一個神經元能夠催生多少故事？香港中文大學信息工程系助理教授周博磊近日撰文介紹了他自 2015 年開始至今對神經元的研究經歷。最近，他與 David Bau、朱俊彥等人合作的神經元研究論文發(fā)表在了 PNAS 雜志上。

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編者按：李邦河院士于 2009 年 4 月在中國數(shù)學會廈門學術年會上榮獲“華羅庚數(shù)學獎”。

本文是李院士在這次年會上所做的公眾報告，他在報告中談到一個重要的思想：數(shù)學玩的是概念，而不是純粹的技巧。

因為中小學數(shù)學里面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是舍本逐末的做法，值得所有的數(shù)學教育工作者深思。

非常感謝市科協(xié)和我們的校領導給我這個機會，在這里和同學們見面，一起交流一下對數(shù)學的看法。首先我的題目是數(shù)的概念的發(fā)展，我猜想，相當一部分同學對這個題目不感興趣，原因就是大多數(shù)人在中學學習數(shù)學時，會認為數(shù)學重要的不是概念，重要的是解題，比如幾何題要會畫輔助線，還有數(shù)學競賽中比較難的題目。

那么數(shù)的概念是什么呢，大家知道有理數(shù)啊，一看就知道了，絕大多數(shù)同學不會去記這個定義，什么是有理數(shù)的定義？幾何的概念也不易被重視，因為什么是三角形，正方形，矩形，菱形，一看就知道。中學數(shù)學容易給人一種錯覺，概念是不重要的，對于數(shù)學重要的是技巧。很多人上了大學，哪怕是到了數(shù)學系也抱著這種看法。

根據(jù)我上大學以后搞數(shù)學研究的經驗，數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧。

技巧不足道也！熟能生巧，數(shù)學競賽的人都是要培訓的，巧都是學來的。數(shù)學概念是人類智慧的結晶，首要表現(xiàn)在概念的形成。

我們現(xiàn)在覺得自然數(shù) 1，2，3，4 很自然，但人類發(fā)展歷史中能認識“1”是非常不簡單的。早期人們并不知道“1”，“1”是從大量的“一頭牛、一頭羊” 中抽象出來的。所以從哲學的觀點去想，“1”是了不起的，而“0”更是了不起。中國古代沒有 0 這個數(shù)字，用算籌表示數(shù)字，一根筷子是 1，兩根筷子是 2，用空著的位置表示 0。但 0.101 怎么表示，我不知道。最早是印度數(shù)學家發(fā)明 0 的，認識到 0 也是個數(shù)，要用圈這個符號來表示，是很了不起的。負數(shù)更是了不起，西方認識到負數(shù)是非常晚的，大概十四五世紀。

歐洲數(shù)學中幾何出現(xiàn)比較早，歐幾里得幾何是希臘時期，公元前二三百年就有幾何，但沒有負數(shù)實數(shù)概念。當時如果比出來不是有理數(shù)的話還不能接受，叫不可公度；負數(shù)的觀念這時也沒有。但我們中國在公元前二三百年就有了負數(shù)概念，西漢時期《九章算術》有解線性方程組的消去法的完整步驟，就出現(xiàn)負數(shù)。

中國古代對無理數(shù)的概念在理論上是沒有的，但在實際上是有的，小數(shù)后面多少位都行。比如??這個數(shù)，祖沖之曾算到 3.1416，并知道可以無限往下算，這就有了無窮逼近的思想，極限的觀念基本上有了，但是概念上并沒有明確提出。無理數(shù)概念的明確提出是到了微積分的時期，這時才對實數(shù)做了一個完整的描述，由柯西序列的等價類來定義，這個時候實數(shù)理論才完備。

真正搞數(shù)學的人知道要弄清楚這個也并不容易，進入高等數(shù)學后概念比較多，對概念不重視的人，學多了就糊涂了。微積分的概念還不是很多，但學高等代數(shù)、線性代數(shù)里面就有很多概念，如果不重視基本概念，對于知識爆炸的大學數(shù)學，你是學不好的。微積分里最大值最小值，微分中值定理你有沒有記得很清楚，會不會用，泰勒展開的麥克勞林余項，有沒有記著？

要用基本的東西去解決問題，而不是玩技巧，可以說用到某個定理就是最大的技巧。

中學數(shù)學里概念就很少，只能出很難的題，來看誰的水平高。到大學里重要的則是基本概念，這個東西掌握得很透，才能達到高水平。到了研究生之后，基礎數(shù)學里面的代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓撲、微分拓撲里頭，概念更是爆炸，都很難理解，不下功夫是不行的，因為對象很復雜。我希望喜歡數(shù)學的人千萬要重視基本概念，不僅要記住，還要通過具體的例子來深入地理解。

那么什么是概念呢？概念是一個抽象的東西，它包含了大量的具體的東西。一個概念越抽象涵蓋的具體的事物越多，即外延越廣。比如，剛剛講的“1”這個例子，它可以涵蓋一個蘋果、一個梨、一頭牛。自然數(shù)是數(shù)學里最簡單的了，可見我們的起步就很抽象。

抽象和具體也是相對而言。1，2，3，4 等對于具體事情來說是抽象的，而對于我們數(shù)學來說，又沒有比它更具體的。有理數(shù)比整數(shù)復雜了一點，無理數(shù)更復雜，它是無限不循環(huán)小數(shù)，但這對于我們搞數(shù)學的來說都很具體。我們每上一個臺階，以前抽象的東西就具體了。客觀世界非常復雜，有時候你不得不抽象，否則描述不了。

有理數(shù)、無理數(shù)之后是復數(shù)，這時候已經到了高斯的時代，在牛頓、萊布尼茲之后的時代還接受不了。首先是，，這個??，開始大家都不承認它是數(shù)。高斯畫出??軸，?軸，用??表示一個向量的時候，這就比較具體了，大家才覺得可以接受。接受之后，人們發(fā)現(xiàn)它很有用，有很多值得研究的，于是有了大量研究。

復變函數(shù)論中的留數(shù)定理，在計算定積分時將實數(shù)延拓到復平面上，就可以把原來在實軸上解決不了的定積分算出來，這對于熱愛數(shù)學的人來說就會覺得太神奇了，這都歸功于復數(shù)的概念。再發(fā)展到后來就是四元數(shù)，就是?，，，，，，但是?。

在中學時人們學交換律、分配律可能覺得毫無意思，因為感覺總是成立。可是這并不總是成立的，到四元數(shù)時乘法交換律便不成立了。然后到八元數(shù)，八元數(shù)就是八個實數(shù)形成的一個數(shù)，對八元數(shù)乘法結合律就不成立了。這個時候你才知道數(shù)的結合律有多寶貴，是多么好、多么可愛的性質。

四元數(shù)八元數(shù)還算具體的，到了大學里，大家還要學“抽象代數(shù)”，那個“數(shù)”就亂套了，任何對象都可以是數(shù)，這個數(shù)只要有個加法或乘法就夠了。乘法滿足結合律，有單位，有逆元素就叫群了。那里面的元素是不是數(shù)，都認為是一樣的。整數(shù)在加法之下也構成加法群。所以，群的元素可以說是與整數(shù)、有理數(shù)是一樣的，這就使我們從更廣的概念理解什么叫數(shù)。

數(shù)學研究的東西，從大的方面來說，里面就有一對矛盾：一邊是數(shù)，一邊是形。形就是幾何圖形。最大的抽象逃不出數(shù)、形這兩個東西。凡是可以進行代數(shù)運算的，比如群可以算，矩陣可以乘和加，都可以認為是數(shù)。而形就是幾何圖形，什么流形，地球，皮球，棱臺，環(huán)面，三角形是形。三角形的邊長呀，角呀，這是數(shù)。所以說，整個數(shù)學就是把形和數(shù)膠在一塊，互相轉化，互相表示。

數(shù)學基本的矛盾就是數(shù)和形的矛盾。有了抽象代數(shù)以后，我們的數(shù)的概念大大擴充了。對群感興趣的人有物理學家、化學家、數(shù)學家。物理學家離不開群，比如到了原子物理，群就是物理學家的有力武器。這也是我們數(shù)學對其他學科的貢獻。

比群復雜的有環(huán)、域還有代數(shù)，在抽象代數(shù)里都可以學到。域，加減乘除都有，最簡單的域只有 0 和 1 兩個元素，但是它有加減乘除，加法、乘法都滿足交換結合，分配律。這些在中學數(shù)學里看起來不起眼的東西，使我們能夠推廣，推廣之后使得兩個元素便構成一個域。對任何一個質數(shù)?，，，，，，就構成一個域。這是非常有用的。

還有，比如 Clifford 代數(shù)，它是這樣的，，；，；，?加法是每個位置相加，現(xiàn)在要定義一個乘法，規(guī)律是?，。

按照這個規(guī)律，定義了加法和乘法，這個加法滿足交換律也滿足結合律，乘法不滿足交換律卻滿足結合律，分配律是成立的。這樣定義的代數(shù)就叫 Clifford 代數(shù)，對于任何一個??，都有一個。這個東西跟我們前面說的有什么關系呢？?

?=1 的時候的 Clifford 代數(shù)，?就是??，，這就是我們熟知的??，所以這個時候 Clifford 代數(shù)就是復數(shù)域。然后，?時，，，Clifford 代數(shù)是四元數(shù)體。但是，? 的時候，它是八維的，跟八元數(shù)不一樣，它是可以結合的，而八元數(shù)是不可以結合的。八元數(shù)的特點是，每個不等于零的元素可逆，因此是可除代數(shù)。

那么可除代數(shù)是否只有一、二、四、八元數(shù)？有沒有其它維的呢？當年的數(shù)學家，肯定對很多??都進行了試驗，最后結果就沒有發(fā)現(xiàn)別的。這是因為人們試驗得不夠，還是因為它事實上就沒有呢？我們等會再說。

上世紀六十年代，引進了非標準分析，在非標準分析里面，有非標準分析的實數(shù)域，復數(shù)域。這些概念是數(shù)的概念重要的發(fā)展。

當年牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分時，是有無窮小的概念的想法的。牛頓的流數(shù)，一會是 0，一會不是 0，說不清楚，而萊布尼茲就說有種數(shù)叫無窮小，它比任何數(shù)都小。所以說當年發(fā)明人是使用了無窮小無窮大這個概念的，但是這個概念不嚴格。所以，后來數(shù)學發(fā)展中，就不采用無窮小概念了，用?，δ?來代替。但是物理學家他們沒有嚴格地用?，δ，他們就用無窮接近來表示極限，并且無窮小、無窮大的概念是經常用的，而兩個概念是相對而言的。

當我們研究月亮繞地球運動的時候，用牛頓力學中的引力定律的時候，不就是把地球這么大的東西看成了一個點嘛。物理學家認為只要能解決問題就可以。但是數(shù)學家想在理論上完善它。到了上世紀六十年代，創(chuàng)立非標準分析的人發(fā)現(xiàn)，可以把牛頓萊布尼茲當年關于無窮小無窮大的想法嚴格化。當年是因為沒有找到嚴格化的程序，所以不再采用這種概念。我認為，這也是數(shù)的概念發(fā)展中非常重要的事情。非標準分析中的實數(shù)域、復數(shù)域現(xiàn)在還沒有被大家所普遍接受，但是我相信有一天會被大家接受的，就像復數(shù)的發(fā)展歷程一樣。

我現(xiàn)在要講為什么只有一、二、四、八元數(shù)。我們要來證明。民間數(shù)學家中有人研究這個，我以前碰到一個人說他搞出來一個三元的，我告訴他不可能，這是為什么呢？?

?維歐氏空間?：其中?，，，，有內積?，有長度?，令?第位，?元數(shù)要求乘法滿足，，有單位元?。若?，則?，所以由??到??的映射是??的正交變換。因此?，，…，?是相互垂直的。

三維的時候假如它有這樣一個乘法，就有兩個互相垂直且連續(xù)變化的向量走遍整個球面。這個可能嗎？退一步說，在球面上每點放一個不為零的向量，讓它連續(xù)變化，這有沒有可能？不知道的話猜想也行。

搞數(shù)學是要靠猜想前進的，這才有動力。(這時聽眾中有人認為可以) 有同學說可以，不是整個地球，光是赤道一圈可以，但這個能不能擴充到整個球面上？赤道上可以，跑到北極就會有問題，就會有奇點。所以這位同學的這個方法是不可行的。這對于一個圓周可以，比如汽車可以繞赤道轉一圈，汽車在 45 度緯線圈也可以，但跑到北極的時候只有一點了，那點就不能定義一個方向。現(xiàn)在我來告訴大家，答案是不可能。因為任何時刻，地球上總有一點是沒有風的。

球面上不可能存在一個處處不為零的向量場是連續(xù)的變化的，這是拓撲學的一個結論。球面的歐拉示性數(shù)，即分割成三角形后的頂點數(shù)-邊數(shù)+面數(shù)，是 2，與把球面如何分割成三角形無關，一定是 2，這叫拓撲性質。反過來說，環(huán)面，就是輪胎，把它分成三角形，計算歐拉示性數(shù)是 0。剛剛說到的圓周的歐拉示性數(shù)是 0。

有個定理：一個流形上承載著這樣的非零的連續(xù)向量場的充分必要條件是它的歐拉示性數(shù)是 0。所以，由這個定理，球面上不可能有，環(huán)面上有。這就顯示了抽象數(shù)學的威力。不可能是很深刻的，我們是由定理證明的。可能的話造出來就完了，不可能的話靠試驗是不行的，不可能的證明一般是很深刻的。我們找出向量場與歐拉示性數(shù)的關系，因為歐拉示性數(shù)不等于零，就給出這個不可能的證明。

為什么只有一、二、四、八元數(shù)呢？就我所知這一點需要用到上個世紀六十年代以后的定理才能證出來。四元數(shù)、八元數(shù)不僅要求連續(xù)向量場存在，而且要求??個線性無關的單位正交的切向量場。就是說假如有乘法滿足?，則必然存在著??維空間的球面上??個相互垂直的單位向量場，而且是連續(xù)變動的。這樣的??只有 2，4，8，其他維數(shù)不可能。于是這就告訴我們的民間數(shù)學家們不用再忙了，這是數(shù)學上證明了不可能的。還有三等分角的問題，華羅庚早說過這是不可能的，很多民間數(shù)學家們以為是因為長期得不到才這么說的，其實不是的，這是經過證明了的。

下面我們回顧一下它們的應用。實數(shù)是無處不在的，復數(shù)在工程上應用很廣，比如電學中的交流電，量子力學，量子場論等離開??都是不行的，我相信非標準分析有一天也會和復數(shù)一樣應用廣泛。長度為 1 的四元數(shù)可以用來表示所有旋轉，但是是二對一，四元數(shù)在工程上也很有用。有很多旋轉，比如說機器人制造時臂的旋轉，三維的旋轉群是用 3×3 的矩陣表示的，非常不方便，而用四元數(shù)表示后，參數(shù)就簡單了。Clifford 代數(shù)對拓撲學也很重要，在物理上也很有用。李洪波教授就把Clifford 代數(shù)用于吳先生的幾何定理機器證明。

回答提問部分：

我先講到這里，有什么問題大家來共同討論。我還是認為概念很重要，大家有什么感想可以交流。

問題回答：

我覺得生活中用初等數(shù)學就夠了。高深數(shù)學的發(fā)展，好比相對論，在生活中有什么用，也沒有用。一般人小學數(shù)學學得好就夠了。對于我們大學生就不一樣了，比如相對論對原子物理，加速器等的指導意義是不可低估的。原子物理，原子核，原子彈，核電都離不開高深的數(shù)學知識。經濟學家現(xiàn)在就很重視數(shù)學，一個國家的經濟研究所用的數(shù)學知識是很復雜的。生活中的吃住就很簡單，但我們有更高的追求，比如太空的探索。我們追求幸福，要身體健康，精神快樂，我們看著我們的神六上天，大家都很興奮，我想這對我們的身體健康也很起作用。再比如我們有個大的發(fā)現(xiàn)，也很開心。而歷史證明，任何科學發(fā)現(xiàn)都有用，認識了客觀世界，你才能駕馭世界。

你的想法可以回去用嚴格的數(shù)學語言寫一下，肯定會發(fā)現(xiàn)問題的，但是寫的過程你也能得到很好的鍛煉。

數(shù)學美不美，比如我剛講的，地球上任何時刻都有一處是風平浪靜的，這是我們數(shù)學家證明的定理，這跟詩人僅僅出于感受的感嘆相比怎樣，是不是很美？所以我說數(shù)學有不可改動的美。數(shù)學的推理，只要大前提正確，推理過程沒錯，結論一定是正確的。比物理更美，物理的定律是可以推翻的。物理適用的范圍經常被推翻，而數(shù)學的范圍是一開始就定了，什么條件下成立的。

—THE END—

作者 | 李邦河（中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員）

來源 | 數(shù)學通報，2009年第48卷第8期

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学从根本上：玩的是概念！而不是技巧的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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