文 / 慵懶之龜 ??

引?/ 北大數(shù)院人

聲控是爐石傳說最大的魅力所在，也是技術(shù)的重要一部分。肩負(fù)全村人的希望的亂斗，下螺絲的時候給它指定一個目標(biāo)，再下四個我就是狗的130系列（筆者最近打JJC被130從萬軍中抓走High巨人已經(jīng)兩次了）……最難以捉摸的大概就是這種玄學(xué)，其中又以隨機(jī)分配傷害的情形最為復(fù)雜（而上面舉例的情形對應(yīng)的概率則比較容易計(jì)算）。

暑假里，一位爐石主播在微博上問了這樣一個問題：

場上一個大表哥，兩個兩血生物（沒有法強(qiáng)），打一個火山噴發(fā)，大表哥被打死的概率是多少？

在爐石傳說中，隨機(jī)分配傷害的邏輯是這樣的：在所有合法目標(biāo)中等概率地選擇一個目標(biāo)，然后對這個目標(biāo)造成一點(diǎn)傷害。然后如果這個目標(biāo)的生命值變?yōu)?，它就不再是合法目標(biāo)。如此循環(huán)直至打完規(guī)定的傷害或者場上不再有合法目標(biāo)。（如果實(shí)際情況與之不符……那就是阿三程序猿的錯）

這個問題相當(dāng)復(fù)雜，所以我們就先來看一個簡單的問題吧。

在很久很久以前，有個史學(xué)家：

這家伙發(fā)現(xiàn)了一條萌萌噠精靈龍。

后來年輕的法師打一個寒冰箭解了史學(xué)家，場上剩一條精靈龍；

最后法師決定碰碰運(yùn)氣，打一個奧術(shù)飛彈。

這三點(diǎn)傷害會隨機(jī)分配到英雄和精靈龍身上。那么，精靈龍被打死的概率是多少呢？（默認(rèn)英雄的生命值高于3）

呃，這個確實(shí)是很久很久以前的問題了，簡直和爐石傳說一樣古老。當(dāng)年引起過熱烈的討論，熱烈的程度大概相當(dāng)于這個版本對侏儒吸血鬼的收益的大討論……

那么我們怎么計(jì)算呢？先給兩個不正經(jīng)的方法：

方法一：要么打死，要么沒打死。二分之一，送分題！（如果真的這么回答，估計(jì)要被打死）

方法二：分別標(biāo)記三點(diǎn)傷害的目標(biāo)：龍龍人，龍人龍，人龍龍，人人人，人人龍，人龍人，龍人人。一共七種情況，七分之三！（來自NGA上的帖子，自稱概率學(xué)忘得差不多了只會最簡單的辦法）

好了，我們開始變得正經(jīng)了。先說答案：二分之一。（先打死再說）

分析一：如果按照方法二的列舉。第一種情形，前兩下打龍的概率是四分之一，然后就一定打人，所以概率是四分之一。其他六種情形的概率都是八分之一。所以龍被打死的概率是二分之一。

分析二：我們可以認(rèn)為龍的血量也高于三點(diǎn)，算它被打至少兩下的概率。稍微想一想就會發(fā)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化對問題的結(jié)論沒有影響。這樣轉(zhuǎn)化以后，我們發(fā)現(xiàn)龍如果不死，就是人至少被打兩下，按照對稱性，這和龍至少被打兩下的概率是一樣的。然后這兩者的發(fā)生概率一樣而且又是互補(bǔ)的事件，自然概率都是二分之一。

我們看到，雖然分析二很簡便，基本沒有計(jì)算，但卻只適用于幸運(yùn)二選一的情況，不能用來算大表哥的存活率。分析一的列舉方法則過于繁瑣，如果我們要用來算大表哥的存活率，就十分恐怖。那我們怎么辦？

我們可以借助現(xiàn)代化的裝備。拜托，你不是用紙筆打爐石的吧！接下來就輪到（非阿三）程序猿出場了——但是，程序猿也要先有個思路啊，怎么辦呢？

方法一：我們可以采用概率的頻率定義。模擬大量次數(shù)，然后統(tǒng)計(jì)大表哥的存活次數(shù)。這很Coooooooool！

在一百萬次試驗(yàn)中大表哥存活了?996728?次，果然大地的守護(hù)者是沒那么容易入土的。

方法二：我們可以逐步簡化問題。打?14 點(diǎn)的問題比打 15 點(diǎn)簡單，打 13 點(diǎn)的又比打 14 點(diǎn)的簡單。如果我們有一種辦法最終歸結(jié)到打一點(diǎn)，那就一眼就能看出答案了。

我們可以利用全概率公式，如果已知第一下打了誰，不就可以歸結(jié)為少打一點(diǎn)的問題了嗎？基于這個想法，我們有了下面的代碼。

我們算出大表哥存活的概率為?0.9966315820624765，和前面模擬的結(jié)果相對照，應(yīng)該沒有太大問題。

當(dāng)然，我們在面對這樣的局勢的時候，可以根據(jù)這樣的概率計(jì)算決定要不要拼一把，但是對于歐皇和非酋來說，這些都是沒有意義的。打死或者沒打死，不是二分之一嗎？（滑稽）

然后，我們還可以分析一下另一個問題：

那是一個上了逗魚時刻的悲慘故事。

雙方空場，任務(wù)賊鋪了4個5/5（任務(wù)賊削了大快人心）。于是薩滿打了一張火山噴發(fā)。

結(jié)果，火山噴發(fā)打出了接近生而平等的效果，一個都沒有打死……

那么這個概率大概是多少呢？

筆者用方法一進(jìn)行了數(shù)次100000次的模擬，一個都沒打死的次數(shù)大約在5800-6000。我們應(yīng)該可以放心的認(rèn)為這個概率大約是5.9%——在那之前筆者已經(jīng)用方法二開始運(yùn)行了，但是答案過了5分鐘還沒有出來……

對此我們進(jìn)行一下分析，可以發(fā)現(xiàn)，方法二對于一些簡單的場面進(jìn)行了太多次數(shù)的重復(fù)計(jì)算。這就是程序低效的根源。

那我們可以怎樣進(jìn)行優(yōu)化呢？我們可以開一個中間結(jié)果儲存器，保存中間結(jié)果；如果要計(jì)算的場面已經(jīng)在計(jì)算過的中間結(jié)果里面了，我們就可以直接拿出這個結(jié)果，不需要進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，這就是記憶化搜索的思想。但是這個儲存器的實(shí)現(xiàn)需要一些更高級的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面的技巧，比如對整個場面信息進(jìn)行打包并Hash，筆者很懶就沒有去做（才不是因?yàn)槲也粫?#xff09;……

又過了5分鐘，結(jié)果出來啦，和我們的預(yù)期還是很接近的：0.05873199552297592。

祝大家早日學(xué)會聲控，讓對面打出奧術(shù)影襲和火山平等（啦啦啦：自作聰明）~

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總結(jié)

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