──推薦《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》

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本文所討論的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史主要是指在20世紀(jì)中發(fā)展起來(lái)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的歷史。20世紀(jì)是數(shù)學(xué)飛速發(fā)展的世紀(jì)，數(shù)學(xué)知識(shí)出現(xiàn)了前所未有的爆炸。據(jù)粗略估計(jì)，全部數(shù)學(xué)的90 % 是在20世紀(jì)中創(chuàng)造的。如今的數(shù)學(xué)真正成為了人類知識(shí)領(lǐng)域中最博大精深的一個(gè)，其抽象與艱深的程度登峰造極，這對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的人們來(lái)說(shuō)形成了巨大的挑戰(zhàn)。

中國(guó)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)現(xiàn)代基礎(chǔ)（純粹）數(shù)學(xué)時(shí)，接觸的基本上都是高度抽象和形式化的邏輯推理體系?？贪謇淠摹岸x-定理-證明-推論”四步曲格式容易使他們感到困惑，不知道如此抽象與復(fù)雜的理論是為了什么，它們到底要解決什么問(wèn)題？為什么要學(xué)習(xí)與研究它們？

弄清楚教材中眾多的概念和定理的證明，這只是第一步。對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，最大的困難還在于如何正確理解和全面把握現(xiàn)代數(shù)學(xué)。J. L. Casti曾說(shuō)：“在數(shù)學(xué)中，要講述真理是極其困難的，數(shù)學(xué)理論的形式化的陳述并沒有講清全部的真理。數(shù)學(xué)理論的真理更象是當(dāng)我們?cè)诼犚恍＜宜龅穆唤?jīng)心的隨口評(píng)述時(shí)，我們?nèi)ゲ蹲綄＜以u(píng)述的動(dòng)因后才會(huì)感觸到的體味，當(dāng)我們最終搞清楚典型的例子時(shí)，或是當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了隱藏在表面化諸問(wèn)題之后的實(shí)質(zhì)問(wèn)題時(shí)，我們才品嘗到數(shù)學(xué)之真。哲學(xué)家和精神分析學(xué)要解釋，為什么我們的數(shù)學(xué)家習(xí)慣于系統(tǒng)地擦去我們走過(guò)的足跡?？茖W(xué)家們總是不理解地看待數(shù)學(xué)家的這種怪異的習(xí)慣，而這種習(xí)慣自畢達(dá)哥拉斯以來(lái)直至今天幾乎沒有改變?！盵1]

H. Bass這樣分析其中的原因：“數(shù)學(xué)有一個(gè)本性的趨向——利用抽象和一般化——由此而將廣泛領(lǐng)域中的素材加以綜合與提煉，形成簡(jiǎn)單而又統(tǒng)一的概念與方法，去處理各種各樣復(fù)雜的情況。這個(gè)過(guò)程有時(shí)被稱為‘壓縮’，有意思的是，這種很有效的知識(shí)形成過(guò)程卻對(duì)進(jìn)行教學(xué)的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是一個(gè)障礙，他在這時(shí)必須擔(dān)當(dāng)起‘解開壓縮’的角色，這樣才能讓那些自主研究學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)逐漸理解數(shù)學(xué)?！盵2]講授現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教材往往是在相應(yīng)分支學(xué)科內(nèi)已經(jīng)成為經(jīng)典的研究專著的一個(gè)簡(jiǎn)編。雖然在這些被公認(rèn)為是必讀的專著中具有一些最基本的成果和少量適用于基礎(chǔ)課教學(xué)的啟發(fā)性材料，但從總體上看，這些專著的主要目的還是為了清理該分支學(xué)科發(fā)展初期難免的混沌狀態(tài)，完整精確地建立已有各結(jié)果之間的邏輯聯(lián)系，并盡可能精煉地得到最一般的結(jié)果。這樣做對(duì)該分支學(xué)科以后進(jìn)一步的研究與發(fā)展來(lái)說(shuō)是十分必要的，也是由數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性所決定的。但是，和許多兩難的問(wèn)題一樣，這個(gè)提煉與抽象的“壓縮”過(guò)程同時(shí)也切斷了與以往工作的聯(lián)系，即擦去了“走過(guò)的痕跡”。最后定型的概念和成熟的方法一般來(lái)說(shuō)不能反映數(shù)學(xué)思想發(fā)展的實(shí)際進(jìn)程，它們必定會(huì)給初學(xué)者造成理解上的極大困難。Bass所說(shuō)的“解開壓縮”實(shí)際上就是按照數(shù)學(xué)發(fā)展的順序來(lái)講授現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也就是將數(shù)學(xué)思想逐步演進(jìn)的歷史過(guò)程與數(shù)學(xué)嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，補(bǔ)上必要的被舍棄的中間過(guò)程，使學(xué)生理解精煉抽象的概念與定理背后的真正內(nèi)涵。

這種被稱為“歷史途徑法” [3]的教學(xué)方法不是簡(jiǎn)單地在傳統(tǒng)的只講邏輯推理的課程中堆砌一些數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)家的生平故事來(lái)調(diào)節(jié)數(shù)學(xué)的枯燥敘述，而是直接在歷史的框架中來(lái)講授數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，從而更容易抓住現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育的研究已經(jīng)證實(shí)數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過(guò)程與學(xué)習(xí)者個(gè)人認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)的心理程序有極明顯的相似之處[4]，因此歷史途徑法對(duì)于數(shù)學(xué)（尤其是現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)）的教學(xué)有極大的幫助。為學(xué)生考慮，歷史途徑法一般都用歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的原始數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)引入教學(xué)的主題，采用具體簡(jiǎn)單的素材作鋪墊，從中引導(dǎo)出抽象的數(shù)學(xué)概念與命題，并且運(yùn)用前人具有啟發(fā)性的有趣樸素想法來(lái)解決一些相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這樣可以揭示出抽象的數(shù)學(xué)概念與方法的實(shí)際內(nèi)涵，并且使初學(xué)者不受紛繁復(fù)雜的表面邏輯現(xiàn)象的干擾。由于我們已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)后來(lái)的發(fā)展過(guò)程，所以可以選取對(duì)以后的發(fā)展來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的思想和方法，也就是用歷史發(fā)展線索在大量復(fù)雜的知識(shí)體系中找出基本的概念與方法，并且將具體的歷史演進(jìn)過(guò)程與學(xué)科嚴(yán)密的邏輯推理體系巧妙地結(jié)合起來(lái)，由淺入深地合理編排有關(guān)教學(xué)內(nèi)容。H. M. Edwards說(shuō)：“為了得到真正有用的想法，我們假想我們的前人從問(wèn)題出發(fā)，沒有經(jīng)過(guò)迂回曲折的探索過(guò)程，而是合情合理地直接找到了解決的方法。在這里我想著重強(qiáng)調(diào)的是：雖然這種直線式的思考過(guò)程顯得十分粗糙，并帶有一定程度的虛構(gòu)成分，但是暫時(shí)不會(huì)有什么麻煩，不必顧慮重重。”[5]在此過(guò)程中我們還可以采用今天的簡(jiǎn)潔記號(hào)和更簡(jiǎn)單的基本概念來(lái)表述歷史上數(shù)學(xué)家們?nèi)〉玫幕境晒?#xff08;包括記號(hào)演變?cè)趦?nèi)的數(shù)學(xué)真正的歷史其實(shí)是非常復(fù)雜的，所以嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，歷史途徑法所涉及的“歷史”只能是一種簡(jiǎn)化的歷史，雖然與真實(shí)的歷史有一段距離，但卻是教學(xué)所需要的。）

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，許多重要的基本概念和方法都是經(jīng)過(guò)了多次反復(fù)抽象和推廣而得到的，所以它們?cè)诒举|(zhì)上是互相聯(lián)系的，顯示了高度的統(tǒng)一性。只有通過(guò)讓學(xué)生不斷地積累經(jīng)驗(yàn)和進(jìn)行反思，最好是能夠親自觀察和體驗(yàn)抽象與拓廣的過(guò)程，才能使他們悟出表面上完全不同的題材其實(shí)是在討論同一件事，只不過(guò)是抽象的層次和抽象的方向不同。歷史途徑法在教學(xué)過(guò)程中部分地還原了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過(guò)程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)較高層次的理論前先經(jīng)歷較低層次的抽象過(guò)程。這樣才能讓學(xué)生領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí)的真正內(nèi)涵，并且把握數(shù)學(xué)以后發(fā)展的方向（例如相鄰分支學(xué)科之間的交叉與融合）。當(dāng)然這時(shí)候一些重要結(jié)論的導(dǎo)出和定理的證明并不是用現(xiàn)代最快捷的方式得到的，定理的結(jié)論也經(jīng)常不是最一般的情形。可能還要適當(dāng)?shù)n程理論體系的完整性，增加一些相鄰學(xué)科的內(nèi)容，舍棄一些次要的或技巧性比較強(qiáng)的內(nèi)容。很多時(shí)候從表面上看好象沒有用到歷史材料，也不出現(xiàn)數(shù)學(xué)家的姓名，但是只要是從一般數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和學(xué)生認(rèn)知學(xué)習(xí)的規(guī)律出發(fā)，來(lái)想象和還原數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，并先在一些具體的相對(duì)比較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合中總結(jié)規(guī)律，得到命題，然后再進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V，這同樣也可以理解為是在“廣義”地使用歷史途徑法。這一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)本質(zhì)特征是，不斷地從個(gè)別的具體材料抽象出一般的概念和適用面更廣的方法。許多在一般（或高維）的情形成立的結(jié)論都是先從特殊（或低維）的情形得到的。另一方面，很多教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)始者及相關(guān)的歷史材料也是很難找到的，特別是一些常規(guī)的教學(xué)內(nèi)容和小的知識(shí)點(diǎn)就更是如此。這時(shí)，只能對(duì)歷史上數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程作出一些合理的推測(cè)。

歷史途徑法的目標(biāo)是要努力達(dá)到嚴(yán)格推理的形式化與直觀啟發(fā)的非形式化之間的平衡。這樣就對(duì)教師和教材的編著者提出了相當(dāng)高的要求，需要具備深刻的洞察力和付出艱苦的努力（容易發(fā)現(xiàn)他們中有不少是有很深造詣的數(shù)學(xué)家）。有的時(shí)候，很難把具有復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)完全納入到歷史發(fā)展的框架中來(lái)加以演繹推導(dǎo)，而只能部分地采用歷史途徑法。此外，與許多數(shù)學(xué)家喜歡的提綱摯領(lǐng)式的簡(jiǎn)練寫作風(fēng)格相反，用歷史途徑法寫的教科書會(huì)抓住重點(diǎn)和關(guān)鍵的內(nèi)容，用較長(zhǎng)的篇幅不厭其煩地展開必要的細(xì)節(jié)敘述。

從國(guó)外已經(jīng)出版的數(shù)十本用歷史途徑法寫的現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材的反映看，歷史途徑法非常有利于學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，它可以揭開現(xiàn)代數(shù)學(xué)的神秘面紗，降低學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生產(chǎn)生繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究的興趣。和中學(xué)講的初等數(shù)學(xué)以及大學(xué)本科講的近代數(shù)學(xué)相比，歷史途徑法對(duì)于現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教學(xué)幫助更大，甚至可能是不可或缺的。

由美國(guó)普林斯頓大學(xué)出版社在2008年出版的《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》[6]（The Princeton Companion to Mathematics ，以下簡(jiǎn)稱《指南》）是一本幫助現(xiàn)代數(shù)學(xué)初學(xué)者的綜合普及類工具書，篇幅達(dá)一千頁(yè)。它不同于一般的百科辭典的地方是：盡量用通俗淺顯的語(yǔ)言和歷史途徑法來(lái)深入淺出地解釋現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想，而不是面面俱到，并且適當(dāng)降低準(zhǔn)確性。《指南》總共包含有“（一）引言”、“（二）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起源”、“（三）數(shù)學(xué)概念”、“（四）數(shù)學(xué)的分支”、“（五）定理與問(wèn)題”、“（六）數(shù)學(xué)家”、“（七）數(shù)學(xué)的影響”和“（八）看法與建議”等八個(gè)部分。其中第一部分和第八部分是用平易的語(yǔ)言向?qū)W生介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)大致包含的內(nèi)容、研究數(shù)學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)以及對(duì)于學(xué)習(xí)的建議，第二和第六部分簡(jiǎn)要介紹了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史以及重要數(shù)學(xué)家的生平，第七部分比較全面地介紹了數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各種應(yīng)用和影響。而介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)各主要分支的第四部分是整本《指南》最重要的部分，第三和第五部分則是進(jìn)一步解釋第四部分所涉及的一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本概念和最重要定理的具體內(nèi)容。

雖然《指南》不是一本嚴(yán)格意義上的教科書，但是它在其第四部分介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要分支學(xué)科時(shí)，按照20世紀(jì)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的主要線索，力求通俗地介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)各主要分支學(xué)科所要解決的問(wèn)題和一些有代表性的成果。為此《指南》盡量減少使用高深的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，并且選取對(duì)解決研究生專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)難點(diǎn)有幫助的歷史素材和至關(guān)重要的思想方法，努力還原被擦去的“走過(guò)的痕跡”。由于沒有象教科書那樣有比較嚴(yán)密的理論體系限制，《指南》可以更充分地利用歷史途徑法來(lái)深入淺出地解釋現(xiàn)代數(shù)學(xué)主流學(xué)科中一些最基本成果的內(nèi)涵。在這方面，《指南》的第四部分有點(diǎn)象前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家為普及數(shù)學(xué)知識(shí)而撰寫的名著《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》[7]，只不過(guò)前者是講現(xiàn)代數(shù)學(xué)，后者主要是講18與19世紀(jì)的近代數(shù)學(xué)。相比較而言，《指南》講解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的難度自然更大。此外在《指南》的第四部分極其有限的兩百頁(yè)左右的篇幅內(nèi)（不包括介紹應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)），只能對(duì)現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)各主要學(xué)科中極少的基本內(nèi)容運(yùn)用歷史途徑法來(lái)進(jìn)行解說(shuō)。

在現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)眾多的大大小小各種分支學(xué)科中，《指南》著重強(qiáng)調(diào)了數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)?、表示論等分支學(xué)科的重要性，這是特別值得我們注意的。根據(jù)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主要潮流（尤其是最近幾十年的情況）和在未來(lái)的發(fā)展前途，該書認(rèn)為目前現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的分支學(xué)科主要有代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、算術(shù)（代數(shù)）幾何、代數(shù)拓?fù)洹⑽⒎滞負(fù)?、參模空間、表示論、調(diào)和分析、偏微分方程和算子代數(shù)等十幾門主流的分支學(xué)科。這與目前我們對(duì)現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分支學(xué)科的劃分與強(qiáng)調(diào)有不小的差異。我們比較重視實(shí)變函數(shù)論、泛函分析、抽象代數(shù)、整體微分幾何以及偏微分方程等經(jīng)典學(xué)科。但是另一方面，對(duì)數(shù)論、代數(shù)幾何以及拓?fù)涞戎饕獙W(xué)科，我們?nèi)狈Ρ匾年P(guān)注與投入。例如目前在國(guó)內(nèi)數(shù)百所設(shè)置基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的高校中，開設(shè)代數(shù)幾何課程的學(xué)校數(shù)不超過(guò)個(gè)位數(shù)，而迄今為止國(guó)內(nèi)學(xué)者寫的代數(shù)幾何中文教材只有一本[8]。

如果我們將代數(shù)數(shù)論與解析數(shù)論合稱為“數(shù)論”，將代數(shù)幾何、算術(shù)（代數(shù)）幾何與參模空間合稱為“代數(shù)幾何”，將代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)浜戏Q為“拓?fù)洹?#xff0c;將表示論與調(diào)和分析合稱為“表示論”，將偏微分方程與算子代數(shù)合稱為“分析”，那么《指南》實(shí)際上就認(rèn)為在目前現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)所包含的幾十個(gè)分支學(xué)科中，最主要的分支學(xué)科是數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)洹⒈硎菊摵头治龅任鍌€(gè)比較大的學(xué)科?！吨改稀穼?duì)于現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)主要分支的這種強(qiáng)調(diào)的重要意義在于：它能幫助我們從浩如煙海的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中辨別出基礎(chǔ)數(shù)學(xué)未來(lái)進(jìn)一步發(fā)展的主要方向。從20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史我們可以看到數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)洹⒈硎菊撘约胺治鲞@五個(gè)主要學(xué)科已經(jīng)成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心部分，聯(lián)系著基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，顯示了強(qiáng)大的生命力。

下面就以數(shù)論、代數(shù)幾何以及拓?fù)溥@三個(gè)主要學(xué)科為例分別對(duì)《指南》第四部分的內(nèi)容及其與20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展之間的緊密聯(lián)系作一些簡(jiǎn)要的分析與說(shuō)明。

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數(shù)論

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不少人以為數(shù)論基本上就是研究整數(shù)的初等數(shù)論，這是一個(gè)很大的誤解。實(shí)際上，經(jīng)過(guò)高斯、庫(kù)默爾、狄利克雷、黎曼、戴德金和希爾伯特等人的努力，19世紀(jì)的數(shù)論就已經(jīng)突破初等數(shù)論的范圍而產(chǎn)生了代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論的基本理論。到了20世紀(jì)，數(shù)論與抽象代數(shù)、代數(shù)幾何、多復(fù)變、調(diào)和分析、表示論和自守形式等學(xué)科相互促進(jìn)，發(fā)展成了蔚為大觀的現(xiàn)代數(shù)論[9]。在自身發(fā)展的同時(shí)，數(shù)論也觸發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的許多重要進(jìn)展，從而在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了領(lǐng)頭羊作用?，F(xiàn)代數(shù)論包括了類域論、局部域理論、函數(shù)域理論、韋依定理、模形式理論、代數(shù)簇的算術(shù)理論、近代分圓域理論、費(fèi)馬大定理、朗蘭茲猜想、以及Arakelov幾何等理論。

《指南》按照數(shù)論發(fā)展的歷史途徑，從古典的二次無(wú)理數(shù)逼近問(wèn)題逐步引入二次代數(shù)整數(shù)環(huán)的概念，然后直接討論其至關(guān)重要的唯一分解問(wèn)題（因?yàn)樵噲D證明費(fèi)馬大定理而導(dǎo)致人們關(guān)注這一重要問(wèn)題）。為了弄清楚影響唯一分解性質(zhì)的“障礙”，《指南》用具體的計(jì)算例子介紹了高斯的重要發(fā)現(xiàn)：即可以用二元二次型來(lái)度量二次代數(shù)整數(shù)環(huán)是否具備唯一分解的性質(zhì)，以及如果不具備的話在何種 “程度”上具備。然后再開始引入戴德金非?；镜摹袄硐搿备拍?#xff0c;將二元二次型所涉及的繁瑣計(jì)算逐步轉(zhuǎn)化為理想的運(yùn)算，并且能非常自然地形成理想類群和理想類數(shù)這兩個(gè)更抽象的概念，以便用來(lái)衡量唯一分解性質(zhì)?！吨改稀吩敿?xì)介紹的另一個(gè)衡量唯一分解性質(zhì)的工具是經(jīng)典的橢圓模函數(shù)，它在某些代數(shù)整數(shù)上的取值也是代數(shù)整數(shù)，這就引出了克羅內(nèi)克希望的將某些他感興趣的代數(shù)數(shù)表示成某些解析函數(shù)的值的“青春之夢(mèng)”。這個(gè)夢(mèng)想的范圍后來(lái)不斷擴(kuò)大，伴隨著代數(shù)幾何與群表示論的加入，最終導(dǎo)致產(chǎn)生了龐大的朗蘭茲猜想。

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代數(shù)幾何

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依I.R.Shafarevich的觀點(diǎn)[10]，代數(shù)幾何在20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中占據(jù)著一個(gè)中心的位置。這是因?yàn)樵?0世紀(jì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)各主要分支學(xué)科的發(fā)展過(guò)程中，代數(shù)幾何所起的推動(dòng)作用最大，抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)?、整體微分幾何以及分析中許多重要的理論都是因代數(shù)幾何的需要而提出的，所以說(shuō)代數(shù)幾何是20世紀(jì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一化的一個(gè)主要源動(dòng)力。在大多數(shù)20世紀(jì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)重大進(jìn)步（例如獲得菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)的工作）的背后，總能看到代數(shù)幾何的影子。代數(shù)幾何與數(shù)論、拓?fù)?、抽象代?shù)、多復(fù)變函數(shù)、復(fù)幾何、代數(shù)群以及表示論等學(xué)科有著極密切的聯(lián)系（常常交織在一起密不可分），只有對(duì)這些相關(guān)學(xué)科都有所涉足，才能對(duì)代數(shù)幾何有比較深入的了解。因此代數(shù)幾何也可以看成是一門綜合性的學(xué)科，這是代數(shù)幾何比較難學(xué)的主要原因。

代數(shù)幾何最早起源于在17和18世紀(jì)牛頓和Bezout等人關(guān)于平面代數(shù)曲線的研究工作。到了19世紀(jì)上半葉射影幾何登場(chǎng)后，才開始出現(xiàn)關(guān)于曲線和曲面的初步的代數(shù)幾何理論。然后黎曼在研究阿貝爾積分理論的過(guò)程中提出了內(nèi)蘊(yùn)的黎曼面概念和代數(shù)函數(shù)的理論，打開了通向現(xiàn)代代數(shù)幾何的大門。在這之后，分析學(xué)派、幾何學(xué)派和代數(shù)學(xué)派分別用他們自己的語(yǔ)言進(jìn)一步發(fā)展了這門不同尋常的學(xué)科。一直要等到20世紀(jì)的中葉，當(dāng)整體微分幾何、多復(fù)變函數(shù)、抽象代數(shù)、以及拓?fù)鋵W(xué)得到充分的發(fā)展后，A. Grothendieck才有可能在這幾個(gè)學(xué)派工作的基礎(chǔ)上，用更精確的代數(shù)與拓?fù)涔ぞ?、更先進(jìn)的幾何思想將經(jīng)典的代數(shù)簇理論推廣成適用面更廣的“概形”理論，從而將代數(shù)幾何打造成了一個(gè)極其完美的理論體系，促進(jìn)了20世紀(jì)下半葉代數(shù)幾何的大發(fā)展[11]。

代數(shù)幾何的歷史可以幫助我們學(xué)習(xí)與理解高度抽象的代數(shù)幾何。I.R.Shafarevich在其用歷史途徑法編寫的名著《基礎(chǔ)代數(shù)幾何》[10]中說(shuō)：“類似于（生物個(gè)體發(fā)育重演該物種整體進(jìn)化過(guò)程的）生物發(fā)生律，學(xué)生在重復(fù)經(jīng)歷了代數(shù)幾何歷史演變的大致過(guò)程后，將會(huì)更清楚地掌握該學(xué)科的邏輯體系?！?《指南》依照代數(shù)幾何發(fā)展的歷史途徑，先從古老的多項(xiàng)式談起（該書作者甚至認(rèn)為不妨可以簡(jiǎn)單地將代數(shù)幾何看成是“用多項(xiàng)式研究幾何、用幾何的想法研究多項(xiàng)式”的學(xué)科）。多項(xiàng)式雖然是一種非常特殊的初等函數(shù)，但是它的零點(diǎn)集卻可以用來(lái)代表大多數(shù)的流形，因此多項(xiàng)式非常有用，特別是從中體現(xiàn)出來(lái)的代數(shù)與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義?！吨改稀酚弥庇^和具體的簡(jiǎn)單例子解釋了最基本的Bezout定理、零點(diǎn)定理、以及相交重?cái)?shù)、維數(shù)和奇點(diǎn)分解等基本概念。對(duì)于抽象的概形概念，《指南》也是從最經(jīng)典的初看上去與幾何毫無(wú)關(guān)系的（丟番圖）不定方程入手，用一種簡(jiǎn)單的比喻方法解釋了如何將代數(shù)簇的幾何研究轉(zhuǎn)化為對(duì)相關(guān)坐標(biāo)環(huán)的代數(shù)研究（例如不可約簇對(duì)應(yīng)于整環(huán)）。代數(shù)研究的好處是可以將有關(guān)結(jié)果進(jìn)一步推廣到更一般的情形，目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)人們長(zhǎng)久以來(lái)希望的將代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論統(tǒng)一起來(lái)的夢(mèng)想?！吨改稀愤M(jìn)一步指出：由于不是每個(gè)環(huán)都可以成為代數(shù)簇的坐標(biāo)環(huán)，那么為什么不能發(fā)明一種廣義的幾何對(duì)象，使得每一個(gè)環(huán)都可以成為這種廣義幾何對(duì)象的“坐標(biāo)環(huán)”呢？而這種新的幾何對(duì)象就是著名的概形。在概形上，可以用精細(xì)的純代數(shù)的方法來(lái)研究各種抽象的“幾何性質(zhì)”，這樣就為解決一大批重要的經(jīng)典問(wèn)題開辟了道路。

這種將問(wèn)題“幾何化”的強(qiáng)有力方法也用在了許多幾何與拓?fù)鋵?duì)象的分類問(wèn)題中，此時(shí)所構(gòu)造的概形就是參?？臻g。參?？臻g的思想方法是試圖從整體的視角來(lái)研究某種數(shù)學(xué)對(duì)象。傳統(tǒng)的方法是先通過(guò)某些特定的幾何結(jié)構(gòu)的計(jì)算（例如度量）來(lái)獲取拓?fù)洳蛔兞?#xff0c;然后再設(shè)法證明這種計(jì)算與所選取的幾何結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。而參模空間的新方法是同時(shí)對(duì)所有的這種類型的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算（例如某種積分），如果能證明收斂性，則所獲得的結(jié)果自然就不依賴于特定的幾何結(jié)構(gòu)。微分拓?fù)渲蠨onaldson理論、Seiberg-Witten理論、以及Gromov-Witten理論，還有現(xiàn)代數(shù)論中費(fèi)馬大定理的證明過(guò)程等，都要用到參?？臻g的這種思想方法。當(dāng)然對(duì)于復(fù)雜的參?？臻g概念，《指南》不會(huì)直接給出其抽象的定義，而是從討論射影平面上過(guò)原點(diǎn)的全體直線組成的最簡(jiǎn)單的參?？臻g開始，將其歸結(jié)為一個(gè)線叢，這樣就可以用示性類來(lái)找出有關(guān)的拓?fù)洳蛔兞?。接下?lái)用比較多的篇幅重點(diǎn)介紹了曲線的參模問(wèn)題，這也是歷史上的原始問(wèn)題。先用一種比較簡(jiǎn)單的取商空間的比較粗略的方式給出了橢圓曲線的參?？臻g的概念，這個(gè)空間中的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)了一條橢圓曲線。然后再?gòu)膬?nèi)蘊(yùn)的黎曼面的角度來(lái)仔細(xì)地給出曲線的參模空間，因?yàn)榇藭r(shí)每一條曲線對(duì)應(yīng)了一個(gè)黎曼面。特別地，虧格為1的曲線對(duì)應(yīng)了橢圓曲線，而后者可以表示成復(fù)環(huán)面。接著再將復(fù)環(huán)面與上半復(fù)平面上的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，從而得到了橢圓曲線的參模空間。《指南》還進(jìn)一步介紹了虧格為g曲線的參?？臻g的構(gòu)造方法。為簡(jiǎn)易起見，以上所有關(guān)于參模空間的討論均不涉及概形的概念。?????????????????????????????????????????

拓?fù)?/strong>

拓?fù)鋵W(xué)主要研究在連續(xù)變形下關(guān)于幾何形狀的不變性質(zhì)。它曾被J. Dieudonné 譽(yù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“女王”。這主要是因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)的思想方法已經(jīng)滲透到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科中，無(wú)論是數(shù)論、抽象代數(shù)和代數(shù)幾何，還是微分方程與幾何分析。但是不少代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的教材都受到“單純同調(diào)-奇異同調(diào)-同倫”這一理論框架的束縛，不能很好地解釋代數(shù)拓?fù)涞南敕▉?lái)源于何處，其作用又是什么。實(shí)際上，拓?fù)鋵W(xué)的基本思想來(lái)源于復(fù)變函數(shù)論（尤其是黎曼面）和經(jīng)典代數(shù)幾何，而在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中之所以要大量使用抽象的拓?fù)鋵W(xué)方法的主要原因是由于研究高維抽象幾何空間整體問(wèn)題的需要。值得我們注意的是《指南》還將整體微分幾何和幾何分析也納入到了微分拓?fù)涞姆秶?#xff0c;這說(shuō)明用整體微分幾何（包括復(fù)幾何）與偏微分方程的方法研究微分流形上的整體幾何性質(zhì)，其最后的目標(biāo)指向了微分拓?fù)?。由此我們也可以將拓?fù)鋵W(xué)看成是更抽象的現(xiàn)代意義上的幾何學(xué)。????

《指南》按照拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的歷史途徑，先解釋了19世紀(jì)末以“三體問(wèn)題”為代表的一批經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題因?yàn)闊o(wú)法求出精確解，只能轉(zhuǎn)而考慮定性的拓?fù)浣狻Ｈ缓髽O為清楚地通俗介紹了連通性、相交數(shù)、基本群、高維的同倫群、同調(diào)群、上同調(diào)群、上同調(diào)環(huán)、向量叢、示性類以及K-理論等基本概念。例如在講上同調(diào)環(huán)時(shí)，用歷史上著名的Hopf纖維叢來(lái)說(shuō)明上同調(diào)環(huán)的用處，也就是用來(lái)解決經(jīng)典的計(jì)算球面同倫群的問(wèn)題。在講解微分拓?fù)涞牟糠?#xff0c;《指南》重點(diǎn)介紹了微分拓?fù)渲蟹浅Ｖ匾奈⒎至餍蔚姆诸悊?wèn)題。先講比較簡(jiǎn)單的0維、1維和2維流形。而對(duì)于比較復(fù)雜的3維流形，《指南》仔細(xì)解釋了Thurston的工作，即用八種幾何結(jié)構(gòu)來(lái)對(duì)3維流形進(jìn)行分類。接下來(lái)簡(jiǎn)單介紹了Freedman、Donaldson和Witten等人關(guān)于4維流形的著名工作，以及高于4維的流形的狀況。最后《指南》還簡(jiǎn)要講解了Hamilton和Perelman如何利用偏微分方程和黎曼幾何的工具成功解決龐加萊猜想問(wèn)題的大致過(guò)程。

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參考文獻(xiàn)

[1]J. L. Casti，不變量理論的兩個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，數(shù)學(xué)譯林,2001，第4期.

[2] 齊民友.從微積分的發(fā)展看微積分的教學(xué)（續(xù)三），高等數(shù)學(xué)研究,2004,第5期.

[3] 陳躍，從歷史角度講大學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，第4期.

[4] 趙瑤瑤，張小明，關(guān)于歷史相似性理論的討論，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，第4期.

[5] H. M. Edwards , Fermat’s Last Theorem — A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.? Springer-Verlag ,New York ,1977.

[6] T. Gowers (ed.) ,? The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[7] [蘇] A. 亞歷山大洛夫, 數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義（三卷），科學(xué)出版社，1988.

[8] 李克正，代數(shù)幾何初步，科學(xué)出版社，2004.

[9]馮克勤，代數(shù)數(shù)論簡(jiǎn)史，湖南教育出版社，2002.

[10] I. R. Shafarevich , Basic Algebraic Geometry 1, Springer-Verlag, 1994. (世界圖書出版公司1998年重印)

[11] J. Dieudonné , History of Algebraic Geometry ，Wadsworth，California，1985.

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陳躍

(上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,?上海, 200234)