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線性代數拾遺（一）：線性方程組、向量方程和矩陣方程

線性代數拾遺（二）：線性方程組的解集及其幾何意義

線性代數拾遺（三）：線性變換以及矩陣的意義

前面幾章，我們回顧了一遍線性方程組和矩陣的一些概念。線性代數的最原始問題是解線性方程組，為了解決這個問題，我們引入了向量和矩陣，繼而對矩陣的一些特性也進行了一番分析，然后又發現矩陣不但可以表示數據，也可以表示變換。然而，這些概念是如何應用于現實生活呢，實際生活中有哪些線性方程組的例子？這一章我們來介紹一些線性代數的實際應用。

總體上來說，牽涉到多個變量的相互約束，而且這些約束是“線性”的問題時，就有可能通過建立線性方程組從而得到解。

一、經濟學例子

這是來自《線性代數及其應用》中的一個例子，很好地展示了線性代數在經濟學中的應用：

比如一個國家包括煤炭、電力、鋼鐵三個部門，各部門都產出一定的資源，同時也消耗一定的資源（為方便討論，本例中只考慮煤炭、電力、鋼鐵這三種資源，并且假設所有產出的資源都會被消耗）。比如，煤炭部門生產的每 100 份煤炭中，60 份被電力部門消耗，40 份被鋼鐵部門消耗；電力部門每生產 100 份煤炭，40 份被煤炭部門消耗，10 份被自己消耗，還有 50 份被鋼鐵部門消耗；鋼鐵部門每生產 100 份鋼鐵，60 份被煤炭部門消耗，20 份被電力部門消耗，還有 20 份被自己消耗。那么，如何給這三種資源定價，使得各部門的收支達到平衡？

首先，上面所述的各部門產出與消耗情況可以用一個表格來表示：

表中每一行表示某部們消耗各資源的情況，各列表示某資源被各部門消耗的情況。例如，煤炭部門每生產 1 單位的煤炭，就有 0.6 單位被電力部門消耗，0.4 單位被鋼鐵部門消耗；同時，煤炭部門也會消耗 0.4 單位的電力和 0.6 單位的鋼鐵來保證生產。

當然我們可以考慮用向量來表示這個表格。將表格中的各行向量化，得到：

其中，Oc,Oe, Os?分別表示煤炭、電力、鋼鐵各個部門消耗三種資源的量。

各種資源的單位價格也可以用符號定義。例如用?pc,?pe, ps?分別來表示煤炭、電力、鋼鐵三種資源的價格，那么煤炭部門的總支出就是

.同理，電力部門和鋼鐵部門的總支出是

也就是說，煤炭部門每生產出 1 單位價值為pc?的煤炭，它就需要消耗價值為的資源。要使煤炭部門收支平衡，就需要：

同理，要使三個部門都達到收支平衡，需要：

借助矩陣的封裝，我們可以把這三個式子合并為一個式子：

其中，3 x 3 矩陣A?就是上面的那個表格。

式子(9)?是我們熟悉的齊次線性方程組的形式。按照套路，我們化簡增廣矩陣：

由此得到通解：pc=0.94ps,?pe=0.85ps，ps?為自由變量。

所以，各部門達到收支平衡時的平衡價格向量為：

也就是說，如果鋼鐵價格為100元，那么煤炭和電的價格分別為94元和和85元時，整個經濟系統可以達到平衡。

二、總結

從上面的例子，我們可以發現：

• 當一個系統中各個部分之間存在線性約束時（例如化學方程式的配平，各元素之間相互存在約束關系），就有可能借助線性方程組來建模。

• 當一個問題描述的是一張簡單的表格時，我們可以將其向量化為一系列向量，或是一個矩陣，進而進行“批量”計算。

這里，我們再次發現了矩陣“封裝”計算的特點。借助向量化和矩陣化，我們可以將傳統的數學問題轉化為線性代數問題（如本文的例子就轉化為了齊次線性方程組）。

# 參考文獻

• 線性代數及其應用：第3版/（美）萊（Lay, D.C.）著；沈復興等譯. ——北京：人民郵電出版社，2007.7

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編輯?∑Gemini

?來源：http://mengqi92.github.io

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数拾遗（四）：线性方程组的应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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