Are Numbers Real?

不熟悉廣義相對論的人，無法從愛因斯坦的這番話中看出他當(dāng)時到底想到了什么。愛因斯坦其實是在舉例子。如果有人從非常高的建筑物上掉下來，他就會加速下落，而且加速度是一個標(biāo)準(zhǔn)值，由地球與他的身體之間的萬有引力決定。但是，與此同時，他會有失重的感覺。就像國際空間站里的宇航員一樣，他會感覺自己飄浮在空中。當(dāng)然，你在從高處掉落時會使周圍空氣發(fā)生振動。因此，想象你在箱子里，與箱子一起做自由落體運動，效果可能會更好。實際上，國際空間站的宇航員之所以有失重感，唯一的原因是他們正在下落。值得注意的是，空間站高度上的地心引力強(qiáng)度與地面其實非常接近，大約是正常地心引力的9/10。造成宇航員失重感的原因是空間站正在垂直下落，就像從建筑物上掉下來的人一樣，正在做自由落體運動。兩者之間唯一的區(qū)別是空間站還在向側(cè)方高速運動，因此，盡管它一直在下落，卻怎么也到不了地面。這是進(jìn)入運轉(zhuǎn)軌道之后必然產(chǎn)生的結(jié)果：一直在下落，卻怎么也到不了地面。

選自《數(shù)學(xué)世界的探奇之旅》

布賴恩 ? 克萊格 著 ?胡小銳 譯

因此，那些飄浮在空間站中的宇航員就是一個平常而真實的例子，他們向我們演示了愛因斯坦的想法：做自由落體運動的人感受不到自己的體重。在他們加速下落的時候，他們本來可以感受到的引力被抵消了。相比之下，如果我們下落的加速度超過了引力的作用，我們就會產(chǎn)生引力場正在將我們朝相反方向拉扯的感覺。大家想一想，飛機(jī)沿跑道開始加速時，你會有什么樣的感覺？你會感到一種與引力非常相似的壓力，將你推向椅背。如果加速度足夠大，你就可以體驗到宇航員或者戰(zhàn)斗機(jī)飛行員經(jīng)常感受到的“幾倍重力”的感覺，你會覺得體重變得非常沉。

接下來，我們看看愛因斯坦當(dāng)時想到了什么。宇航員和從高樓上掉下來的人在自由落體的過程中都感覺不到自身的重量，這個事實說明加速度與萬有引力的體驗完全相同。他在腦海里想象出一個與伽利略的設(shè)想非常相似的情境。當(dāng)初，伽利略在考慮相對性時，想象自己身處一個平穩(wěn)前進(jìn)、沒有窗戶的船艙中。他發(fā)現(xiàn)，無論在這個船艙中做什么實驗，都無法確定自己是在運動還是靜止?fàn)顟B(tài)。愛因斯坦在研究狹義相對論時，還考慮了光速不變這個條件。現(xiàn)在，他又把加速度加了進(jìn)來，要考慮的東西更多了。

假設(shè)你在一艘沒有窗戶的宇宙飛船中，有一個大小不變的力正在將你推向飛船的后部，使你感受到自己的體重。愛因斯坦稱，飛船有可能正降落在某個星球上，且該星球的引力正好與將你向后推的力大小相等；飛船也有可能正在太空中，在引擎的推動下以恒定的加速度提高飛行速度。但是，你無法在飛船中通過做實驗來判斷它到底處于哪種狀態(tài)。引力的拉動與加速度是等效的，二者無法區(qū)分。

愛賣弄的學(xué)究（喜歡賣弄的人往往與科學(xué)研究有密切關(guān)系）可能會辯解，嚴(yán)格地說，這兩種情況是可以區(qū)分的，因為我們可以在飛船內(nèi)部四處走動。既然如此，我們可以在飛船后部和前部各做一次實驗。如果飛船在加速，兩次實驗結(jié)果應(yīng)該沒有什么不同，因為飛船各個位置的加速度是一樣的。但是，如果是受引力作用，我們就可以從實驗結(jié)果中看到細(xì)微的區(qū)別，因為飛船前部離星球更遠(yuǎn)，我們感受到的引力作用會弱一些。這個說法完全正確，但是它不符合等效原理，因為等效原理要求在太空中選擇一個點，然后討論該點的情況，而不允許我們在飛船中四處走動。

在這艘想象的飛船上，我們還可以做另外一個極其重要的實驗。假設(shè)我們把狹義相對論實驗中使用的光鐘帶上了飛船。我們知道，當(dāng)飛船以穩(wěn)定的速度飛行時，在飛船上的人看來，光鐘沒有移動，光束也不會受到任何影響，而是繼續(xù)在兩個鏡面之間上下傳播?，F(xiàn)在，假設(shè)我們打開飛船的引擎，讓飛船不再以恒定速度相對地球運動，而是開始加速。即使身處飛船內(nèi)部，我們也能感受到飛船在加速。當(dāng)光從頂部鏡面反射到底部鏡面時，飛船上的乘客可以看出光的傳播路徑發(fā)生了變化。

這個現(xiàn)象非常有趣，表明伽利略的“無法通過實驗區(qū)分”相對性的斷言在加速度條件下是不成立的。但是，我們無須光學(xué)實驗就可以知道他的說法不對。我們的身體能感受到加速度的效應(yīng)，我們還可以在手機(jī)上安裝一個加速度計。但是，等效原理可以告訴我們一些更有趣的事情。我們已經(jīng)知道，如果飛船加速運動，光的傳播路徑就會改變。既然如此，如果飛船在引力場中，肯定也會出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象。愛因斯坦由此意識到萬有引力的一個基本特性：物質(zhì)具有彎曲時空的能力。具有質(zhì)量的物質(zhì)可以使時空彎曲，因此，我們看到本來應(yīng)該直線傳播的光束的路徑發(fā)生了變化。

這些話聽上去似乎有點兒耳熟。還記得繞地球運轉(zhuǎn)的空間站嗎？空間站沿著地球切線的方向飛行，飛行路線也是直線。本來，空間站應(yīng)該會飛離地球，進(jìn)入太空，但是地球質(zhì)量使時空發(fā)生了彎曲，于是空間站的飛行路線也隨之彎曲，并形成了軌道。因此，當(dāng)飛行物遇到巨大物體時，飛行路線會發(fā)生彎曲。但是，靜止的物體（例如蘋果）為什么會突然加速落到地面上呢？這里，我們需要了解一個重要的事實：發(fā)生彎曲的不是空間，而是時間。盡管蘋果在空間中保持靜止，但在時空中卻不是靜止的，因為時間一直在滴滴答答地流逝。也就是說，蘋果加速掉落是時間彎曲的結(jié)果。

這些解釋可以幫助我們了解廣義相對論，但是目前還沒有涉及相關(guān)數(shù)學(xué)知識。知道這些內(nèi)容可以讓我們對廣義相對論有一個粗淺的了解，但還不足以讓我們將它應(yīng)用到科學(xué)研究中。愛因斯坦擅長運用有限的數(shù)學(xué)工具，把思想實驗的情況直觀地表現(xiàn)出來，然后添加大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，明確這個思想實驗可能產(chǎn)生的結(jié)果。在研究廣義相對論時，添加數(shù)學(xué)內(nèi)容的工作持續(xù)了幾年時間，其中大部分工作是在1911年（因為對量子理論的研究讓愛因斯坦痛苦不堪，所以他決定暫時停止這項研究）至1915年完成的。

愛因斯坦面臨的第一個問題是，他需要擺脫歐幾里得2000年前深入討論的幾何學(xué)（參見第4章）。我們知道，古希臘人是在一個平整的表面上研究畢達(dá)哥拉斯定理與歐幾里得幾何定理的。他們認(rèn)為這些都是理所當(dāng)然的，以至于不愿意花費力氣把它們表述成公理。但是，稍加考慮，我們就會發(fā)現(xiàn)這個假設(shè)條件有點兒奇怪。別的不說，單是真正平整的表面，古代就比現(xiàn)代少得多。柏拉圖的完美原型自然可以做到真正平整，但是它們投射到現(xiàn)實世界的山洞中的陰影則不可避免有瑕疵。古希臘人規(guī)定了幾何學(xué)研究的直線與現(xiàn)實世界不同，且沒有粗細(xì)之分，但是沒有任何人明確地表述過平整表面這個假設(shè)。

讓我們感到奇怪的另外一個原因是，古希臘人知道地球不是平的，但他們還是一如既往地做出了相反的假設(shè)，也就是說，他們假設(shè)地球是平的。在中世紀(jì)之前，人們普遍認(rèn)為平坦的地球是標(biāo)準(zhǔn)模型，但與此同時，所有受過教育的人都認(rèn)為地球只能是一個球體，而且早在古希臘時代，人們就已經(jīng)證明了這一點。因此，盡管幾何學(xué)令古希臘人深感自豪，盡管它的名字包含“測量地球”之意，但是在研究地球的曲面時，這門科學(xué)其實并不適用。

前文說過，垂直于赤道的平行線相交于地球兩極。這已經(jīng)反映出幾何學(xué)的問題了，如果我們再考慮三角形這個最常見的幾何圖形，就可以更加清楚地看出這個問題。歐幾里得的《幾何原本》（卷一）的第32個命題告訴我們：“在任意三角形中，如果延長一邊，則外角等于另兩個內(nèi)角之和，而且三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角的和。”換成我們熟悉的語言就是，歐幾里得認(rèn)為，三角形的三個內(nèi)角和等于180度。

在歐幾里得精心搭建的幾何系統(tǒng)中（別忘了，在這個命題之前，還有31個其他命題），這個命題肯定是對的，不容置疑?？墒?#xff0c;一旦離開了平整的表面，它就不成立了。在地球這個等球體上（地球至少是一個近似球體），與直線相對應(yīng)的是大圓。顯然，球面上的所有線不可能在所有三個維度上都是直線。事實上，所有線都是彎曲的，曲率與地球表面相同。大圓是指圍繞地球表面且圓心與地球球心重合的所有曲線。

我們可以做一個簡單的實驗，利用大圓構(gòu)建一個三角形，就可以徹底推翻歐幾里得幾何學(xué)。我們從赤道這個大圓上取兩個不重合的點，然后從這兩個點開始，向北極方向各作一條與赤道成90度角的直線（分別與另一個大圓重合）。這兩條直線將在北極相交，并構(gòu)成一個夾角。赤道上兩點之間的距離越大，兩條直線在北極形成的夾角就越大。接下來，我們計算這個三角形的內(nèi)角和。赤道上的兩個角各為90度，第三個角的度數(shù)還不確定，但它們的和肯定超過180度。事實上，如果赤道上兩點之間的距離為10000千米（約等于赤道至北極的距離。千米這個單位當(dāng)時就是通過這個方法定義的），這個三角形就是一個等邊三角形，三條邊的長度都相等。此時，三個內(nèi)角都是90度，因此這個三角形的內(nèi)角和是270度。

由此我們知道，愛因斯坦在計算廣義相對論中的時空曲率時，是無法使用歐幾里得幾何定理的，因為他使用的數(shù)學(xué)工具必須可以處理曲面。更令人吃驚的是，他甚至還要處理四個維度（包括三個空間維和一個時間維）全部彎曲的情況。愛因斯坦的朋友馬塞爾·格羅斯曼為他提供了一個解決方案：德國數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼創(chuàng)立的當(dāng)時最先進(jìn)的彎曲空間幾何學(xué)。

此時，愛因斯坦的研究成果已經(jīng)引起所有人，尤其是德國杰出的數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特的注意。希爾伯特曾邀請愛因斯坦到他任教的哥廷根大學(xué)做報告。之后，他對愛因斯坦的關(guān)注度進(jìn)一步提高。當(dāng)時，愛因斯坦的研究仍然有幾個不完善的地方，希爾伯特似乎認(rèn)為，他應(yīng)該趕在愛因斯坦之前完成改進(jìn)工作。事實上，盡管愛因斯坦先于希爾伯特發(fā)表了第一篇完整的廣義相對論論文，但人們一度認(rèn)為希爾伯特率先完成了那些方程，只不過他發(fā)表論文的時間晚于愛因斯坦。后來，人們發(fā)現(xiàn)希爾伯特的原始論文本身存在若干缺陷，他在看到愛因斯坦的論文之后才進(jìn)行了修改，因此首發(fā)權(quán)仍然應(yīng)該歸屬于愛因斯坦。無論第一個完成這項工作的人是誰，第一個著手研究廣義相對論的人毫無疑問是愛因斯坦。與牛頓和萊布尼茨在微積分開創(chuàng)者問題上的紛爭不同，愛因斯坦與希爾伯特并沒有相互指責(zé)，希爾伯特還大度地承認(rèn)這是愛因斯坦的杰作。整個研究成果可以用一個看起來十分簡單的方程表示：

除了光速的四次冪以外，整個方程看起來似乎非常簡單，但是那些帶有μv下標(biāo)的參數(shù)都不是簡單的變量，而是愛因斯坦從黎曼研究成果中借鑒而來的張量——一種功能強(qiáng)大但是難以操作的數(shù)學(xué)工具。張量可以把不同數(shù)值、矢量以及其他張量之間的多維關(guān)系壓縮成一個單項。這個單項看似非常簡單，但是其背后隱藏著一個變量矩陣。把引力場方程中的張量展開，將會變成10個基本微分方程，而且其中涉及的值會根據(jù)在空間和時間中的位置不同而發(fā)生變化。

牛頓的萬有引力理論包含一個簡單的基本方程（牛頓本人并沒有使用這個方程）：

F=Gm1m2/r-2

整個方程只涉及常數(shù)G、兩個天體的質(zhì)量與它們之間的距離（r）。愛因斯坦的方程也有G，但是其他需要考慮的因素遠(yuǎn)不只是質(zhì)量的影響作用，盡管質(zhì)量非常重要。其中一個關(guān)鍵因素是，物體質(zhì)量不固定且隨著運動發(fā)生變化（根據(jù)狹義相對論）。能量可以增加質(zhì)量。后來，愛因斯坦還證明了能量也可以增加引力。質(zhì)量的效應(yīng)則主要是使時間發(fā)生彎曲。

與此同時，空間也會發(fā)生彎曲。宇宙飛船加速時導(dǎo)致光束彎曲的根本原因就是空間彎曲。與時間不同，空間彎曲需要考慮所有三個維度，每個維度上有兩個方向，因此愛因斯坦需要考慮的因素又多了六個。此外，他還要綜合考慮一些稀奇古怪的東西，例如慣性系拖曳效應(yīng)（由于相對性效應(yīng)，運動物體會產(chǎn)生一個垂直于運動方向、強(qiáng)度不大的引力）。愛因斯坦需要考慮的最后一個問題是，引力會產(chǎn)生某種形式的能量（某些物體，如高山上的石頭，因為位于引力場的高處而具有勢能）。我們已經(jīng)知道，能量可以產(chǎn)生引力。于是，它們就會形成一個小的反饋回路，引力又搖身一變成了一個引力源。

與狹義相對論不同，廣義相對論使用的是尋常人并不熟悉，甚至永遠(yuǎn)也不會熟悉的數(shù)學(xué)知識。事實證明，這些復(fù)雜方程的求解極富挑戰(zhàn)性。盡管在特例中解這些方程并非難事，但是它們沒有一般性解法。麥克斯韋通過求解復(fù)雜方程，預(yù)測到電磁波這個意想不到的物理實體的存在，這是人們利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行類似預(yù)測的早期實例。現(xiàn)在，根據(jù)廣義相對論方程，人們又預(yù)測到黑洞的存在。

黑洞這個概念要追溯至18世紀(jì)。當(dāng)時，英國天文學(xué)家約翰·米歇爾發(fā)現(xiàn)，如果天體的質(zhì)量足夠大，它的逃逸速度（擺脫該天體引力必須具備的速度）就會非?？?#xff0c;甚至能超過光速，因此光也有可能無法從這種暗星上逃逸。后來，德國物理學(xué)家卡爾·史瓦西受到愛因斯坦相對論的影響，重新提出這個概念，那時米歇爾的研究早已被人們遺忘了。

史瓦西提出這個概念的時間是1916年，當(dāng)時他正在參加第一次世界大戰(zhàn)，而相對論也只發(fā)表了幾個月。此時，愛因斯坦本人僅僅求得了部分近似解，做出水星軌道是變化的這個可以檢驗的預(yù)測。但是，躲在戰(zhàn)壕里的史瓦西卻得到了黑洞這個特例的精確解，指出星體耗盡支撐其重量的燃料之后，就會因為無法抵抗自身引力而坍縮，最終變成黑洞。

但是，史瓦西并沒有把他的預(yù)測結(jié)果稱作“黑洞”，這個名詞直到20世紀(jì)60年代才出現(xiàn)。人們通常認(rèn)為黑洞這個名稱是約翰·惠勒發(fā)明的。雖然惠勒肯定是最早使用這個名稱的科學(xué)家之一，但是第一個想出這個名詞的人似乎不是他。1964年1月，在美國科學(xué)促進(jìn)會的一次會議上，有人開始傳播這個術(shù)語，但這個人不是惠勒。隨后，安·尤因在《科學(xué)簡訊》上發(fā)表了一篇介紹這次會議的文章，把這個術(shù)語變成了鉛字。也就是說，這個名稱源自那次會議，但是無法確定發(fā)明者。

無論黑洞這個名稱源自何處，我們都知道黑洞從何而來，答案就是數(shù)學(xué)。在檢驗科學(xué)模型的有效性時，我們往往會考察它能否預(yù)測出當(dāng)初沒有被納入模型的現(xiàn)實世界的情況。因此，愛因斯坦急匆匆地求得方程的部分近似解，并開始預(yù)測水星軌道的特點。不久之后，人們利用日食發(fā)生的時機(jī)，通過觀察從太陽旁邊經(jīng)過的星光，證實了相對論關(guān)于引力可導(dǎo)致光束彎曲的預(yù)測是正確的。但是，在預(yù)測黑洞的存在之前，幾乎沒有人僅利用模型就預(yù)測出一個所有人見所未見，甚至想都沒想過的物理實體。

即使是現(xiàn)在，與其說黑洞是科學(xué)研究的對象，還不如說它是數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。天文學(xué)家在太空深處觀察到很多天體，有間接證據(jù)表明，從它們表現(xiàn)出來的特點看，這些天體似乎就是黑洞。盡管這些證據(jù)有很強(qiáng)的說服力，但所有證據(jù)都只是間接證據(jù)。我們從來沒有直接觀察到黑洞，只是借助數(shù)學(xué)工具推演出我們在銀河系中心可能觀察到的那些景象（據(jù)猜測，銀河系中心有一個無比龐大的黑洞）。這里應(yīng)用的數(shù)學(xué)絕對位于現(xiàn)實世界的邊界線上，似乎與真實世界存在某種關(guān)系，但尚未得到證實。有人（例如馬克斯·泰格馬克）認(rèn)為，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系永遠(yuǎn)達(dá)不到嚴(yán)絲合縫，如果我們可以近距離分析黑洞，就可以證明這些預(yù)測都是錯誤的。

盡管相對論的證明工作非常重要，但是在此期間，愛因斯坦還投身于物理學(xué)的一個新分支——量子物理領(lǐng)域，并在其中發(fā)揮了重要作用。量子物理是一個研究微觀世界的物理分支，同樣具有革命性意義。20世紀(jì)初，原子尚未被視為一種確定存在的實體，而只是一個有用的概念性工具，可用于預(yù)測物質(zhì)有哪些特征。但隨后，人們不僅證明了原子的確存在（主要是愛因斯坦的功勞），而且發(fā)現(xiàn)原子具有一些看似完全違背自然規(guī)律的特征。這實在是一個自相矛盾的悖論，因為自然界主要是由這種量子構(gòu)成的。

量子物理非常復(fù)雜（它研究的是由原子、電子、光子等粒子構(gòu)成的微觀世界），本書不準(zhǔn)備對其進(jìn)行深入討論，但是量子物理在其發(fā)展過程中得出了兩個非常重要的觀察結(jié)果，可以幫助我們了解數(shù)學(xué)對于宇宙探索的重要意義。愛因斯坦和丹麥物理學(xué)家尼爾斯·玻爾等人是最早進(jìn)入量子物理領(lǐng)域的科學(xué)家。他們很快發(fā)現(xiàn)，如果從量子的層級來研究宇宙，就必須拋棄很多關(guān)于物質(zhì)和光的特征的假設(shè)。例如，人們早就認(rèn)為光是一種波，這個假設(shè)也已經(jīng)得到了麥克斯韋的證實。但是，在新興的量子物理研究領(lǐng)域脫穎而出的大咖們告訴人們，所謂的光波特性，不過就是一個模型。光的確具有類似于波的特性，但它也可以被描述成一堆粒子或者場擾動。

在解釋原子中的電子與光的相互作用時，玻爾受行星繞太陽運行的啟發(fā)，試圖把這些電子放入類似的軌道。盡管這個模型早在20世紀(jì)20年代就已經(jīng)過時了，但是我們?nèi)匀豢梢栽趲缀跛械脑悠矫娼Y(jié)構(gòu)圖中看到它的身影。玻爾很快就發(fā)現(xiàn)自己的這個想法行不通，于是他為這些電子設(shè)計了多個軌道，讓電子可以在不同的軌道之間跳躍，但是不允許它們停留在軌道中間。我們所熟悉的那些看得見、摸得著的“真實”事物不具有這種特征，但是這些量子卻表現(xiàn)出這個特點。

玻爾的原子研究沒有多少實用價值，但激起了一些年輕科學(xué)家的興趣，其中最有名的當(dāng)屬沃納·海森堡和埃爾溫·薛定諤。他們決定在簡單的玻爾原子模型的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)描繪出量子的相互作用。海森堡更加徹底，他提出的矩陣力學(xué)利用純粹的數(shù)學(xué)方法，描述量子的特點。他根本不考慮借助模型這種直觀表示，而是通過操作矩陣（即數(shù)組），搖動手柄，使黑箱模型像麥克斯韋電磁波方程組一樣，做出一些重要的預(yù)測。

薛定諤不喜歡這種抽象的方法，因此他利用波這種熟悉的形式，考慮如何建立量子行為的模型。時至今日，薛定諤方程對于我們理解量子物理仍然具有非常重要的意義。它同樣屬于形式十分簡單、實質(zhì)卻十分復(fù)雜的方程：

從數(shù)學(xué)的角度看，這個方程的某些特點足以讓你膽戰(zhàn)心驚。首先，該方程使用了–1的平方根i。其次，就像愛因斯坦方程中的張量一樣，薛定諤方程中的希臘字母Ψ和戴帽子的Η這兩個符號都暗藏玄機(jī)。Ψ是描述某個系統(tǒng)本質(zhì)的波函數(shù)，表達(dá)式非常復(fù)雜，而戴帽子的Η指“哈密頓算符”，表示系統(tǒng)中的能量并將其應(yīng)用到波函數(shù)之中。

最初，人們以為薛定諤方程中的波函數(shù)，或者說該函數(shù)值的平方（謝天謝地，終于擺脫了那個讓人討厭的i），表示的是量子在系統(tǒng)中的位置。但是，真如此的話，似乎就可以預(yù)言所有量子無時無刻不在擴(kuò)散，并且越變越大，但是沒有實驗可以證明這個預(yù)測。（謝天謝地，否則我們將身處一個無比奇怪的世界。）再次，人們發(fā)現(xiàn)該方程預(yù)測的是量子處于某個位置或者系統(tǒng)處于某種狀態(tài)的概率。

除了這個方程和令人暈頭轉(zhuǎn)向的數(shù)學(xué)應(yīng)用，量子理論研究還產(chǎn)出了大量其他成果。例如，將相對論引入量子行為研究的狄拉克方程（它有一個副產(chǎn)品，即預(yù)測了反物質(zhì)的存在），以及在量子理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的量子電動力學(xué)等。但是，只需要看看海森堡和薛定諤，我們就可以看出科學(xué)家在“采擷”數(shù)學(xué)運算結(jié)果而不單純依靠直接觀察的道路上取得了兩次重要的突破。

海森堡在他的矩陣力學(xué)中使用了完全數(shù)學(xué)化的描述方法，薛定諤緊隨其后，他的方程把概率納入其中。愛因斯坦辛辛苦苦地把量子理論帶到我們這個世界上，但是在涉及概率之后，他發(fā)現(xiàn)在量子這個層級，如果不經(jīng)過測量，所有的存在都只是一種可能性。例如，如果剛剛沒有測量過，就無法確定量子的位置。人們常說，量子在同一時間里的可能位置有兩個，但是真實情況似乎更加復(fù)雜，展現(xiàn)在人們眼前的是概率織成的一張網(wǎng)。這讓愛因斯坦感覺很不舒服，因此他立刻停止了這項研究。

從本質(zhì)上講，量子物理似乎從根本上把現(xiàn)實變成了數(shù)學(xué)。根據(jù)量子理論，如果不是正在測量，關(guān)于現(xiàn)實世界的所有觀察結(jié)果對概率的依賴程度都會很大。乍一看，這與拋硬幣似乎沒有本質(zhì)上的不同。在公平的拋硬幣游戲中，得到正面與反面的概率通常各占一半。但是，一旦硬幣被拋出去，出現(xiàn)某種結(jié)果的可能性就是100%，而出現(xiàn)另一種結(jié)果的可能性則是0。只不過在硬幣落地之前，我們不知道這個結(jié)果到底是什么。但是，如果拋出去的是一枚量子硬幣，我們得到的就真的只有各占一半的概率，在進(jìn)行測量并得出結(jié)果之前，前面說的那種潛在確定性是不存在的。

盡管數(shù)學(xué)概念與真實的量子之間的這種關(guān)系似乎不可信，但是多年來已經(jīng)有大量實驗證明了它的真實性。事實證明，“現(xiàn)實世界建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上”的說法屬于夸大其詞。從某種意義上講，這個說法已經(jīng)不像以前那樣令人吃驚了。數(shù)學(xué)仍然是現(xiàn)實的模型，而不是一種絕對的描述。概率與推動現(xiàn)代物理發(fā)展的抽象數(shù)學(xué)不同，它是作為應(yīng)用數(shù)學(xué)工具被人們發(fā)明出來的。概率源于拋硬幣等真實操作的觀察結(jié)果，只不過在量子物理中，它表現(xiàn)出之前沒有的獨立性。這并不是說量子就是概率，而是說我們通常只能以概率的形式來描述它們。即使在伽利略和牛頓的時代，物理學(xué)領(lǐng)域也不時可以看到對稱的身影，例如牛頓第三運動定律就描述了一種令人賞心悅目的對稱，人們對相對論莫衷一是的態(tài)度也形成了一種對稱。但是，隨著歷史的車輪進(jìn)入20世紀(jì)并繼續(xù)前行，對稱展示出新的活力，對科學(xué)理論的發(fā)展起到顯著的推動作用。從此，數(shù)學(xué)真正地占據(jù)了主導(dǎo)地位。

來源：哲學(xué)園

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總結(jié)

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