http://www.icourses.cn 南開大學《抽象代數》

$\text{第一章?群}$

$\text{§}1.1運算及關系$

抽象代數的研究對象是代數體系，即帶有運算的集合，例如群、環、域。本書假定讀者已經了解集合與映射的基本知識，下面僅介紹一下映射的嵌入與開拓、映射的交換圖以及直積集合的概念。
$定義1.1.1設A_0是集合A的非空子集，定義A_0到A的映射i如下$
$i(x)=x,?x\in A_0$

$定義1.1.2設A_0是集合A的非空子集，f是A_0到集合B的映射，若有A到B的映射g,使$
$g(x)=f(x),?x\in A_0.$
$則稱g為f的開拓映射,稱f為g在A_0上的限制映射,并記$
$f=g{|}_{A_0}.$
直觀上，開拓映射是把一個映射的定義域擴大；限制映射是把一個映射的定義域縮小。從這個意義上說，嵌入映射是把一個恒等映射值域所在的集合擴大。嵌入映射一定是單射，不一定是滿射。開拓映射既不一定是單射，也不一定是滿射。
$定義1.1.3一個映射如果能表成某幾個映射的連續作用(也稱映射的乘積)的結果，$
$又能表成另幾個映射的連續作用的結果，例如有f_3{f}_2{f}_1=g_2{g}_1,就可有下邊的示意圖:$

$則稱上圖為映射的交換圖.$
$例1設f是A_0到B的映射，A_0是A的子集，i是A_0到A的嵌入映射，g是A到B的映射，$
$且g是f的開拓映射，則下面的圖是交換圖:即有g?i=f。$

$定義1.1.4設A，B是兩個集合，則稱$
$A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$
$為A與B的直積集合$
$類似的，可以定義有限多個(k個)集合的直積集合:$
$A_1\times ?\times A_k=\{(a_1,?,a_k)|a_i\in A_i,i=1,?,k\}$
我們要研究的是帶有運算的集合，對于數集中的運算，例如加法和乘法運算，我們是熟悉的。他們的本質都在于，由數集中的一個元素，可以按照某種法則唯一地確定數集中的一個元素。在線性代數中我們又學習到線性空間中的“數乘”運算，其本質在于，由數集中的一個元素和向量集中的一個元素，按照某種法則，可以唯一地確定向量中的一個元素。
現在我們把上述本質抽象出來，利用集合、直積集合和映射的概念，來定義“代數運算”這一概念。



$3+5=8和3\times 5=15$

$中，我們常常把符號“°”省去，記a°b為ab。$
$例2設V是n維歐氏空間，\mathbb{R}是實數集，則求V中兩個向量\alpha ,\beta 的內積，就是V與V到$

$例3設A=\{1,2\},B=\{1,2\},D=\{奇,偶\}，f是一個A\times B到D的映射如下:$
$(1,1)\to 奇，(2,2)\to 奇$
$(1,2)\to 奇，(2,1)\to 偶$


$叫做“運算表”。$
$例3的運算表為\begin{array}{lcc}°& 1& 2\\ 1& 奇& 奇\\ 2& 偶& 奇\end{array}$
$(這里，豎行中的“1,2”，指A中的元素；橫行中的“1,2”，指B中的元素)$
通常較多用到的代數運算，是A=B=D時的情形，即A與A到A的代數運算，也稱為A中的“ $二元運算$ ” 或 “$運算$”。此時也說“$集合A，對于該運算是封閉的$”。一個集合中，可以有一種運算，也可以有多種運算。我們感興趣的運算，常常是滿足某種規律的運算，例如針對一種運算而言的結合律和交換律，針對兩種運算而言的分配律。他們都是數集中相應運算規律的推廣。
$定義1.1.6設集合A中有一種二元運算“°”，如果$
$(a°b)°c=a°(b°c),?a,b,c\in A,$

$定義1.1.7設集合A有一種二元運算“°”，如果$
$a°b=b°a,?a,b\in A$

$定義1.1.8設集合A中有兩種代數運算“°”和“+”，如果$
$a°(b+c)=a°b+a°c,?a,b,c\in A,$


$例4設\mathbb{Z}是全體整數的集合，\mathbb{Z}中的二元運算是數的減法,則該運算既不滿足結合律,$

$例5設{\mathbb{C}}^{n\times n}是復數域上全體n(n\ge 2)階方陣的集合，{\mathbb{C}}^{n\times n}中有兩種運算，$
$一種是矩陣的加法，一種是矩陣的乘法。加法運算即滿足結合律，又滿足$
$交換律；乘法運算滿足結合律，不滿足交換律；乘法對加法滿足分配律，$

$結合律的一個重要作用是使表達式a_1°a_2°?°a_n有意義，因為這時無論怎么$
$樣加括號，運算的結果都是一樣的，這給我們帶來了方便，抽象代數中研究的$
$運算都滿足結合律。$


$分配律的一個重要作用是使一個集合中的兩種元素之間產生一種聯系。$
抽象代數在研究集合時，有時要把集合分成一些子集來討論。這時就要用到集合的分類，而集合的分類又和“等價關系”密切相關。為了講清楚“等價關系”，我們先來介紹“關系”的概念。
我們知道實數集合“大于”、“小于”、“等于”這些關系，也知道n階復方陣集合中“相等”、“相似”這些關系。下面我們把他們的本質抽象出來。
如果有一種性質R,使集合A中任意兩個元素a,b,或者有性質R，或者沒有性質R，二者必居其一，我們就說“$R給定了A中的一個關系$”。當a,b有性質R時，稱a與b有關系，記為$aRb$;當a,b沒有性質R時，稱a與b沒有關系，記為$aRb$。
有性質R的a,b如果記為(a, b)，就是直積集合 $A\times A$ 中的一個元素，全體這樣的(a, b),就構成了 $A\times A$的一個子集，不妨把這個子集仍記為R，于是
$aRb?(a,b)\in R.$
這樣，我們就可以用$A\times A$的一個子集，來刻畫$A$中的一個關系。
$定義1.1.9設A是一個非空集合，R是A\times A的一個子集，a,b\in A,若(a,b)\in R,$


$例6實數集\mathbb{R}中的“\le ”關系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_1來刻畫；實數集\mathbb{R}中的“=”關系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_2來刻畫。$

實數集中的“=”關系，可以總結推廣為一般集合中的等價關系。
$定義1.1.10若集合A的一個關系R滿足$
$①反身性：aRa,?a\in A;$
$②對稱性：aRb?bRa,?a,b\in A;$
$③傳遞性：aRb,bRc?aRc,?a,b,c\in A.$
$則稱關系R為A的一個等價關系。$
$例7實數集中的“\le "關系不是等價關系，因為不滿足對稱性。$


$定義1.1.11若將集合A分成一些非空子集，每個子集稱為A的一個類，$
$使得A的每一個元素屬于且僅屬于一個類，則稱這些類的全體為集合A$


$證我們利用A的分類來定義A的一個關系R，然后證明R是等價關系。$
$定義:當且僅當a與b同在一類時，aRb。據定義知這樣的R是A的一個關系，$
$又因為a\in A,a與a同在一類,所以R滿足反身性；$
$a,b\in A,若aRb,表明a與b同在一類，則b與a也同在一類，所以bRa,即R滿足對稱性;$
$a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a與b同在一類，b與c同在一類，則a與c同在一類,所以aRc，$


在給出下一個定理之前，我們先給出由等價關系派生出來的三個概念:等價類，商集合和自然映射。
$定理1.1.1集合A的一個分類決定A的一個等價關系。$

$定義:當且僅當a與b同在一類時，aRb。據定義知這樣的R是A的一個關系，$
$又因為a\in A,a與a同在一類,所以R滿足反身性；$
$a,b\in A,若aRb,表明a與b同在一類，則b與a也同在一類，所以bRa,即R滿足對稱性;$
$a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a與b同在一類，b與c同在一類，則a與c同在一類,所以aRc，$


在給出下一個定理之前，我們先給出由等價關系派生出來的三個概念:等價類，商集合和自然映射。
$定義1.1.12設集合A中有等價關系R,a\in A,則A中與a有關系(也稱與a等價)的所有元素的集合\{b\in A|bRa\},稱為a所在的等價類,記為\bar{a},a稱為這個等價類的代表元。$
$從以上定義及等價類的傳遞性易知，若aRb,則\bar{a}=\bar{b},即等價的兩個元素所在的等價類是同一個，因此，同一個等價類可以有不同的$

$雖然形式上與等價類的代表元有關，實質上卻與之無關。$
$定義1.1.13設集合A中有等價關系R，則以R為前提的所有等價類$
$(重復的只取一個)的集合\{\bar{a}\},稱為A對R的商集合,記為A/R。$

$一個集合通過等價關系，在新的層次上產生出與原集合有聯系的新的集合$

$定義1.1.14設集合A中有等價關系R,則映射\pi :A\to A/R,$
$\pi (a)=\bar{a},?a\in A$



$證記A中的等價關系為R，容易證明,R決定的商集合A/R，就是A的一個分類。$
$事實上，商集合的全體等價類(重復的只取一個)的集合，每個等價類是A的一個子集，$
$也是A的一個“類”，A中的每一個元素a屬于一個類\bar{a},以下證明a僅屬于\bar{a},便完成證明。$
$若還有a\in \bar{b},則據定義1.1.12，aRb,即a與b等價,而等價的兩個元素所在的等價類是$
$同一個，所以\bar{b}=\bar{a}.$

$定理1.1.1與定理1.1.2表明，對一個集合A，給定等價關系與給定分類，$


$定義1.1.15設集合A中有二元運算“°”，如果A的一個等價關系R在該運算下仍然保持，即$
$aRb,cRd?(a°c)R(b°d),?a,b,c,d\in A$

$例9設\mathbb{Z}為整數集，0=/m\in \mathbb{Z},在\mathbb{Z}中定義關系R為$
$aRb?m|(a?b),$
$則R關于\mathbb{Z}中的加法和乘法都是同余關系.$
$此例中的關系R，也稱為“以m為模的模等關系”,aRb在初等整數論中記為$
$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),稱為“對模m，a與b模等”或“模m，a與b同余”$
$例10$ 是${\mathbb{P}}^{n\times n}$是數域$\mathbb{P}$上所有$n(n\ge 2)$階方陣的集合，在$\mathbb{P}$中定義關系R為:
$ARB?|A|=|B|$
則R關于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的加法運算不是同余關系，R關于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的乘法運算是同余關系。設R是集合A中關于運算“$°$”的同余關系，則因同余關系是等價關系，所以可以產生新的集合A/R，又因同余關系在運算“$°$”下仍然保持，所以可以在A/R中產生一種與A中運算“$°$”有聯系的運算“$\overline{°}$”：
$\bar{a}\overline{°}\bar{b}=\overline{a°b},?a,b\in A.$
要說明上面的規定確實是A/R中的一個二元運算，就要說明等號右邊的元素，確實是被等號左邊有次序的兩個元素 $\bar{a},\bar{b}$ 唯一確定的。即等價類的運算不僅歸結為代表元的運算，而且不依賴于代表元的選擇。這當且僅當該等價關系是同余關系時是正確的。作為提示，請讀者重溫定義1.1.13之前的那句話。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数 01.01 群-运算及关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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