1.共軛復(fù)特征值

設(shè)

是的實(shí)矩陣，

假設(shè)

是的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則同樣是的特征值，而是對(duì)應(yīng)的特征向量，

所以，當(dāng)

是的實(shí)矩陣，它的復(fù)特征值以共軛復(fù)數(shù)對(duì)出現(xiàn)。

2. rotation-scaling matrix

假如

,為實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為0，則將下面的矩陣稱(chēng)為rotation-scaling matrix，

則有，

A可以寫(xiě)成下面的旋轉(zhuǎn)+縮放形式，

其中，

，則先旋轉(zhuǎn)，再倍乘。 2. 的特征值為。

3. 矩陣的復(fù)特征值

首先我們假定下面的記號(hào)，

這里首先討論的矩陣是

的實(shí)矩陣，且矩陣有復(fù)特征值，而與特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量為，這時(shí)候有個(gè)很漂亮的結(jié)論，其中

其中

矩陣為rotation-scaling matrix。

為了證明矩陣

的分解公式成立，我們首先證明是可逆的，即和是線性無(wú)關(guān)的。用反證法，假設(shè)和是線性相關(guān)的，則存在，使得，，則

依然是屬于特征值的特征向量，而從式(5)可以得到是個(gè)實(shí)向量，而對(duì)于一個(gè)實(shí)矩陣的實(shí)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值一定是實(shí)的，但是和是復(fù)特征根矛盾，因此可證和是線性無(wú)關(guān)的。

此外，我們假設(shè)復(fù)特征值

，同時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有，

同時(shí)，

比較式(6)和(7)，可以得到，

接下來(lái)我們計(jì)算

，和，由(4)式可以馬上得到,(自然基取對(duì)應(yīng)的列)，則有

因?yàn)?/p>和的線性無(wú)關(guān)的，可以組成的基，對(duì)于任意的向量，，則有，

因此

。 對(duì)于的帶有rotation-scaling matrix的分解，我們可以這么理解，中含有旋轉(zhuǎn)和比例變換，矩陣提供了變量代換，如。的作用相當(dāng)于先將代換為，然后在所形成的基下利用矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和縮放，旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生一個(gè)橢圓，然后將再變量代換回。注意，旋轉(zhuǎn)是在所形成的基下，即順著和所形成的基旋轉(zhuǎn)。

對(duì)于

矩陣，都有類(lèi)似上述矩陣的分解形式，下面以為列，如果矩陣有一個(gè)實(shí)的特征值，一個(gè)復(fù)特征值，則為另外一個(gè)復(fù)特征值，對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量為，對(duì)應(yīng)的復(fù)特征向量為，將分解為,

對(duì)于上述矩陣

，在中存在某個(gè)平面對(duì)平面的作用是旋轉(zhuǎn)和縮放，該平面在的作用下是不變的。 舉一個(gè)例子，例如，

上述矩陣

與式(11)中的矩陣形式相同，如下圖所示，對(duì)于平面(第三坐標(biāo)為0)的任一向量被旋轉(zhuǎn)到該平面的另外一個(gè)位置上，不在該平面的任一向量的第三坐標(biāo)乘1.07。下圖顯示了和被作用的迭代結(jié)果，在平面旋轉(zhuǎn)，而在乘1.07后在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)也在盤(pán)旋上升。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的旋转矩阵公式生成器_坐标变换(8)—复特征值与旋转的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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