如果隨機(jī)變量X的所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，那么稱之為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如，一批電子元件的壽命、實(shí)際中常遇到的測(cè)量誤差等都是連續(xù)型隨機(jī)變量。

>>>>

連續(xù)型隨機(jī)變量X無(wú)法像離散型隨機(jī)變量一樣，給出其取每一個(gè)點(diǎn)時(shí)的概率,那么換一種思路，來(lái)研究隨機(jī)變量落入一個(gè)區(qū)間??的概率??,當(dāng)區(qū)間??接近無(wú)窮小時(shí)，這時(shí)我們使用概率密度來(lái)表示概率值。什么是概率密度？

假設(shè)有一組零件，由于各種因素的影響，其長(zhǎng)度是各不相同的。具體數(shù)值如下。

[171.671,172.04,171.67,172.40,172.70,172.164,171.71,172.68,172.13,171.97,172.266,171.81,172.15,172.45,172.20,172.600,172.24,171.39,172.17,171.2]

按前面離散型隨機(jī)變量的思路，要將數(shù)據(jù)分組，對(duì)應(yīng)每個(gè)組計(jì)算出其相應(yīng)的概率值，并繪制概率分布直方圖，如下圖所示。

連續(xù)型隨機(jī)變量分組后的概率分布直方圖

圖中的橫坐標(biāo)是隨機(jī)變量值，縱坐標(biāo)是隨機(jī)變量落入該值范圍內(nèi)的概率。直方圖的邊緣看起來(lái)有點(diǎn)粗糙，但當(dāng)我們把樣本數(shù)據(jù)和分組數(shù)同時(shí)增加時(shí)，輪廓就會(huì)越來(lái)越細(xì)致，接近于如圖所示的曲線，這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)就稱為概率密度函數(shù)。由此思路，得到概率密度的數(shù)學(xué)描述如下。

考慮連續(xù)隨機(jī)變量??落入?yún)^(qū)間區(qū)間??的概率，由概率分布函數(shù)?? 的定義可知??，令??，則設(shè)

??

如果該極限存在，則稱??為在??點(diǎn)處的概率密度。

概率密度??反映出概率在??點(diǎn)處的密集程度，可以設(shè)想一根的質(zhì)量不均勻的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當(dāng)于桿上各點(diǎn)處的質(zhì)量密度。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知：

??

從上式中可得結(jié)論：若??在處連續(xù)，則概率密度函數(shù)??是分布函數(shù)??的導(dǎo)函數(shù)。

設(shè)??為連續(xù)型隨機(jī)變量，??在任意區(qū)間(a,b]上的概率可以表示為：

??

其中??就叫作X的概率密度函數(shù)。

下圖形象描繪出概率密度函數(shù)??和概率??之間的關(guān)系。概率??被看成曲線下的面積，用數(shù)學(xué)公式描述就是一個(gè)積分形式。

??

概率密度函數(shù)和概率P

連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，也可寫成：

??

概率密度函數(shù)和分布函數(shù)具有以下性質(zhì)。

（1）非負(fù)函數(shù)：??。

（2）規(guī)范性：??。

（3）對(duì)于任何常數(shù)a<b，有：

??

假設(shè)某零件誤差量在區(qū)間(－4,4)均勻分布，計(jì)算誤差量為1~3的概率。

解：設(shè)隨機(jī)抽取一個(gè)零件的誤差量為X，隨機(jī)變量X在區(qū)間(－4,4)上均勻分布，X落在該區(qū)間任意點(diǎn)的概率相同，即概率密度為一常量。

設(shè)??，??，即??

可得：概率密度函數(shù) ?其他?

??在區(qū)間[1,3]之間的概率??。

下圖中顯示均勻分布對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)。

均勻分布對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

在Python中輸出正態(tài)分布概率密度函數(shù)和對(duì)應(yīng)的概率分布函數(shù)。

解：如果一個(gè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)

??

則稱隨機(jī)變量X為正態(tài)分布隨機(jī)變量，并記為??。

下面代碼模擬實(shí)現(xiàn)了一個(gè)均值??為0和方差σ²為1的正態(tài)分布。

【代碼如下】

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stats def test_norm_pmf(): # 正態(tài)分布是一種連續(xù)分布，其函數(shù)可以在實(shí)線上的任何地方取值 # 正態(tài)分布由兩個(gè)參數(shù)描述：分布的平均值μ和方差σ2 mu = 0 # mean sigma = 1#standard deviation x = np.arange(－5,5,0.1) #生成隨機(jī)數(shù)x #得到對(duì)應(yīng)的概率值y y = (1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma*sigma)))*np.exp(－(((x－mu)**2)/(2*sigma*sigma))) fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(ncols=2, figsize=(10, 5)) ax0.plot(x, y) ax1.plot(x,stats.norm.cdf(x,0,1)) ax0.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu,sigma)) ax0.set_xlabel('x') ax0.set_ylabel('Probability density', fontsize=15) ax1.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu, sigma)) ax1.set_xlabel('x') ax1.set_ylabel('Cumulative density', fontsize=15) fig.subplots_adjust(wspace=0.4) plt.show() test_norm_pmf()

【運(yùn)行結(jié)果】

如下圖所示。

正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

自然界中許多隨機(jī)指標(biāo)都服從一種“中間高，兩頭低”的概率特性。例如，一門課程的考試成績(jī)，人的身高、體重等。

正態(tài)分布這種“鐘形曲線”很好地反映了現(xiàn)實(shí)世界中的中間高、兩頭低的隨機(jī)現(xiàn)象。

推薦閱讀

《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

***粉絲福利時(shí)間***

評(píng)論區(qū)留言，點(diǎn)贊數(shù)前10可獲得此書(shū)！！！

以72個(gè)小時(shí)計(jì)！

注：若是在活動(dòng)截止日期后24小時(shí)內(nèi)無(wú)法取得用戶回復(fù)或聯(lián)系，將按照留言點(diǎn)贊排名順延。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的​【文末有福利】连续型随机变量及实例详解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。