1、 時(shí)間序列 取自某一個(gè)隨機(jī)過程，如果此隨機(jī)過程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化，則我們稱過程是平穩(wěn)的；假如該隨機(jī)過程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化，則稱過程是非平穩(wěn)的。

2、 寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：設(shè)時(shí)間序列 ，對(duì)于任意的 , 和 ，滿足：

則稱 寬平穩(wěn)。

3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。他們的工作為實(shí)際工作者提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，以及對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計(jì)上的完善性和牢固的理論基礎(chǔ)。

4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型(AR：Auto-regressive)，移動(dòng)平均模型(MA：Moving-Average)和混合模型(ARMA：Auto-regressive Moving-Average)。

(1) 自回歸模型AR(p)：如果時(shí)間序列 滿足

其中 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足：

，

則稱時(shí)間序列 服從p階自回歸模型。或者記為 。

平穩(wěn)條件：滯后算子多項(xiàng)式 的根均在單位圓外，即 的根大于1。

(2) 移動(dòng)平均模型MA(q)：如果時(shí)間序列 滿足

則稱時(shí)間序列 服從q階移動(dòng)平均模型。或者記為 。

平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。

(3) ARMA(p,q)模型：如果時(shí)間序列 滿足

則稱時(shí)間序列 服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型。或者記為 。

特殊情況：q=0,模型即為AR(p)，p=0, 模型即為MA(q)。

二、時(shí)間序列的自相關(guān)分析

1、自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方法，它簡(jiǎn)單易行、較為直觀，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初步地識(shí)別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關(guān)分析法可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。

2、自相關(guān)函數(shù)的定義：滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： ，則 的自相關(guān)函數(shù)為： ，其中 。當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫為： 。

3、 樣本自相關(guān)函數(shù)為： ，其中 ，它可以說明不同時(shí)期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程，其取值范圍在-1到1之間，值越接近于1，說明時(shí)間序列的自相關(guān)程度越高。

4、 樣本的偏自相關(guān)函數(shù)：

其中， 。

5、 時(shí)間序列的隨機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則：

①若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性；

②若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外，則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。

6、 判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是：①若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) 在k>3時(shí)都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；②若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性。

7、 ARMA模型的自相關(guān)分析

AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù) 是以p步截尾的，自相關(guān)函數(shù)拖尾。MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾。這兩個(gè)性質(zhì)可以分別用來識(shí)別自回歸模型和移動(dòng)平均模型的階數(shù)。ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的。

三、單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)

1、單位根檢驗(yàn)

①利用迪基—福勒檢驗(yàn)( Dickey-Fuller Test)和菲利普斯—佩榮檢驗(yàn)(Philips-Perron Test),我們也可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性，這是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗(yàn)方法，與前者不同的事，后一個(gè)檢驗(yàn)方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況。

②隨機(jī)游動(dòng)

如果在一個(gè)隨機(jī)過程中， 的每一次變化均來自于一個(gè)均值為零的獨(dú)立同分布，即隨機(jī)過程 滿足： ， ，其中 獨(dú)立同分布，并且：

，

稱這個(gè)隨機(jī)過程是隨機(jī)游動(dòng)。它是一個(gè)非平穩(wěn)過程。

③單位根過程

設(shè)隨機(jī)過程 滿足： ， ，其中 ， 為一個(gè)平穩(wěn)過程并且 ， ， 。

2、協(xié)整關(guān)系

如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其某個(gè)現(xiàn)性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時(shí)間序列間就被稱為有協(xié)整關(guān)系存在。這是一個(gè)很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法和Johansen協(xié)整檢驗(yàn)法可以測(cè)定時(shí)間序列間的協(xié)整關(guān)系。

四、ARMA模型的建模

1、模型階數(shù)的確定

①基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法

對(duì)于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù) 和樣本偏自相關(guān)函數(shù) 的截尾性判定模型的階數(shù)。

具體方法如下：

i、對(duì)于每一個(gè)q,計(jì)算 ， ，…， (M取為 或者 )，考察其中滿足 或者 的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。如果 ， 都明顯地異于零，而 ， ，…， 均近似于零，并且滿足上述不等式之一的 的個(gè)數(shù)達(dá)到其相應(yīng)的比例，則可以近似的判定 是 步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列 為MA( )。

ii、類似，我們可通過計(jì)算序列 ，考察其中滿足 或者 的個(gè)數(shù)是否占M個(gè)的68.3%或者95.5%。即可以近似的判定 是 步截尾，平穩(wěn)時(shí)間序列 為AR( ).

iii、如果對(duì)于序列 和 來說，均不截尾，即不存在上述的 和 ，此時(shí)屬于情況iii，則可以判定平穩(wěn)時(shí)間序列 為ARMA模型。

此外常用的方法還有：②基于F-檢驗(yàn)確定階數(shù)；③利用信息準(zhǔn)則法定階(AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則)

2、模型參數(shù)的估計(jì)

①初估計(jì)

i、 AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計(jì)

特例：對(duì)于一階自回歸模型AR(1)， ，對(duì)于二階自回歸模型AR(2)， ， 。

ii、MA(q)模型參數(shù)估計(jì)

特例：對(duì)于一階移動(dòng)平均模型MA(1), ，對(duì)于二階移動(dòng)平均模型MA(2)， ， 。

iii、ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)

模型很復(fù)雜，一般利用統(tǒng)計(jì)分析軟件包完成。

②精估計(jì)

ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計(jì)，一般采用極大似然估計(jì)，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，無法直接給出參數(shù)的極大似然估計(jì)，只能通過迭代方法來完成，這時(shí)，迭代初值常常利用初估計(jì)得到的值。

3、ARMA(p,q)序列預(yù)報(bào)

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列 是一個(gè)ARMA(p,q)過程，則其最小二乘預(yù)測(cè)： 。

i、AR(p)模型預(yù)測(cè)

，

ii、ARMA(p,q)模型預(yù)測(cè)

，其中 。

iii、預(yù)測(cè)誤差

預(yù)測(cè)誤差為： 。l步線性最小方差預(yù)測(cè)的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l有關(guān)，而與預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)t無關(guān)。預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l越大，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，因而預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低。所以一般不能用ARMA(p,q)作為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型。

iv、預(yù)測(cè)的置信區(qū)間

預(yù)測(cè)的95%置信區(qū)間：

不知道對(duì)你有沒幫助

總結(jié)

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