代数-抽象代数
1. 集合論基礎
（1）等價關系：集合X上的二元關系定義為的一個子集。如果它還滿足反身性、對稱性、傳遞性，則為等價關系。
商集：X的全體等價類構成的集合，
（2）笛卡爾積的一般定義：笛卡爾積中的每個元素實際上都對應一個函數，這個函數定義為。因此集族的笛卡爾積定義為下標函數的集合
（3）偏序集：集合上P附加一個偏序關系，即滿足反身性、傳遞性、反對稱性的二元關系，記作。
偏序集的同構：偏序集P和Q之間存在一個雙射，并且都是保序映射，稱為P,Q之間的同構。
濾過序集：偏序集上任意兩個元素組成的子集都有上界。
全序集（鏈）：任意兩個元素之間都有偏序關系（即可比較，必有）的偏序集。
良序集：每個非空子集都有極小元的偏序集。自然數集是良序集，實數集是偏序集但不是良序集。X的冪集P(X)對于包含關系是濾過序集，但一般不是全序集。
（3）集合的勢：集合中元素的個數。設?，則勢??定義為??（這里A,B非交），勢定義為。
?
主要定理：
（1）等價關系與集合劃分：集合的等價關系與集合的劃分之間構成雙射。
（2）選擇公理：由非空集構成的集族?，若下標集合非空，則它們的笛卡爾積也是非空的，即?。
等價表示：對集族中的每個集合，都存在選擇函數?，使得對的任意非空子集S，都有
（3）Zorn引理：對非空偏序集，若A的每個鏈都有上界，則A必含有極大元。佐恩引理與選擇公理等價。
（4）Zermelo良序定理：任意集合A都能被賦予良序，即存在一個偏序關系，使為良序集。良序定理也與選擇公理等價。
良序定理的主要作用是可以將對正整數的數學歸納法推廣到任意良序集上。
（5）數學歸納法：設S是自然數N的子集，。若?，或者?，則S=N。
（6）超限歸納法：設B是良序集??的子集，若對每個，均有?，則B=A。
（7）遞歸定理：給定集合S中的某一元素a和S上的函數序列?，則存在從自然數集到S的唯一的映射?，使得?。
（8）除法算式：對任意整數，存在唯一的一對整數q和r，使得?。
（9）最大公約數的線性表示：任意n個整數的最大公約數都可以表示成這些整數的線性組合。即存在整數?使得?
（10）算術基本定理：每個正整數n>1都可以唯一地表示成?，其中均為素數，
（11）最大勢不存在：對集合A和冪集P(A)，。特別地，對自然數集N和實數集R，有
（12）連續統假設：是否存在勢大于正整數集的勢，而小于實數集的勢。已經證明它與選擇公理和集合論其他公理是獨立的。
（13）Schroeder-Bernstein定理：對集合A和B，若，并且?，則??。
（14）三分律：集合的勢之間是嚴格的全序關系。即下面三條恰有一個是正確的：。證明思路利用佐恩引理。
（15）集合勢的性質：?是最小的無限勢，即每個無限集都有可數子集。
對集合的笛卡爾積，有??。如果A是有限的則?，如果A是無限的則?
如果F(A)為無限集A的所有有限子集構成的集合，則?
?
2. 群、環、域基礎
（1）群：集合G附加上單個二元運算組成的代數結構?。
幺半群：結合律、幺元
群：結合律、幺元、逆元
交換群（Abel群）：結合律、幺元、逆元、交換律
群的階：群中元素的個數，記作?
子群：群G的子集H，在同一運算下也構成群，則H是G的子群，記作?
子群陪集：設，形如?的子集稱為H的左陪集（可類似定義右陪集）。左陪集是等價類。所有左陪集構成G的一個劃分。
子群指數：子群H在G中的左陪集個數（即把G劃分成的等價類個數），記作?
生成群：G是群，M是G的子集，G中所有包含M的子群的交，稱為M的生成群，記作<M>。
循環群：僅由一個元素生成的群
有限生成群：可由有限個元素生成的群。
元素的階：群中元素a的階o(a)定義為循環群的階，即滿足的最小正整數n。
群的方次數：所有元素的階的最小公倍數，稱為群的方次數exp(G)。
正規子群：設，若??都有aH=Ha，則稱H為正規子群，記作?。H是正規子群等價于
單群：只有平凡子集{e}和群G本身是正規子群，再沒有其他的正規子群，則G稱為單群。
商群：正規子群的陪集在乘法下構成群，稱為商群G/H，它的階為?。
元素的共軛元：群G中元素a的共軛定義為。可見正規子群中元素的共軛是其本身。
（2）常見群：
一般線性群?：數域K上n階可逆矩陣全體對乘法構成群。
特殊線性群?：數域K上n階行列式為1的矩陣全體對乘法構成群。
正交群??/ 酉群?：n階正交矩陣對乘法構成群。n階酉矩陣對乘法也構成群。
全變換群S(M)：非空集合M到自身的雙射全體??對乘法（即復合）構成群，稱為M的全變換群。
對稱群（置換群）：n個元素的有限集的全變換群。記?，則一個雙射表示一個置換，表示對n個字母的對稱群，易得
圖形T的對稱群：T是n維歐氏空間的一個子集（即圖形），將T映射成自身的正交變換全體對乘法構成群。
正多邊形群（二面體群）：平面上的正n邊形全體對稱變換對乘法構成群。它包含n個旋轉變換?，和n個反射變換（分別沿著n條不同的對稱軸），共2n個元素。
模n加法群?：模n的剩余類?對加法構成交換群，記作。它是整數加法群Z對其子群nZ的商群。
模n乘法群：與整數n互素的數??作為代表元，構成Z模n的剩余類族?，它對乘法構成交換群。乘法定義為。這個群包含個元素。是歐拉函數?。特別地，若n是素數，則剩余類集族為，是n-1階乘法群。是中所有乘法可逆元組成的集合，因此也稱為的單位群。
（3）置換：中的元素叫做置換，一個置換用??表示，它表示對字母集做一個長為r為輪換，即?，剩下的其他元素則映到自身。長度為2的也叫對換。1-輪換表示恒等置換。
元素的階：顯然一個r-輪換是r階元素。
偶置換：可以分解成偶數個對換之積的置換。
奇置換：可以分解成奇數個對換之積的置換。
置換的非交：置換是非交的，當且僅當字母集中沒有元素被中多于一個置換所移動。
（4）群同態/群同構：群同態是保持運算結構的映射，即。若該映射還是雙射，則為群同構，記為
自同態幺半群：群G的所有自同態映射組成的集合End(G)，它是幺半群
自同構群：群G的所有自同構映射組成的群Aut(G)
群同態是單射的等價條件：等價于同態的核中只有一個元素，即{0}
（5）典范同態（正則同態/正則射影）：若，則映射??稱為G到G/H的典范同態，它是滿的，并且。典范同態是為了在群和商群之間建立關系，把研究群轉化成研究商群。
（6）群的左平移：群G上的映射??稱為由a引起的左平移，記作L(a)。它是一個雙射。
群的正則表示：群G的左平移全體構成G上的全變換群S(G)的子集，記作L(G)，它是一個變換群，稱為G的左正則表示。
（7）群的直和：設??是群，在笛卡爾積??上定義運算為按分量進行?，則??在此運算下構成群，稱為內直和，記作。它有兩個常用的正規子群?，并且有?。直和的定義可推廣到有限多個群。
（8）群的直積：設??是群序列，G為集合的笛卡爾積，在G上定義運算為按分量進行，所得群稱為??的外直積，記作?。群G的子集（其中，除有限多個i外都有）構成??的子群，稱為??的外直和，記作 。易見當I為有限集時，直和與直積是同一個概念。
（9）環：集合R上附加兩個運算組成的代數結構 。
環：加法交換群（結合律、幺元、逆元、交換律）、乘法結合律、分配律，共6條公理
交換環：滿足乘法交換律的環
幺環：含乘法幺元的環
零環：只含有一個元素（必為0）的環
子環：環R的子集S，在環的兩個運算下也構成環，記作?。
逆元：幺環中的元素a若有逆元（ba=ab=1），則b為a的逆元，記為。幺環的可逆元全體構成乘法群，記作?。
零因子：存在??使得 ba=0或ab=0，則稱a是R中的一個零因子。幺環的零因子不是可逆元。
整環：無零因子的交換幺環（共9條公理）。無零因子的限制是為了滿足消去律，消去律與無零因子是等價的概念。
除環（體）：每個非零元都有逆元的幺環稱為體，即加法交換群+非零元乘法群+分配律。注意體不一定滿足乘法交換律，例如Hamliton四元數體。
單環：沒有非平凡理想的環
常用環：整數環?、一元多項式環、多元多項式環、域K上的全矩陣非交換環
（10）理想：設是環，若子集I是R的加法子群，并且具有左右吸收性，即?，則I為環R的理想。顯然左（右）理想都是子環。
生成理想：R是群，M是R的子集，R中所有包含M的子理想的交，稱為M的生成理想，記作(M)
主理想：可由一個元素a生成的理想?
有限生成理想：可由有限多個元素生成的理想
冪零元：存在正整數n，使得?，則a為冪零元
冪零根（小根）：交換環的全體冪零元集合，它是一個理想
交換幺環的根理想：I是交換幺環R的理想，稱為I的根理想
（11）商環：設I是環R的理想，在I的加法陪集集合??上定義加法和乘法運算 ，構成商環，記作?。元素r+I稱為模I同余類
（12）環同態/環同構：環同態是保持環運算結構的映射，即??。若即是單射又是滿射，則稱為環同構，記作??。反同態：將環同態中的?改為?，類似地有反同構
典范同態：，是一個滿同態
自同態環：在交換群G的自同態集End(G)上定義加法和復合運算?，則??構成群G的自同態環
環同態是單射的等價條件：等價于同態的核中只有一個零元素，即{0}
（14）環的直積與直和：可與群的直積和直和相類似地定義。
（15）域：每個非零元都有逆元的交換幺環，記作。即加法交換群+非零元乘法交換群+分配律（共9條公理）。
域擴張：若E是域，，且F在E的運算下也是域，則F是E的子域，E是域F的擴域。
有限域（Galois域）：域中含有限個元素。元素個數為稱為域的階。
（16）有理分式域：?與??是數域P的兩個n元多項式，分式??（只需考慮不可約分式即可）稱為P上的有理分式（有理函數）。數域P上的有理分式的和、差、積、商（除式不為零）仍為P上的有理分式，它構成P上的有理分式域，記作?。有理分式域是包含多元多項式環的最小域。有理數域Q上的一元有理分式域記作??。
（17）代數數域：n次有理系數多項式 ?在復數域中的零點稱為代數數。這與用一元有理分式的零點（就是分式中分子多項式的零點）來定義是等價的。設是一個n次有理分式??的零點，所有形如??的數（其中為有理數）構成的集合，對和、差、積、商是封閉的，構成一個域，這就是有理數域Q添加所得的單擴張，記作?，稱為代數數域 。代數數域可寫作
可以證明對Q的任何有限擴張??（其中是代數數），均可找到一個代數數使得?，因此只要考慮單擴張即可
（18）p-進絕對值：設p為素數，對任一有理數?，a可寫成??的形式，則??稱為a的p-進絕對值。并且定義?。p-進絕對值度量滿足正定性、、強三角不等式?
（19）p-進數域：p-進絕對值滿足通常絕對值的所有性質，是一種度量結構。這樣可以像從有理數出發定義實數一樣，定義Q在p-進絕對值度量下的完備化。
p-進Cauchy序列：對任意，存在正整數N，使得對任意，恒有?
在所有p-進Cauchy序列組成的集合S上定義等價關系??為，當且僅當作對任意?，存在正整數N，使得時恒有?。用代表元定義等價類集合上的加法和乘法運算
?
這樣也是域，它就是p-進數域，記為?。的一個完全代表系為?
即任意一等價類中都含有T中唯一一個元素。這樣T中的每個元素對應一個無窮級數?。因此p-進數域可以寫成
（20）p-進賦值：對p-進數域中的元素進行賦值。對?，定義a的p-進賦值為t，記為。p-進賦值滿足性質?，強三角不等式?
（21）賦值環（p-整數環）：對p-進數域，環??稱為的賦值環。
賦值理想：，稱為的賦值理想
剩余域：?稱為的剩余域。K是p元有限域
（22）Hamilton四元數體：四元數體H是由矩陣環??中形如的元素組成的子集，每個非零矩陣都有逆矩陣。使用復數的代數形式?，四元體可表示成?。它是實數域上的四維線性空間
（23）域的特征：環的加法交換群中元素最大階，稱為環的特征。特別地對域F，元素1的階，即使得?最小正整數n，就是域F的特征，記作char(F)，若不存在這樣的正整數，則F的特征為0。域的特征若不為0，則必須素數。
主要定理：
（1）子群的結構：群同態的核是正規子群，像是子群。子群族的交是子群。由子集生成的子群是全體有限乘積?所構成的集合。特別地對每個，。
（2）循環群的結構：每個無限循環群同構于整數加法群，每個m階有限循環群同構于模m同余類的加法群?。對無限循環群?，只有a和是G的生成元。對m階有限循環群??，是G的生成元的充要條件是(a, k)=1。
（3）對稱群的結構：中的任意一個非幺元的元素都可以唯一地分解成不相交的置換的乘積。特別地，任一置換都可以分解為對換的乘積。的全體偶置換構成的集合是的正規子群，并且它的階為?，它是的唯一指數為2的子群。稱為n級交錯群。
（4）正多邊形群的結構：對每個，正多邊形群是對稱群的子群，它是2n階群，并且生成元a和b滿足。反之任意群G如果由滿足前述條件的元素a,b生成，則必同構于。
（5）Lagrange定理：對有限群G及其子群H，有?。特別地，G中任意一個元素的階o(a)都能整除G的階|G|，于是，并且素數階群一定是循環群。
拉格朗日定理揭示了子群階與父群階的關系。證明思路H與它任意一左陪集之間存在雙射?（驗證它既是單射又是滿射），左陪集是等價類，所有左陪集的無交并構成G。因此左陪集個數乘以左陪集中元素個數即|H|即為|G|。
拉格朗日定理的一些應用：
(a) 歐拉定理：n,a為正整數且互素，則?，因為群??就是
(b) 費馬小定理：p是素數，對任意整數a，有?，費馬小定理是歐拉定理的特殊情形
(c) 威爾遜定理：p為素數，當且僅當?
(d) 4階群的個數（同構意義下）：只有2個，一個是4階循環群，一個是4階非循環的Abel群?，稱它為Klein群
（6）群同態基本定理：若?是群同態，則?，即同態核的商群同構于同態像
利用同態基本定理可推導出一些群是同構的。首先要在兩個群之間建立一個合適的映射，證明它是滿同態，然后去求同態的核，根據定理得出同太像同構于商群
第一同構定理：對G的兩個正規子群?，有?
第二同構定理：對G的一子群和一正規子群?，有?
（7）Cayley定理：任一群都同構于某一集合上的變換群。特別地，|G|=n時，G必同構于對稱群的一個子群。
該定理說明，任何一個群本質上都是變換群（對無限群而言）或對稱群（對有限群而言）
（8）直和等價條件：設G是群，，則映射??是同構，等價于G的任一元素表為H,K元素乘積的表示法唯一。等價于G的幺元表為H,K元素乘積的表示法唯一。等價于??。
（9）子環性質：子環的交仍是子環。理想的交與和仍是理想。環同態的核是理想，像是子環。
（10）環同態基本定理：若?是環同態，則?，即同態核的商環同構于同態像
第一同構定理：對環R的兩個理想?，有?
第二同構定理：對環R的理想I，和子環S，有?
（11）域的結構：特征為0的域必含有與Q同構的子域，特征為p>0的域必含有與??同構的子域。Q和?稱為素域。這說明任何一個域都是某個素域的擴張。
（12）有限域的階：每個有限域的階必為素數的冪，因此有限域也記作?
?
3. 群論進階
（1）群的中心：群中能與其他元素交換的元素組成的集合，即?，它是G的正規子群
元素的中心化子：能與元素y交換的元素全體組成的集合，即，它是G的子群
子集的中心化子：S為群G的子集，能與S的所有元素都交換的元素組成的集合，即?。它是G的子群
子集的正規化子：對子集保持共軛封閉的所有群元素組成的集合，即?。它是G的子群，并且是的正規子群
（2）換位子群（導群）：由群G的所有換位子生成的子群，記作。是G的正規子群，并且是交換群。
換位子：元素?稱為a和b的換位子，記作[a,b]
n級換位子群：規定，對n>1，遞歸定義為G的n級導群
換位子群的作用：換位子群是使得商群成為交換群的最小正規子群。即，則G/H是交換群的充要條件是
（3）可解群：存在一個其商群皆為Abel群的正規列。即存在正規列?，滿足??都是交換群。
可解群等價定義1：存在正規列?，滿足??都是素數階循環群。
可解群等價定義2：對群G，若存在正整數n，使得G的n級換位子群為幺元平凡群，即，則G為可解群
可解群的概念產生于描述其根可以只用根式表示的多項式所對應的自同構群所擁有的性質，即多項式方程有根式解的性質。若限制在有限生成群中，則有下列的排序：
循環群 < 阿貝爾群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重循環群 < 可解群 < 有限生成群
（4）群的內自同構（共軛變換）：一類特殊的自同構，即映射?，也稱為g引起的共軛變換
內自構群：群G的全體內自同構映射組成的群，記作Inn(G)。它是自同構群Aut(G)的正規子群，并且同構于群中心的商群，即
外自同構群：稱為G的外自同構群。中的自同構，稱為G的外自同構
（5）群的作用：設G是一個群，S是一個集合，映射??若滿足?，則稱為G在S上的一個作用。群作用是將G中的元素看作映射把S映射到S，它是一個雙射。因此也可以將G在S上的作用定義為從G到S的對稱群的群同態
軌道：在S上定義等價關系?表示存在使得，在此等價關系下的一個等價類稱為一個軌道，以元素作為代表元，其軌道記作，軌道是劃分S的一個等價類。軌道中元素個數稱為軌道長度?。所有軌道構成集合S的一個劃分，因此有
?，其中?是所有軌道的完全代表系
（6）穩定子群：設群G作用在S上，若g(s)=s，稱為的一個不動點。使s為不動點的所有群作用元素構成的集合?，稱為s的穩定子群，即Stab(s)中的每個元素保持s不動。
不動點集：在作用下保持不變的不動點集合，記作?
同一軌道中各元素的穩定子群是互相共軛的，即
（7）群的共軛作用：群G到自身的作用?，的軌道為?，稱為x的共軛類，記作，共軛類是x的所有共軛元構成的集合。共軛作用的核等于群的中心Z(G)。在共軛作用下元素x的穩定子群等于其中心化子?。
群的類方程：群G的階等于所有共軛類的基數之和，即?，這就是群G的類方程
（8）Sylow p子群：有限群G中階為素數的方冪的子群，即階子群，p為素數，整除。
（9）群的合成列：群G中存在一個正規列?，滿足??都是單群，則稱為G的一個合成列。每個商群?稱為一個合成因子，s稱為合成長度。
合成列是借著將代數對象（如群、模等）拆解為簡單的成分，以萃取不變量的方式之一
（10）升鏈條件/降鏈條件：對無限群G的子群（或正規子群）鏈?，總可找到正整數k，使得，稱為升鏈條件。對無限群G的子群（或正規子群）鏈?，總可找到正整數k，使得，稱為降鏈條件。
極大條件/極小條件：對無限群G的所有子群組成的集合S，若S中總存在極大元素M（即S中的其他元素都是M的子群），稱為極大條件。若S中總存在極小元素M（即S中的其他元素都不是M的子群），稱為極小條件。
升鏈條件和極大條件等價，降鏈條件和極小條件等價。
（11）自由群：存在自由生成元集的群G，稱為自由群。
自由生成元集：設X是群G的一個生成元集，如果對任意互不相等的，都有?，其中?是任意非零整數，則稱X為群G的一個自由生成元集
（12）字：集合X上的任意一個有限長序列，其中
空字：長度為0的字
字相等：兩個字的各個對應分量相等，并且長度相等
字的連接：由集合X中的元素組成的字的全體記作X上的字集，定義字的乘法為字的連接，則構成幺半群，空字為幺元
字相鄰：為使字有逆元，考慮有相同基數的兩個不相交集合的并，字集中的兩個字，如果一個形如，另一個形如或形如，則稱這兩字相鄰
字等價：兩個字等價，如果存在有限多個字，使得，并且與相鄰。這個關系是上的一個等價關系。定義等價類的乘法為，則商集?構成群。
X生成的自由群：等價類集合?稱為集合X生成的自由群，記作F(X)
不可約字：字集中的字如果形如?或?，則稱該字是可約的，否則為不可約的。中的每個字都等價于唯一的一個不可約字
（12）正交變換：以三維歐氏空間為例，是線性映射?，并且變換保持任意兩點間的距離不變，即該變換的矩陣行列式為??。如果，則?是繞原點的旋轉。
正交變換群：全體正交變換組成的群，記作?，或簡記作?。行列式為1的正交換即旋轉變換的全體組成的指數為2的正規則子群，記作
正多面體旋轉變換群：是由三維歐氏空間中所有把該正多面體變到自身的旋轉變換組成的群。這與對稱群不同，對稱考慮考慮所有正交變換（其中包括反射變換），這里只考慮旋轉變換。正多面體旋轉群在物理、化學、生物、晶體學中有應用
有限旋轉群：的有限子群
主要定理：
（1）循環群的結構：無限循環群必同構于整數加法群Z，有限m階循環群必同構于整數加法群的商群
證明思路考慮滿同態?，分析出?，再運用同態基本定理
（2）循環群的子群結構：循環群??的子群仍是循環群。無限循環群Z的子群除以外都是無限循環群，且Z的子群與非負整數一一對應，即每個?對子群??。有限m階循環群的子群與m的因子一一對應，即m的每個正因子d對應于d階子群?
（3）模m乘法群是循環群的充要條件：模m乘法群?是循環群，當且僅當m為下列情形之一：，其中p是奇素數，r是正整數
（4）有限Abel群的性質：有限交換群中的元素a,b，若o(a)與o(b)互素，則o(ab)=o(a)o(b)。有限交換群中存在一個元素，其階是群的方次數，即所有元素的階的最小公倍數。有限交換群是循環群的充要條件是對任意一整數m，?在G中最多有m個解。
（5）有限Abel群結構定理：
(a)?對n階有限Abel群G，，則有?，其中??為一組整數，滿足?。即有限交換群可以唯一地表示為一系列素數階循環群的直和。所有的這些稱為G的初等因子。
(b) 對n階有限Abel群G，存在唯一的一組正整數??滿足整除關系?，且?，使得G可以表示為?，這些稱為G的不變因子。
(c) 兩個有限Abel群同構，當且僅當他們的初等因子相同。這表明初等因子是所有有限Abel群在同構關系下的完全不變量。
（6）有限生成的Abel群結構：兩個有限生成的Abel群同構，當且僅當它們有相同的初等因子和相同的秩。
（7）單群的結構：任意素數階群必是循環群，并且也是單群。但單群不一定都是素數階的，如果單群是Abel群則必是素數階的，即Abel群G是單群當且僅當G是素數階循環群。對于非交換群，交錯群當時是單群。可見是最小的非交換單群，這恰恰是五次以上方程沒有求根公式的原因。
有限單群分類定理：全部有限單群分成以下四大類
(a) 素數階循環群，它包括了所有的交換單群
(b)?時的交錯群（n個文字的所有偶置換構成的群），都是非交換單群
(c) Lie型單群，共16族，包括施瓦萊群共9族（有限域上某些典型群/例外群）、扭群共7族
(d) 26個散在單群
（8）可解群的結構：可解群的子群、商群、同態像都是可解群。兩個可解群的直積也是可解群。H及G/H為可解的，則G也是可解的。
一些可解群類別：
(a) 交換群、冪零群、有限p-群（因為它冪零群）、單群的外自同構群
(b) 對稱群（對應一次、二次、三次、四次方程的伽羅瓦群，其中是非冪零的可解群）
(c) 小于60階的群（因為的階為5!/2=60，是最小的非交換單群）
(d)?Burnside可解群：所有形如階的群都是可解群，其中p,q為素數，m,n是自然數（含0）
(e)?Feit-Thompson定理（奇數階定理）：每個奇數階的群都是可解群。特別地若一有限群為單群，則其必為素數階循環群或是偶數階的，非交換單群都是偶數階的。
一些不可解群類別：
(a) 所有?的對稱群（的一個正規列為，而是最小的非交換單群，因此不可解，n>5時情況也類似）
(b) 所有非交換單群
（9）軌道-穩定子定理：對群作用?，軌道長度等于其穩定子群的指數，即有軌道公式??。特別地當G為有限群時，有?，即每一條軌道長度都是G的階的因子。
當S是有限集時，有
其中?是所有軌道的完全代表系
（10）Burnside引理：對有限群的群作用?，S在群作用下的軌道條數為
，即群G每個元素的不動點集基數之和，除以G的階。
（11）群的類方程：考慮共軛作用，元素的穩定子群就是其中心化子，群G的類方程可化簡為?
?
這里Z(G)是群G的中心，是所有共軛類的完全代表系，而是非中心元素共軛類的代表元
它要表達的意思是，群的階可以分解為群中心的階，加上每個非中心元素共軛類的中心化子指數之和
（12）第一Sylow定理：設G是階為??的有限群，p為素數，，對每個 ，G中含有階子群，并且每個階子群是某個階子群的正規子群
（13）第二Sylow定理：設G為有限群，是G的兩個Sylow p子群，則存在，使得，即一個Sylow p子群必包含于另一個Sylow p子群的某個共軛子群中。由此可知，有限群的所有Sylow p子群兩兩互相共軛，它們在G的內自同構映射下形成傳遞關系
（14）第三Sylow定理：有限群G的Sylow p子群個數m是??的因子，并且
Sylow定理的一些應用例子：不存在12、30、36、56、148階的單群。8階群只有5種不同構的類型：，其中是正4邊形群，是四元數乘法群
（15）Schreier定理：有限群G的任意一個正規列??都可加細為合成列。由此可見，有限群必有合成列。
（16）Jordan-Holder定理：任一有限群的所有合成列長度皆相等，并且它們對應的合成因子（不計順序）是同構的。
例如12階循環群，它具有三個相異的合成列
：合成因子為?
：合成因子為?
：合成因子為?
它們的對應合成因子（不計順序，其間只相差一個置換）是同構的
定理表達的意思是，有限群G的任一合成列的合成因子組（不計順序）在同構意思下是由G唯一確定的，與合成列的選取無關，因此也稱為G的合成因子組，它由一組非平凡的單群組成。可見單群類似于整數中的素數，是搭成有限群的“積木塊”。
（17）無限群存在合成列的充要條件：無限群G存在合成列的充要條件是G的正規列??滿足升鏈條件，并且G的正規列??滿足降鏈條件。
（18）自由群的結構：由一個元素生成的自由群是無限循環群。由兩個或兩個以上元素生成的自由群F(X)一定是非Abel群。自由群F(X)的每個非幺元都是無限階元素。任何一個群是某個自由群的同態像，從而任何一個群都同構于某個自由群的商群
（19）自由群的萬有性質（投影性質）：自由群F到群G有同態?，群H到群G有滿同態?，則必存在自由群F到群H的同態，使得?
（20）正多面體旋轉群：互為對偶的正多面體的旋轉變換群是同構的。正四面體自對偶，正六面體與正八面體互為對偶，正十二面體與正二十面體互為對偶。正四面體旋轉群同構于12階交錯群、正六面體旋轉群同構于24階對稱群、正十二面體旋轉群同構于60階交錯群
（21）有限旋轉群：的有限子群。有限旋轉群只有以下幾種互不同構類型：12階的交錯群、24階的對稱群、60階的交錯群
?
4. 環論進階
（1）理想互素：設I和J是幺環R的理想，若I+J=R，則稱理想I與J互素。
理想的積：I和J是環R的理想，則包含?的所有理想的交為I與J的積，記作IJ。易見?
（2）理想的模同余類：設I是環R的一個理想，對于?，若?，則稱a與b模I同余，記作?
（3）素理想：設P為環R的理想，，若對任意?，?蘊含??或?，則稱P為R的素理想
極大理想：M是環R的理想，且，對R的任意理想I，?蘊含I=R，則稱M為R的極大理想
（4）分式域：設R是整環，即無零因子的交換幺環。F是域，若存在R到F的單的環同態，滿足F中的每個元素都可以表示成?的形式，其中?，則F稱為整環R的分式域
常見的分式域：整數環Z的分式域即有理數域Q、多項式整環F[x]的分式域
（5）整環中的整除：在整環R上，元素的整除關系、因子、倍子、公因子、公倍子，與整數中的定義類似。一般而言，整環中一些元素的最大公因子和最小公倍子不一定存在
相伴：若?且?，則稱a與b相伴，記作。相伴關系是R上的一個等價關系。?等價于R中存在可逆元u，使得a=bu。
真因子：b整除a但a不整除b，即b是a的因子但不是a的相伴元，則b是a真因子。可逆元沒有真因子，因為可逆元是R的任一元素的因子
平凡因子：a的所有相伴元，和R中的所有可逆元都是a的因子，它們稱為a的平凡因子。其他因子稱為a的非平凡因子
不可約元：對非零的不可逆元a，若只有平凡因子則稱a是不可約的，否則稱a是可約的。不可約的意思表示它因子最少（只有平凡因子），不可約元的相伴元也是不可約元
不可約元的等價定義：若任意的a=bc，都蘊含b是可逆元或c是可逆元，則a是不可約元
素元：對非零的不可逆元a，若對任意?，都蘊含或，則稱a為素元。素元一定是不可約元，但不可約元不一定是素元
整除概念翻譯成用理想來描述：
：等價于?，等價于?
：等價于?
a可逆：等價于?
a是素元：等價于(a)是素理想
（5）復數在整數上生成的子環：復數t在整數環的子環為?，它是復數環的子環
（6）唯一因子分解整環（高斯整環）：非零不可逆元可以分解為有限多個不可約元乘積（稱為因子鏈條件），并且分解方式在相伴意義下是唯一的，則稱為高斯整環。分解方式唯一是指若有兩個因子分解方式，則必有n=m，且不可約元適當調換順序后可以全部形成相伴關系。高斯整環簡寫為UFD。
（7）歐幾里德整環：能夠進行帶余除法的整環。設R是整環，若存在到自然集N的一個映射d，滿足對任意的?，存在?，使得?，其中或
一些歐幾里德整環：整數環Z，域F上的一元多項式環F[x]、高斯整數環?
（8）主理想整環：所有理想都是主理想的整環，記作PID。
（9）整環上的多項式環：跟域F上的一元多項式環、多元多項式環定義類似。記作?。它們都是整環。
（10）本原多項式：對非零次多項式?，若各項系數的最大公因子?，則f(x)稱為R[x]中的本原多項式。
多項式的容度：即各項系數的最大公式子，記作c(f(x))。有
（11）冪級數環：系數在域K中的形式冪級數?全體在加法和乘法下構成一個環，稱為K上的一元形式冪級數環，記作K[[x]]。冪級數環是主理想整環
（12）代數整數環：設K是代數數域，K中的元素a稱為代數整數，如果a是一個首項系數為1的整系數多項式的零點。K中的代數整數全體構成一個環
（13）Noether環：每一條理想升鏈??都是有限的，并且是交換環。主理想整環都是諾特環，域是諾特環
主要定理：
（1）生成理想的結構：子集M的生成理想?，其中求和號是有限求和
若R是幺環：
若R是交換幺環：
（2）理想的性質：若I,J是環R的理想，則I+J, IJ都是理想，并且。若理想都與J互素，則也與J互素。若理想I,J互素，則?。
（3）中國剩余定理：若??是幺環R的兩兩互素的理想，則?，如果R是交換幺環，則其中的?可以用??代替。
（4）數論中的中國剩余定理：設整數?兩兩互素，則一元線性同余方程組
有解。通解的構造方法：
設??是?的乘積，??是除以外的n-1個整數乘積。設??為??模??下的的逆元，即?，則方程組的通解形式為
在模M的意義下，方程組只有一個解?
（5）極大理想的存在性：幺環中必存在極大理想。
（6）素理想的作用：對環R，P是素理想當且僅當商環R/P是整環。P是極大理想當且僅當商環R/P是域。特別地，交換幺環的極大理想必是素理想。
（7）多項式環的理想：域F上的一元多項式環F[x]的每一個理想都是主理想，其中非(0)的主理想可以由首項系數為1的多項式生成。次數大于0的多項式p(x)是不可約多項式，當且僅當主理想(p(x))是F[x]的極大理想。
對環F[x]中的理想M，商環??是域，等價于M是不可約多項式p(x)生成的主理想，即?。這樣給定一個不可約多項p(x)，就可以構造域?。
（8）分式域的唯一性：設R是一個整環，則存在R的分式域，并且在環同構意義下，R的分式域是唯一的。
通過整環構造分式域的方法：
令為二元組(a,b)組成的集合，記?。在S上定義一個等價關系??，當且僅當?，記?為等價類的集合，?為(a, b)的所在的等價類（即值等于(a,b)的所有分數的集合），類似于有理數的加法乘法，在?定義加法和乘法
?在此二運算下構成域，它是R的分式域。R與?的子集??之間是雙射，因此R可看作是其分式域的子環
（9）整除的一些性質：在整環R中，若，則?。如果每一對元素都有最大公因子，則每一個不可約元必是素元，并且有?。
（10）唯一因子分解整環：整環R是唯一因子分解整環的充要條件是R滿足因子鏈條件，并且R中的每個不可約元都是素元。UFD中的每一對元素都有最大公因子。
（11）歐幾里德整環：是主理想整環（即每個理想都是主理想），因此也是唯一因子分解整環
（12）主理想整環：主理想整環中a是不可約元等價于(a)是極大理想，因此不可約元必是素元。主理想整環都是唯一因子分解整環
（13）Gauss引理：設R是UFD，則R[x]中的兩個本原多項式乘積仍是本原多項式。特別地，若K是R的分式域，非零次多項式f(x)在R[x]中不可約，則f(x)在K[x]中也不可約
（14）UFD上多項式環：仍是UFD
（15）Eisenstein判別法：設R是唯一因子分解整環，F是R的分式域，對R[x]中的非零次多項式，如果R中存在一個不可約元p，滿足p整除?，p不整除，且不整除，則f(x)在F[x]是不可約
（16）Hilbert基定理：含幺Noether環上的多項式環，也是Noether環
?
5. 域論和Galois理論
（1）域擴張：設K/F是一個域擴張，S是K的非空子集，K中包含的所有子域的交，稱為F添加S得到的子域，它是由S生成的F的最小擴域，即K中包含的最小子域。記作F(S)。
有限生成的擴張：可由有限集合生成的F的擴域。記作?
單擴張：域擴張K/F由F添加單個元素生成，即，稱為單擴張
域的合成：域K中包含子域E和F的最小子域，稱為E和F的合成，記作EF。易見 EF=E(F)=F(E)
代數元：對域擴張K/F，K中的一個元素t是F[x]中的某個非零多項式的零點，則稱t是F上的代數元，否則稱為超越元。代數元是代數數概念的推廣
代數擴張：對域擴張K/F，K的所有元素都是F上的代數元，則稱K/F為代數擴張，否則為超越擴張
單代數擴張：由一個代數元在F上生成的代數擴張，記作?，為F上的代數元
（2）域F-嵌入/F-同構：域只有兩個平凡的理想，域同態只有單同態和零同態。域的單同態稱為域嵌入。也就是說，若K/F和E/F是域擴張，則同態?是一個域嵌入，而且在F上的限制是恒等映射，稱為為一個F-嵌入。如果還是同構，則稱為為一個F-同構
（3）極小多項式：設是域F的單代數擴張，F[x]中滿足??的次數最小的首一多項式f(x)，稱為在F上的極小多項式，記作?。極小多項式是以該代數元為零點的首一不可約多項式
（4）有限擴張：對域擴張K/F，K實際上是域F上的一個線性空間，其維數稱為K/F的次數，記作[K:F]。若[K:F]是正整數，則稱K/F是有限擴張，若，稱為無限擴張。這個線性空間的基也叫K/F的基
（5）代數閉包：對域擴張K/F，若??是F上的代數元，則??都是F上的代數元。從而所有代數元組成的集合是K的一個子域，稱它為域F在K中代數閉包，記作
有理數域Q在復數域C中的代數閉包就是代數數域，通常把的任一子域也叫代數數域
（6）分裂域：f(x)是域F上的一個n次多項式，如果有一個域擴張E/F滿足f(x)在E[x]中能分解成一次因式的乘積?，并且，則稱E/F為f(x)在F上的一個分裂域。這里前一條件表示E中含有f(x)的所有零點，后一個條件表示E是包含F和f(x)所有零點的最小子域
（7）正規擴張：對代數擴張E/F，若F[x]中的任一在E中有零點的不可約多項式，都能在E[x]中分解成一次因式的乘積，則稱E/F是正規擴張
（8）可分擴張：對代數擴張E/F，若E的每一個元素在F上的極小多項式f(x)是可分的，則稱E/F為可分擴張
可分多項式：可分的意思是在分裂域中能分解成一次因式的乘積。對域F上的多項式?，K為f(x)在F上分裂域，若f(x)在K[x]中的所有因式都是一次因式 ，則稱f(x)是F上的可分多項式，否則稱為不可分多項式
（9）Galois群：對任意域擴張K/F，K的所有F-自同構??在復合運算下構成群，稱為K在F上的Galois群，記作Gal(K/F)。伽羅瓦群是擴域K的自同構群，這些自同構限制在F上的部分是恒等映射
不動點域：設G是域E的自同構群，考慮G到E的群作用?，E在G的所有元素作用下的不動點全體，即?，構成E的子域，稱為E的G-不動點域
注意：?是域E在伽羅瓦群Gal(E/F)作用下的所有不動點構成的子域，而F在Gal(E/F)中的F-自同構映射下是不變的，因此有?
（10）Galois擴張：如果域擴張E/F在伽羅瓦群Gal(E/F)作用下的不動點子域恰好等于F，則E/F稱為伽羅瓦擴張
Abel擴張：E/F為伽羅瓦擴張，且Gal(E/F)是交換群
循環擴張：E/F為伽羅瓦擴張，且Gal(E/F)是循環群
主要定理：
（1）有限擴張的刻畫：對有限擴張K/F，K的每一個元素都是F的代數元，因此有限擴張必是代數擴張
對三個域?，K/F是有限擴張等價于K/L和L/F都是有限擴張，此時有
應用：可用來證明三大尺規作圖問題（三等分角、立方倍積、化圓為方）的不可能性
（2）單代數擴張刻畫：對域F上的單代數擴張，f(x)是在域F上的極小多項式，則有?，并且?。即，域F的單代數擴張必同構于極小多項式生成理想對應的商環，并且此擴張的次數等于極小多項的次數
單超越擴張：域F上的單超越擴張，必同構于F的一元有理分式域
（3）分裂域的存在性：域F上的每一個n次多項式f(x)在F上都有一個分裂域E，并且?，在同構意義下該分裂域是唯一的。
（4）正規擴張的刻畫：有限擴張E/F是正規擴張，等價于E是F[x]中的某個多項式的分裂域
（5）有限域的存在性：對任意素數p和任意正整數n，存在個元素組成的有限域，并且這種域在同構意義下是唯一的。記作?。的非零元素乘法群是循環群
（6）Frobenius自同構：對有限域，映射??是??的自同構，稱為Frobenius自同構，記作
（7）可分擴張的刻畫：對有限生成的擴張?，K/F是可分擴張當且僅當??是F上的可分元（即其最小多項式都是可分多項式）
（8）單擴張定理：有限可分的域擴張都是單擴張
（9）Artin引理：設G是域E的自同構群，Inv(G)是E在G作用下的不動點子域，則有??，即E的G-不動點子域擴張到E的次數（維數）不大于G的階
（10）Galois擴張的刻畫：域擴張E/F是有限伽羅瓦擴張，等價于E/F是有限可分正規擴張，等價于E是F(x)中的某個可分多項式在F上的分裂域。對有限伽羅瓦擴張E/F有?。由這個刻畫可知有限伽羅瓦擴張都是單擴張
（11）Galois基本定理：對有限伽羅瓦擴張E/F，其中間域集與伽羅瓦群Gal(E/F)的子群集之間存在雙射，即?，并且?。有數量關系?。H是Gal(E/F)的正規子群當且僅當Inv(H)在F上是正規擴張，此時?
（12）Abel-Ruffini定理：特征為0的域F上的n次一般方程??，當??時，不是根式可解的
（13）Galois定理：F是特征為0為域，，E是f(x)在F上的分裂域，則f(x)=0是根式可解的充要條件是Gal(E/F)為可解群
?
6. 環和域的進階
（1）代數集：設是域K上的n元多項式環，S是??的一個非空子集，S中所有多項式的公共零點組成的集合稱為S所定義的代數集，記作V(S)。對單個多項式，其所有零點的集合稱為f定義的代數集，記作V(f)。對S和S生成的理想I，有V(S)=V(I)。因此只需考慮?的理想所定義的代數集。代數集是K上的n維仿射空間中的點集。
（2）定義理想：對仿射空間中的任一子集X，可以對應地定義一個理想。若X是一個代數集，則?稱為代數集X定義的理想。代數集與它的定義理想是一一對應的，即
（3）代數簇：?中的素理想所定義的代數集
（4）代數簇的坐標環：對仿射空間?中的代數簇V，商環??稱為V的坐標環
?
主要定理：
（1）多項式環??的任一理想都是有限生成的。這是上面Hilbert基定理的推論
（2）代數基本定理的推廣：對多項式環??的理想J，若J不等于整個多項環即?，則J的代數集非空即?
（3）Hilbert零點定理：對多項式環??的任一理想J，有?，其中??為J的根理想。即定義理想就是那些根理想與自身相等的理想。特別地，素理想是定義理想
?
參考書籍：
（1）近世代數：丘維聲，北京大學出版社
（2）抽象代數I，抽象代數II：趙春來，徐明曜，北京大學出版社
（2）代數：Thomas W.Hungerford
總結
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