 和 b分別是 -0.97580645和5.0702765 （保留8位小數），這樣$\{y_n\}和\{x_n\}$之間的函數關系便是

$$y=?0.9758x+5.07\text{\hspace{1em}(8)}$$

然后畫出來擬合函數，觀察其與原數列之間的差距

我們看到除了第1個點和第5個點靠得近，其余的點差距還是挺大的，既然一次擬合性能太差，那么我來個2次函數唄，即假設

$$y=a{x}^2+bx+c\text{\hspace{1em}(9)}$$

觀察發現2次函數擬合和1次函數擬合沒啥大的區別，再繼續提高擬合函數次數

4次時候

觀察發現第1，3，4，5四個點都靠的比較近，差距在縮小，繼續提高次數
5次的時候

觀察發現第2，6，7三個點擬合的還不夠完美，繼續提高次數

6次的時候

此時，擬合曲線恰好經過數列$\{y_n\}$的7點，可以認為擬合效果比較完美，此時的擬合函數為

$$y=?0.01265x^6+0.2035x^5?0.591x^4?4.176x^3+22.7x^2?24.32x+2\text{\hspace{1em}(10)}$$

將x = 10代入上（10）式，求得 y = -351.60606060605966
從y值可以猜出這是一個無限循環小數，循環節為6060，故最后所求的y值為

$$?351.\dot{6060}$$

• 完整代碼

# -*- coding: utf-8 -*- """ Project name: 找規律 Description: Created on Sun Sep 20 17:27:34 2020 @author: 帥帥de三叔 """ import numpy as np #導入數值分析模塊 import matplotlib.pyplot as plt #導入繪圖模塊x0 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] x = [-5, 5, 0, 2, 9, 6, 4] z = [1, 11, 6, 8, 15, 12, 10] y = [10, -5, 2, 7, -3, -2, 6]plt.figure(figsize = (6,4)) plt.scatter(x0, x, color = 'r', label = "x") plt.scatter(x0, z, color = 'g', label = "z") plt.scatter(x0, y, color ="brown", label = "y")coef = np.polyfit(x, y, 6) #求出系數 print('擬合函數的系數 :\n', coef ) #打印出系數 funExpression = np.poly1d(coef) #求出表達式 print('擬合表達式 :\n',funExpression) #打印出表達式 yFit =np.polyval(funExpression, x) #求出擬合函數的y值 print("擬合出來的y值：\n", yFit) plt.plot(x0, yFit, color = 'blue', label ="fitting line")nextY = np.polyval(funExpression, 10) #求出擬合函數的y值 print("所求的y的值為：", nextY ) plt.legend(loc = "upper left") plt.show()

參考文獻
1， https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.0/reference/generated/numpy.polyfit.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python函数拟合的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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