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编程问答

抽象代数基本概念（一）：代数系

發布時間：2024/8/1 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了抽象代数基本概念（一）：代数系小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

內容整理自任世軍老師的教學資料，也有些是自己做出的證明。若有錯漏之處，敬祈指教。

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設“?”是非空集合S 上的一個二元代數運算，則稱二元組(S， ?) 為一個（有一個代數運算的）代數系。

定義：
- 二元運算：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設X 是一個集合，一個從X與X的笛卡爾積到X 的一個映射φ 稱為X上的一個二元代數運算。
兩個基本性質：
- 結合律：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 結合律是一些二元代數運算所滿足的運算規律。假設?為定義在集合S上的二元代數運算，而a,b,c是S中的任意三元素。那么?滿足結合律，當且僅當(a ? b) ? c = a ? (b ? c) 。
- 交換律：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 交換律是一些二元代數運算所滿足的運算規律。假設?為定義在集合S上的二元代數運算，而a,b是S中的任意二元素。那么?滿足結合律，當且僅當a ? b=b ? a。

基本定理:
- 定理一：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S， ?) 為一個代數系。如果二元代數運算“?”滿足結合律，則 $?ai∈S,(i=1,2,...,n)a1,a2,a3,...,an\forall a_i\in S,(i=1,2,...,n ) \,\,\,\,\, a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 的乘積僅與這n 個元素及其次序有關而唯一確定。
- 定理二：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S，?) 為一個代數系。如果二元代數運算“?”滿足結合律以及交換律，則 $?ai∈S,(i=1,2,...,n)a1,a2,a3,...,an\forall a_i\in S,(i=1,2,...,n ) \,\,\,\,\, a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 的乘積僅與這n 個元素有關而唯一確定，與其次序無關。

定義：
- 左幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S，?) 是一個代數系，如果存在一個元素 $al∈Sa_l\in S$ , 使得 $?a∈S,al?a=a\forall a\in S ,a_l?a=a$ ，則稱該元素為乘法“?”的左單位元素（左幺元）。
- 右幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S，?) 是一個代數系，如果存在一個元素 $ar∈Sa_r\in S$ , 使得 $?a∈S,a?ar=a\forall a\in S ,a?a_r=a$ ，則稱該元素為乘法“?”的右單位元素（右幺元）。
- 幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S，?) 是一個代數系，如果存在一個元素 $e∈Se\in S$ , 使得 $?a∈S,e?a=a?e=a\forall a\in S ,e?a=a?e=a$ ，則稱該元素為乘法“?”的單位元素（幺元）。
基本定理：
- 定理：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ (S，?) 是一個代數系。如果二元代數運算“?”既有幺元 $a_l$ 又有右幺元 $a_r$ ，則 $a_l=a_r =e$ ，從而該代數系有幺元 $e$ 。
- 證明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 因為 $?a∈S,al?a=a\forall a\in S ,a_l?a=a$ ,而且 $?a∈S,a?ar=a\forall a\in S ,a?a_r=a$ ，那么就有 $a_l?a_r=a_r（因為a_l是左幺元）。還有a_l?a_r=a_l(因為a_r是右幺元）。$ 從而由反證法知道，一定有 $a_l=a_r$ 。

定義：
- 零元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 設(S，?) 是一個代數系，如果存在一個元素 $z∈Sz\in S$ , 使得 $?a∈S,z?a=a?z=z\forall a\in S ,z?a=a ? z=z$ ，則稱該元素為乘法“?”的零元。

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数基本概念（一）：代数系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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