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一文弄懂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的反向傳播法——BackPropagation

　　最近在看深度學(xué)習(xí)的東西，一開始看的吳恩達(dá)的UFLDL教程，有中文版就直接看了，后來發(fā)現(xiàn)有些地方總是不是很明確，又去看英文版，然后又找了些資料看，才發(fā)現(xiàn)，中文版的譯者在翻譯的時(shí)候會(huì)對(duì)省略的公式推導(dǎo)過程進(jìn)行補(bǔ)充，但是補(bǔ)充的又是錯(cuò)的，難怪覺得有問題。反向傳播法其實(shí)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)了，但是很多人在學(xué)的時(shí)候總是會(huì)遇到一些問題，或者看到大篇的公式覺得好像很難就退縮了，其實(shí)不難，就是一個(gè)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則反復(fù)用。如果不想看公式，可以直接把數(shù)值帶進(jìn)去，實(shí)際的計(jì)算一下，體會(huì)一下這個(gè)過程之后再來推導(dǎo)公式，這樣就會(huì)覺得很容易了。

　　說到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，大家看到這個(gè)圖應(yīng)該不陌生：

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　　這是典型的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成，Layer L1是輸入層，Layer L2是隱含層，Layer L3是隱含層，我們現(xiàn)在手里有一堆數(shù)據(jù){x1,x2,x3,...,xn},輸出也是一堆數(shù)據(jù){y1,y2,y3,...,yn},現(xiàn)在要他們?cè)陔[含層做某種變換，讓你把數(shù)據(jù)灌進(jìn)去后得到你期望的輸出。如果你希望你的輸出和原始輸入一樣，那么就是最常見的自編碼模型（Auto-Encoder）。可能有人會(huì)問，為什么要輸入輸出都一樣呢？有什么用啊？其實(shí)應(yīng)用挺廣的，在圖像識(shí)別，文本分類等等都會(huì)用到，我會(huì)專門再寫一篇Auto-Encoder的文章來說明，包括一些變種之類的。如果你的輸出和原始輸入不一樣，那么就是很常見的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了，相當(dāng)于讓原始數(shù)據(jù)通過一個(gè)映射來得到我們想要的輸出數(shù)據(jù)，也就是我們今天要講的話題。

　　本文直接舉一個(gè)例子，帶入數(shù)值演示反向傳播法的過程，公式的推導(dǎo)等到下次寫Auto-Encoder的時(shí)候再寫，其實(shí)也很簡(jiǎn)單，感興趣的同學(xué)可以自己推導(dǎo)下試試：）（注：本文假設(shè)你已經(jīng)懂得基本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，如果完全不懂，可以參考Poll寫的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)）

　　假設(shè)，你有這樣一個(gè)網(wǎng)絡(luò)層：

　　第一層是輸入層，包含兩個(gè)神經(jīng)元i1，i2，和截距項(xiàng)b1；第二層是隱含層，包含兩個(gè)神經(jīng)元h1,h2和截距項(xiàng)b2，第三層是輸出o1,o2，每條線上標(biāo)的wi是層與層之間連接的權(quán)重，激活函數(shù)我們默認(rèn)為sigmoid函數(shù)。

　　現(xiàn)在對(duì)他們賦上初值，如下圖：

　　其中，輸入數(shù)據(jù) ?i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　輸出數(shù)據(jù) o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始權(quán)重 ?w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　 ?w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

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　　目標(biāo)：給出輸入數(shù)據(jù)i1,i2(0.05和0.10)，使輸出盡可能與原始輸出o1,o2(0.01和0.99)接近。

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　　Step 1 前向傳播

　　1.輸入層---->隱含層：

　　計(jì)算神經(jīng)元h1的輸入加權(quán)和：

神經(jīng)元h1的輸出o1:(此處用到激活函數(shù)為sigmoid函數(shù))：

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　　同理，可計(jì)算出神經(jīng)元h2的輸出o2：

　　

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　　2.隱含層---->輸出層：

　　計(jì)算輸出層神經(jīng)元o1和o2的值：

　　

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這樣前向傳播的過程就結(jié)束了，我們得到輸出值為[0.75136079 , 0.772928465]，與實(shí)際值[0.01 , 0.99]相差還很遠(yuǎn)，現(xiàn)在我們對(duì)誤差進(jìn)行反向傳播，更新權(quán)值，重新計(jì)算輸出。

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Step 2 反向傳播

1.計(jì)算總誤差

總誤差：(square error)

但是有兩個(gè)輸出，所以分別計(jì)算o1和o2的誤差，總誤差為兩者之和：

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2.隱含層---->輸出層的權(quán)值更新：

以權(quán)重參數(shù)w5為例，如果我們想知道w5對(duì)整體誤差產(chǎn)生了多少影響，可以用整體誤差對(duì)w5求偏導(dǎo)求出：（鏈?zhǔn)椒▌t）

下面的圖可以更直觀的看清楚誤差是怎樣反向傳播的：

現(xiàn)在我們來分別計(jì)算每個(gè)式子的值：

計(jì)算：

計(jì)算：

（這一步實(shí)際上就是對(duì)sigmoid函數(shù)求導(dǎo)，比較簡(jiǎn)單，可以自己推導(dǎo)一下）

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計(jì)算：

最后三者相乘：

這樣我們就計(jì)算出整體誤差E(total)對(duì)w5的偏導(dǎo)值。

回過頭來再看看上面的公式，我們發(fā)現(xiàn)：

為了表達(dá)方便，用來表示輸出層的誤差：

因此，整體誤差E(total)對(duì)w5的偏導(dǎo)公式可以寫成：

如果輸出層誤差計(jì)為負(fù)的話，也可以寫成：

最后我們來更新w5的值：

（其中，是學(xué)習(xí)速率，這里我們?nèi)?.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

?

3.隱含層---->隱含層的權(quán)值更新：

　方法其實(shí)與上面說的差不多，但是有個(gè)地方需要變一下，在上文計(jì)算總誤差對(duì)w5的偏導(dǎo)時(shí)，是從out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隱含層之間的權(quán)值更新時(shí)，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)會(huì)接受E(o1)和E(o2)兩個(gè)地方傳來的誤差，所以這個(gè)地方兩個(gè)都要計(jì)算。

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計(jì)算：

先計(jì)算：

同理，計(jì)算出：

　　　　　　　　　　

兩者相加得到總值：

再計(jì)算：

再計(jì)算：

最后，三者相乘：

?為了簡(jiǎn)化公式，用sigma(h1)表示隱含層單元h1的誤差：

最后，更新w1的權(quán)值：

同理，額可更新w2,w3,w4的權(quán)值：

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　　這樣誤差反向傳播法就完成了，最后我們?cè)侔迅碌臋?quán)值重新計(jì)算，不停地迭代，在這個(gè)例子中第一次迭代之后，總誤差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，總誤差為0.000035085，輸出為[0.015912196,0.984065734](原輸入為[0.01,0.99]),證明效果還是不錯(cuò)的。

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代碼(Python):

1 #coding:utf-82 import random3 import math4 5 #6 # 參數(shù)解釋：7 # "pd_" ：偏導(dǎo)的前綴8 # "d_" ：導(dǎo)數(shù)的前綴9 # "w_ho" ：隱含層到輸出層的權(quán)重系數(shù)索引10 # "w_ih" ：輸入層到隱含層的權(quán)重系數(shù)的索引11 12 class NeuralNetwork:13 LEARNING_RATE = 0.514 15 def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):16 self.num_inputs = num_inputs17 18 self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)19 self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)20 21 self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)22 self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)23 24 def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):25 weight_num = 026 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):27 for i in range(self.num_inputs):28 if not hidden_layer_weights:29 self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())30 else:31 self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])32 weight_num += 133 34 def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):35 weight_num = 036 for o in range(len(self.output_layer.neurons)):37 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):38 if not output_layer_weights:39 self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())40 else:41 self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])42 weight_num += 143 44 def inspect(self):45 print('------')46 print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))47 print('------')48 print('Hidden Layer')49 self.hidden_layer.inspect()50 print('------')51 print('* Output Layer')52 self.output_layer.inspect()53 print('------')54 55 def feed_forward(self, inputs):56 hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)57 return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)58 59 def train(self, training_inputs, training_outputs):60 self.feed_forward(training_inputs)61 62 # 1. 輸出神經(jīng)元的值63 pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)64 for o in range(len(self.output_layer.neurons)):65 66 # ?E/?z?67 pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])68 69 # 2. 隱含層神經(jīng)元的值70 pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)71 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):72 73 # dE/dy? = Σ ?E/?z? * ?z/?y? = Σ ?E/?z? * w??74 d_error_wrt_hidden_neuron_output = 075 for o in range(len(self.output_layer.neurons)):76 d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]77 78 # ?E/?z? = dE/dy? * ?z?/?79 pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()80 81 # 3. 更新輸出層權(quán)重系數(shù)82 for o in range(len(self.output_layer.neurons)):83 for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):84 85 # ?E?/?w?? = ?E/?z? * ?z?/?w??86 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)87 88 # Δw = α * ?E?/?w?89 self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight90 91 # 4. 更新隱含層的權(quán)重系數(shù)92 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):93 for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):94 95 # ?E?/?w? = ?E/?z? * ?z?/?w?96 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)97 98 # Δw = α * ?E?/?w?99 self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight 100 101 def calculate_total_error(self, training_sets): 102 total_error = 0 103 for t in range(len(training_sets)): 104 training_inputs, training_outputs = training_sets[t] 105 self.feed_forward(training_inputs) 106 for o in range(len(training_outputs)): 107 total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o]) 108 return total_error 109 110 class NeuronLayer: 111 def __init__(self, num_neurons, bias): 112 113 # 同一層的神經(jīng)元共享一個(gè)截距項(xiàng)b 114 self.bias = bias if bias else random.random() 115 116 self.neurons = [] 117 for i in range(num_neurons): 118 self.neurons.append(Neuron(self.bias)) 119 120 def inspect(self): 121 print('Neurons:', len(self.neurons)) 122 for n in range(len(self.neurons)): 123 print(' Neuron', n) 124 for w in range(len(self.neurons[n].weights)): 125 print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w]) 126 print(' Bias:', self.bias) 127 128 def feed_forward(self, inputs): 129 outputs = [] 130 for neuron in self.neurons: 131 outputs.append(neuron.calculate_output(inputs)) 132 return outputs 133 134 def get_outputs(self): 135 outputs = [] 136 for neuron in self.neurons: 137 outputs.append(neuron.output) 138 return outputs 139 140 class Neuron: 141 def __init__(self, bias): 142 self.bias = bias 143 self.weights = [] 144 145 def calculate_output(self, inputs): 146 self.inputs = inputs 147 self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input()) 148 return self.output 149 150 def calculate_total_net_input(self): 151 total = 0 152 for i in range(len(self.inputs)): 153 total += self.inputs[i] * self.weights[i] 154 return total + self.bias 155 156 # 激活函數(shù)sigmoid 157 def squash(self, total_net_input): 158 return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input)) 159 160 161 def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output): 162 return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input(); 163 164 # 每一個(gè)神經(jīng)元的誤差是由平方差公式計(jì)算的 165 def calculate_error(self, target_output): 166 return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2 167 168 169 def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output): 170 return -(target_output - self.output) 171 172 173 def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self): 174 return self.output * (1 - self.output) 175 176 177 def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index): 178 return self.inputs[index] 179 180 181 # 文中的例子: 182 183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6) 184 for i in range(10000): 185 nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09]) 186 print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9)) 187 188 189 #另外一個(gè)例子，可以把上面的例子注釋掉再運(yùn)行一下: 190 191 # training_sets = [ 192 # [[0, 0], [0]], 193 # [[0, 1], [1]], 194 # [[1, 0], [1]], 195 # [[1, 1], [0]] 196 # ] 197 198 # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1])) 199 # for i in range(10000): 200 # training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets) 201 # nn.train(training_inputs, training_outputs) 202 # print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

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　　最后寫到這里就結(jié)束了，現(xiàn)在還不會(huì)用latex編輯數(shù)學(xué)公式，本來都直接想寫在草稿紙上然后掃描了傳上來，但是覺得太影響閱讀體驗(yàn)了。以后會(huì)用公式編輯器后再重把公式重新編輯一遍。穩(wěn)重使用的是sigmoid激活函數(shù)，實(shí)際還有幾種不同的激活函數(shù)可以選擇，具體的可以參考文獻(xiàn)[3]，最后推薦一個(gè)在線演示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變化的網(wǎng)址：http://www.emergentmind.com/neural-network，可以自己填輸入輸出，然后觀看每一次迭代權(quán)值的變化，很好玩~如果有錯(cuò)誤的或者不懂的歡迎留言：）

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參考文獻(xiàn)：

1.Poll的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 ）

2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

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作者：Charlotte77?

出處：http://www.cnblogs.com/charlotte77/?

本文以學(xué)習(xí)、研究和分享為主，如需轉(zhuǎn)載，請(qǐng)聯(lián)系本人，標(biāo)明作者和出處，非商業(yè)用途！?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation【转】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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