王元在作完題為《漫談哥德巴赫猜想》的報(bào)告后給數(shù)學(xué)愛好者簽名 。王林/攝

“我勸大家現(xiàn)在不要去做哥德巴赫猜想，還是把基礎(chǔ)打好。如果要搞這個問題，最低限度，你應(yīng)該有大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生的知識水平，并將已有的文獻(xiàn)都看明白了；否則，就是浪費(fèi)時間。”?

1978年2月17日，《人民日報(bào)》發(fā)表了徐遲的長篇報(bào)告文學(xué)——《哥德巴赫猜想》。從此，陳景潤的名字和哥德巴赫猜想一起傳遍神州大地。

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近日，在一項(xiàng)面向公眾的活動中，數(shù)論學(xué)家王元院士發(fā)表了題為《漫談哥德巴赫猜想》的演講，并向熱衷于證明這一猜想的數(shù)學(xué)愛好者提出建議和忠告。

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王元表示，關(guān)于哥德巴赫猜想，報(bào)紙、電臺和電視上都介紹了很多。“但報(bào)紙上的宣傳也好，群眾的理解也好，都是不完整的，也是不科學(xué)的。”王元說。

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他談到三個方面的問題：一、什么是哥德巴赫猜想；二、為什么哥德巴赫的證明如此重要；三、目前最終證明哥德巴赫猜想的方法還沒有出來，勸大家還是把基礎(chǔ)打好，不要輕易去證明哥德巴赫猜想。

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王元是我國早期從事哥德巴赫猜想證明的數(shù)學(xué)家之一，1952年從浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)，經(jīng)陳建功與蘇步青推薦到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，在華羅庚的指導(dǎo)下研究數(shù)論和哥德巴赫猜想。

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據(jù)王元介紹，華羅庚早在20世紀(jì)30年代就開始研究哥德巴赫猜想，并得到了相當(dāng)好的結(jié)果；1966年，陳景潤證明了“1＋2”是迄今為止世界上有關(guān)哥德巴赫猜想證明的最好成果。

什么是哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫寫信給瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉，提出兩個猜想：?

（1）任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素?cái)?shù)之和；

（2）任何一個大于5的奇數(shù)是3個素?cái)?shù)之和。

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1742年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中明確表示，他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但他不能加以證明。

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這就是著名的哥德巴赫猜想。

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“容易證明（2）是（1）的推論，所以最重要的是（1），這是兩個素?cái)?shù)，所以我們稱它為‘1＋1’，這個問題到現(xiàn)在也沒有解決。”王元說，“但是，現(xiàn)在很多人說解決了這個問題，來的信簡直堆積如山，有人搞得傾家蕩產(chǎn)，這是沒有必要的，因?yàn)檫@個問題還不到解決的時候。我勸大家不要做這個問題。”

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哥德巴赫猜想的內(nèi)容十分簡潔，但它的證明卻異乎尋常的困難。從哥德巴赫寫信之日起，直至1920年，并沒有一個方法可以用來證明這個問題。

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1900年，在法國巴黎召開的第2屆國際數(shù)學(xué)大會上，德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在他著名的演說中，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建議了23個問題，而哥德巴赫猜想（1）就是他第八個問題的一部分。

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1912年，在英國劍橋召開的第5屆國際數(shù)學(xué)大會上，德國數(shù)學(xué)家E·朗道將哥德巴赫猜想列為數(shù)論中按當(dāng)時數(shù)學(xué)水平不能解決的4個問題之一。

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1921年，數(shù)論泰斗、英國數(shù)論學(xué)家哈羅德·哈代在德國哥德哈根數(shù)學(xué)會的演講中，宣稱猜想（1）的困難程度“是可以與數(shù)學(xué)中任何未解決的問題相比擬的”。

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因此，王元說：“哥德巴赫猜想不僅是數(shù)論，也是整個數(shù)學(xué)中最著名與困難的問題之一。”他給大家展示了一幅當(dāng)年哥德巴赫寫給歐拉的信的手跡復(fù)本。

哥德巴赫猜想為何如此重要

在數(shù)學(xué)界，關(guān)于整數(shù)未解決的問題非常多，為什么哥德巴赫猜想特別重要呢？

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王元說：“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一個數(shù)學(xué)模型，以它作為模型，可以給數(shù)學(xué)帶來新的方法、新的概念和新的理論。如果一個問題的證明不能帶來新方法、新思想和新理論，那么這個問題就不重要，這樣的問題多得很。”

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在接下來的演講中，王元向公眾解釋了哥德巴赫猜想證明為何能帶動新的理論和方法的原因。

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證明哥德巴赫想帶動的第一個方法是“園法”。這是1918年，英國數(shù)學(xué)家哈代、李特伍德和印度數(shù)學(xué)家拉馬努金研究哥德巴赫猜想時提出的方法。

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王元說：“他們從1918年開始做這個方法，這是一個非常有力的方法，是堆壘數(shù)論中一個強(qiáng)有力的中心方法。哈代是華羅庚先生的老師，拉馬努金在印度則被神話了。還有就是指數(shù)和的估計(jì)方法，指數(shù)和的估計(jì)從高斯開始，在最近100年中發(fā)展得很快，原因就是哥德巴赫猜想是它的推動力之一。有了這兩個方法的帶動，基本上解決了哥德巴赫猜想（2），即每一個充分大的奇數(shù)都是三個素?cái)?shù)之和。為什么說是基本解決而不是完全解決呢，這就要完全理解‘充分大’。”

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什么是“充分大”？王元說：“充分大是一個界線，大于這個界線的數(shù)則為充分大。在數(shù)學(xué)中，這個界線有時可以算出來，有時算不出來。在這里，文獻(xiàn)資料顯示，這個充分大可以算出來，是10的1000多次方，這是一個什么概念呢？現(xiàn)在計(jì)算機(jī)每秒的計(jì)算速度可以達(dá)到每秒100萬億次，這是10的14次方，10的20次方則是計(jì)算機(jī)能夠達(dá)到的最高上限；再給大家一個概念，整個宇宙的基本粒子有多少？我記得在一篇文章上說是10的50次方，那么，10的1000次方是什么概念呢？無法想象！這是一個大得不得了的數(shù)字。所以，三個素?cái)?shù)加起來等于一個奇數(shù)，這是不能通過計(jì)算機(jī)做出來的，只能用數(shù)學(xué)的方法來證明。”

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“現(xiàn)在，社會上只知道1＋1，N＋N，忘了將‘充分大’三個字放上去，這些問題都要加上‘充分大’才行。”王元補(bǔ)充說。

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證明哥德巴赫猜想帶動的第二個方法是篩法。

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王元說：“1918年，挪威數(shù)學(xué)家布朗改進(jìn)了有2000多年歷史的埃拉多染尼氏的篩法，證明每個充分大的偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)不超過9的正整數(shù)之和。我們將布朗的結(jié)果記為‘9＋9’。從布朗開始，篩法發(fā)展差不多90多年了，而且還在發(fā)展，最后結(jié)果是什么呢？最后結(jié)果之一就是陳景潤的結(jié)果。陳景潤在1965年證明：每一個充分大的偶數(shù)可以表示為一個素?cái)?shù)及一個不超過兩個素?cái)?shù)之積之和。這個定理可以表示為‘1＋2’。”

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“陳景潤的這個定理，報(bào)紙上的宣傳也好，群眾的了解也好，都是不完整、不科學(xué)的。因?yàn)槭紫?#xff0c;外面大家講的都是陳景潤的‘1＋2’，‘充分大’忘了；其次，大家說陳景潤證明的是一個素?cái)?shù)加上兩個素?cái)?shù)乘起來。這又錯了！應(yīng)該是一個素?cái)?shù)加上一個素?cái)?shù)或者兩個素?cái)?shù)乘起來，是不超過兩個素?cái)?shù)之積之和。所以，大眾的理解是不科學(xué)的，所以我現(xiàn)在要給大家嚴(yán)格地講一講。”王元說，“陳景潤定理中的充分大有多大？我們只知道存在這樣一個界，但不能具體給出來！”

“光輝的頂點(diǎn)”

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936～1938年，他赴英國劍橋大學(xué)留學(xué)，在哈代的指導(dǎo)下從事數(shù)論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對于“幾乎所有”的偶數(shù)，猜想（1）都是正確的。

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1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導(dǎo)他的一些學(xué)生研究這一問題。他曾對學(xué)生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我的著眼點(diǎn)是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系，以哥德巴赫猜想為主題來學(xué)習(xí)，將可以學(xué)會解析數(shù)論中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個方法可以解決它。”

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參加這個數(shù)論討論班的學(xué)生有王元、潘承洞和陳景潤等。出乎華羅庚的意料，學(xué)生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的成績。

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1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞于1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進(jìn)后，證明了“1＋2”。

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1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《篩法》一書出版，書中以“陳氏定理”作為最后一章的標(biāo)題。書中寫道：“我們本章的目的是為了證明陳景潤下面的驚人定理，我們在前10章已經(jīng)付印時才注意到這一結(jié)果。從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點(diǎn)。”

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華羅庚曾對王元說：“在我的學(xué)生的工作中，最使我感動的是‘1＋2’。”

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王元向大家展示了一張陳景潤的照片，這是日本出版的《數(shù)學(xué)100個問題》中一張陳景潤的照片。“日本數(shù)學(xué)界列舉了今天數(shù)學(xué)中的100個重要問題，哥德巴赫猜想是這些問題中的重要問題之一，因?yàn)殛惥皾櫾凇?＋1’的證明中最接近最終目標(biāo)，所以書中刊登了他的一張照片。這里面刊登一張照片也不容易，因?yàn)闀兄挥袃蓮堉袊说恼掌?#xff0c;一張是祖沖之的，一張就是陳景潤的。”王元說，“當(dāng)然，對數(shù)學(xué)難題的證明作出貢獻(xiàn)只是對數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的一個方面。”

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王元強(qiáng)調(diào)：“在這里我應(yīng)該說明，這個結(jié)果最后是陳景潤做出來的，但這個結(jié)果應(yīng)該是90年來大家努力的結(jié)果，陳景潤只是走出了最后一步。所以，前面的某些人在數(shù)學(xué)史上的功勞肯定要超過他，比方說，近代篩法的創(chuàng)始人布朗等。但最后的結(jié)果是最后一個人做出來的。如果要證明‘1＋1’，現(xiàn)在還比較遠(yuǎn)。”

“這一步大得不得了”

最后，王元說：“今天，我給大家講哥德巴赫猜想，并不是想鼓吹大家來做這個事情。我沒有這個意思。我給大家講一講，只是要讓你們知道這樣一個數(shù)學(xué)常識，這是我的第一個目的。第二個目的，也是更重要的一點(diǎn)，就是我勸大家現(xiàn)在不要去做哥德巴赫猜想，還是把基礎(chǔ)打好。對這個問題而言，包括陳景潤在內(nèi)，他辛苦了一輩子證明了‘1＋2’，是他的實(shí)力和勤奮，也是他的運(yùn)氣。陳景潤的結(jié)果，報(bào)紙上的宣傳也好，外面的說法也好，都不對頭，‘充分大’沒有說，這是不對的。這個問題，基礎(chǔ)沒有打好，怎么搞？對在座的各位年輕人來說，你們現(xiàn)在打基礎(chǔ)很重要，如果要搞這個問題，最低限度，你應(yīng)該有大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生的知識水平，并將已有的文獻(xiàn)都看明白了才能做；否則，就是浪費(fèi)時間。”

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如今，王元每周還要收到幾封信，寫信人強(qiáng)迫和他討論哥德巴赫猜想的問題。“我希望他們不要和我討論這個問題，這個問題我已經(jīng)幾十年不做了，因?yàn)槲矣X得沒有什么希望再做下去了。不要認(rèn)為陳景潤做出‘1＋2’，還差一步就做出‘1＋1’。是的，就是這一步；但這一步根本就大得不得了，這一步比90年來走過的路還要長。”王元說。

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美國加州大學(xué)洛杉磯分校的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒是2006年數(shù)學(xué)菲爾茨獎獲得者之一。王元說：“陶哲軒應(yīng)該是最近幾十年來全世界做得最好的兩位數(shù)學(xué)家之一，他的目標(biāo)之一就是要證明‘1＋1’，他現(xiàn)在做出來的結(jié)果也很好，但他在很多次報(bào)告中都講，他的方法不可能證明‘1＋1’。”

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“連這么大的一個天才都沒有做出來，所以，我勸大家不要做這個事，現(xiàn)在不是做這個證明的時候。你們還是應(yīng)打好基礎(chǔ)，把你們現(xiàn)在該學(xué)的解析幾何、代數(shù)與幾何等學(xué)好，這是最重要的。”王元說。

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來源 |?科學(xué)網(wǎng)

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總結(jié)

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