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目錄

A數(shù)學體系概述、主要分支、學科分類(MSC)、構(gòu)成聯(lián)系和應用數(shù)學簡介(62k字)

I.數(shù)學體系分支概述

II.數(shù)學體系主要分支

III.美國數(shù)學會(AMS)官網(wǎng)《2010年數(shù)學學科分類》

IV.數(shù)學體系的構(gòu)成和各分支間的聯(lián)系

V.應用數(shù)學

素材(1.2k字)

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數(shù)學體系概述、主要分支、學科分類(MSC)、構(gòu)成聯(lián)系和應用數(shù)學簡介

文|秦隴紀，數(shù)據(jù)簡化DataSimp?20190804Sun0810Sat

科學理論研究、工程技術工作是離不開數(shù)學的。如果拋開具體的科學問題和工程場景，單純地學習數(shù)學知識，所用教材在教學中只有知識點干條條，就會顯得枯燥乏味，而國內(nèi)的教育教學就是這種模式——一切學科分科簡化為經(jīng)驗為主的語文知識。所以，大多國內(nèi)學生刷題、考試、競賽很牛，但是真正運用到實際當中的能力非常弱。尤其國內(nèi)科學研究者使用數(shù)學工具的能力依然較弱，其學術訓練從高等教育就不充分，不足以支撐面向真實場景和具體問題的數(shù)學思維能力。

本文雖然脫離具體的科學問題和工程場景介紹各個數(shù)學分支，但是根據(jù)美國數(shù)學會(AMS)官網(wǎng)《2010年數(shù)學學科分類》的MSC2010和MSC2020分類，結(jié)合國內(nèi)數(shù)學體系分類文章，綜述數(shù)學學科體系分類情況，使得科技工作者形成框架性認知；以期幫助研究者在各領域應用、學科應用、學術應用、教學應用和科學研究中，定位數(shù)學工具所處理論位置。其中，MSC2010和MSC2020分類本身就是來源于純粹和應用數(shù)學，以及各種專業(yè)領域或?qū)W科相關研究中發(fā)展了的數(shù)學知識。

但若要形成科學研究能力——對具體自然、社會現(xiàn)象做出可以觀察、描述，形式化為數(shù)學或科學理論表達形式，用數(shù)學工具描述問題，進而做科學理論上的推論、證明、計算、演繹、歸納和結(jié)論，只有數(shù)學思維和工具能力是不夠的，必須對所研究問題能夠從宏觀到微觀科學思維并流程化——分解觀察、測量、表達、計算、證明的步驟，才能對具體現(xiàn)象或問題做出實證或證偽。在XX科學的討論中，經(jīng)常看到很多教授、博導并不具備合格的科學研究思維，依然是用語言文字表達為主的識字思考型思維泛泛而談，用語文思想理論(這種理論并非科學理論)來思維、討論，甚至寫論文。

在非科學研究領域，即不采用嚴格數(shù)學工具的研究范式的學術研究領域，數(shù)學工具也有其應用，此處不作解讀(詳情請期待拙著《數(shù)據(jù)資源概述》和《數(shù)據(jù)簡化技術》)。綜合來說，數(shù)學工具在科學研究和學術研究中，都有舉足輕重的應用和作用。下面，我們從三大方面來綜述數(shù)學體系分支。

I. 數(shù)學體系分支概述

最早的數(shù)學是算術。算術是數(shù)學中最古老、最基礎和最初等的部分。它研究數(shù)的性質(zhì)及其運算，是研究自然數(shù)(正整數(shù))、分數(shù)、小數(shù)的簡單性質(zhì)，及其加、減、乘、除、乘方、開方運算法則的一門學科。“算術”這個詞，在我國古代是全部數(shù)學的統(tǒng)稱。至于幾何、代數(shù)等許多數(shù)學分支學科的名稱，都是后來很晚的時候才有的。但西方則由算術進一步發(fā)展起整數(shù)論和代數(shù)學，加之對無窮、極限的思考和形式化表達，進而走向近世代數(shù)等更加抽象、多樣、完備的數(shù)學體系。

比如，人類從學會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。西方數(shù)學分支(The Branches of Mathematicsby Western)由此展開，逐漸把中國數(shù)學遠遠超越到落后地區(qū)。中國數(shù)學研究圈子止步于實用主義，受制于大的文化背景和學術環(huán)境限制，無法理論突破和創(chuàng)造性地做學問、做研究，變成了只有看到西方數(shù)學成果而后，才去學習追趕的份。另外，數(shù)學教育也是實用主義和脫離實際，導致無法做純理論研究和提不起興趣。時至今日，中國依然沒有專業(yè)領域圈子導向的學術交流和科學研究土壤。

又比如，當今非常火的人工智能的三個分支：認知、機器學習、深度學習。其中代表性的機器學習，是一門集概率論、線性代數(shù)、數(shù)值計算、優(yōu)化理論和計算機科學等多個領域的交叉學科。如果在本科及之前，沒有學習概念、記公式、解體數(shù)學知識、做數(shù)學證明，那么在本科或研究生階段就很難理解或應用機器學習方法，從現(xiàn)實任務出發(fā)，在短時間內(nèi)使用概率與統(tǒng)計、線性代數(shù)和凸優(yōu)化等數(shù)學基礎知識做出機器學習系統(tǒng)。還有人工智能數(shù)學基礎——最優(yōu)化方法，人工智能的目標就是最優(yōu)化：在復雜環(huán)境與多體交互中做出最優(yōu)決策。幾乎所有的人工智能問題最后都會歸結(jié)為一個優(yōu)化問題的求解，因而最優(yōu)化理論是人工智能必備的基礎知識。

數(shù)學原本是很實實在在的理論學科——加減乘除平面立體幾何，很貼近自然事物和人類直觀思維，然而經(jīng)歷了多年的發(fā)展卻已經(jīng)變得越來越抽象，結(jié)果就是大多數(shù)人很難對數(shù)學的了解上升到更高水平。初等數(shù)學教育之后的高等數(shù)學教育，必須要有宏觀認知。

如果有人不相信數(shù)學是簡單的，那是因為他們沒有意識到人生有多復雜。——馮·諾依曼

簡單地說一下；高等數(shù)學中有“三低三高”之說，也就是指分析、代數(shù)和幾何三個分支。

其中，三低是指大學的基礎課程，

分析主要指數(shù)學分析(包括實數(shù)理論、微積分理論、級數(shù)理論、微分方程等)，

代數(shù)主要指高等代數(shù)(包括多項式理論、矩陣理論、向量空間、線性空間等)，

幾何主要指空間解析幾何(包括投影幾何、仿射幾何等)；

三高是指對應三個基礎方面的提高性研究，

分析包括實分析、復分析、泛函分析等，

代數(shù)包括抽象代數(shù)(群、環(huán)、域等)還有一些特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，

幾何主要指拓撲學以及利用分析和代數(shù)理論為工具研究的拓撲空間(如微分幾何、黎曼幾何等等、辛幾何等等)。

三高三低的說法大致可以反映高等數(shù)學教學的一些概況，當也不完全合適。到了三高部分，各自的特色已經(jīng)不那么明顯了。現(xiàn)代數(shù)學研究呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)和分析兩大特色，在很多不同的領域都可以交叉使用。分析中融入了代數(shù)工具，如泛函空間也可以看作是代數(shù)空間。代數(shù)研究中也常采用分析的方法，如解析數(shù)論。而對幾何的研究更是建立在空間的基礎上用分析的手段來處理。

針對提出的問題；

高等幾何：研究包括空間圖形的數(shù)學形式的確定(如空間曲面的表示等)、空間圖形變換(也就是數(shù)學形式的變換)關系，其中變換有很多種。

群論基礎：群的概念是抽象代數(shù)(也叫近世代數(shù))最基本的概念之一，群論研究的是群的結(jié)構(gòu)形式和不同群之間的相互關系，如什么樣的代數(shù)可以構(gòu)成群，群的元素個數(shù)，子群及其關系，群的同構(gòu)等。

拓撲學：簡單地講就是研究連續(xù)變換下的不變量，展開來講就比較復雜了。

微分幾何：看名字就知道干嗎了。就是借助微分研究幾何，在微分幾何中，變量的概念會從傳統(tǒng)的標量、向量、泛函被推廣到＂流形＂組合數(shù)學：包括三個方面，組合分析、組合記數(shù)、組合設計。高中學的排列組合就是屬于組合記數(shù)的內(nèi)容。

總之，數(shù)學說難很難，說不難也不是很難。數(shù)學的學習有著嚴格的邏輯關系，基礎不好后面的課程是根本學不好的。要想學后后續(xù)深入的課程必須把基礎打好，很多艱深的數(shù)學最后都是要化歸到基礎的微積分、線性代數(shù)來解決。

但不論國內(nèi)還是國外知名高校，每個學校的安排都不會一樣！~數(shù)學專業(yè)各個方向的所學也不一樣，包括應用數(shù)學型學院校，數(shù)學各方向都有的全球大學鳳毛麟角。一般的學校，

大一：高等代數(shù)，數(shù)學分析，解析幾何；

大二：常微分方程，偏微分方程，變分法；實變函數(shù)，復變函數(shù)，泛函分析；近世代數(shù)，空間解析幾何，微分幾何，C語言或偽語言；

大三：數(shù)學物理方程，拓撲學，運籌學，微分幾何；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)學模型，數(shù)學分析，數(shù)值分析，數(shù)值逼近，數(shù)值代數(shù)，微分方程數(shù)值解，概率論基礎，數(shù)理統(tǒng)計，時間序列分析；

大四：概率論與數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)據(jù)分析，運籌學，離散數(shù)學，隨機過程之類的等等，自己選擇。

高等數(shù)學不是數(shù)學的專業(yè)課，一般是非數(shù)學類的所學，里面包含了微積分，解析幾何，常微分等內(nèi)容，比較概括，只注重計算。

數(shù)學分析是數(shù)學類基礎課，主要內(nèi)容是微積分之類的，比高等數(shù)學講得要深，既要掌握定理證明，也注重計算能力。

線性代數(shù)是非數(shù)學類開的課程，高等代數(shù)是數(shù)學類專業(yè)課程，它比線性代數(shù)內(nèi)容要深，兩門課都是講矩陣，線性方程組等內(nèi)容。

數(shù)學中的許多計算是非常繁瑣的，特別是函數(shù)的作圖費時又費力，而且所畫的圖形很不規(guī)范，所以現(xiàn)在流行用三大數(shù)學軟件Mathematica和MATLAB、Maple來幫助研究者做數(shù)學處理。

下面，我們介紹一下最簡單的數(shù)學體系分支。

1..數(shù)學史

2..數(shù)理邏輯與數(shù)學基礎

a.. 演繹邏輯學亦稱符號邏輯學

b.. 證明論亦稱元數(shù)學

c.. 遞歸論

d.. 模型論

e.. 公理集合論

f.. 數(shù)學基礎

g.. 數(shù)理邏輯與數(shù)學基礎其他學科

3..數(shù)論

a.. 初等數(shù)論

b.. 解析數(shù)論

c.. 代數(shù)數(shù)論

d.. 超越數(shù)論

e.. 丟番圖逼近

f.. 數(shù)的幾何

g.. 概率數(shù)論

h.. 計算數(shù)論

i.. 數(shù)論其他學科

4..代數(shù)學

a.. 線性代數(shù)

b.. 群論

c.. 域論

d.. 李群

e.. 李代數(shù)

f.. Kac-Moody代數(shù)

g.. 環(huán)論包括交換環(huán)與交換代數(shù)，結(jié)合環(huán)與結(jié)合代數(shù)，非結(jié)合環(huán)與非結(jié)

合代數(shù)等

h.. 模論

i.. 格論

j.. 泛代數(shù)理論

k.. 范疇論

l.. 同調(diào)代數(shù)

m.. 代數(shù)K理論

n.. 微分代數(shù)

o.. 代數(shù)編碼理論

p.. 代數(shù)學其他學科

5..代數(shù)幾何學

6..幾何學

a.. 幾何學基礎

b.. 歐氏幾何學

c.. 非歐幾何學包括黎曼幾何學等

d.. 球面幾何學

e.. 向量和張量分析

f.. 仿射幾何學

g.. 射影幾何學

h.. 微分幾何學

i.. 分數(shù)維幾何

j.. 計算幾何學

k.. 幾何學其他學科

7..拓撲學

a.. 點集拓撲學

b.. 代數(shù)拓撲學

c.. 同倫論

d.. 低維拓撲學

e.. 同調(diào)論

f.. 維數(shù)論

g.. 格上拓撲學

h.. 纖維叢論

i.. 幾何拓撲學

j.. 奇點理論

k.. 微分拓撲學

l.. 拓撲學其他學科

8..數(shù)學分析

a.. 微分學

b.. 積分學

c.. 級數(shù)論

d.. 數(shù)學分析其他學科

9..非標準分析

10..函數(shù)論

a.. 實變函數(shù)論

b.. 單復變函數(shù)論

c.. 多復變函數(shù)論

d.. 函數(shù)逼近論

e.. 調(diào)和分析

f.. 復流形

g.. 特殊函數(shù)論

h.. 函數(shù)論其他學科

11..常微分方程

a.. 定性理論

b.. 穩(wěn)定性理論

c.. 解析理論

d.. 常微分方程其他學科

12..偏微分方程

a.. 橢圓型偏微分方程

b.. 雙曲型偏微分方程

c.. 拋物型偏微分方程

d.. 非線性偏微分方程

e.. 偏微分方程其他學科

13..動力系統(tǒng)

a.. 微分動力系統(tǒng)

b.. 拓撲動力系統(tǒng)

c.. 復動力系統(tǒng)

d.. 動力系統(tǒng)其他學科

14..積分方程

15..泛函分析

a.. 線性算子理論

b.. 變分法

c.. 拓撲線性空間

d.. 希爾伯特空間

e.. 函數(shù)空間

f.. 巴拿赫空間

g.. 算子代數(shù)

h.. 測度與積分

i.. 廣義函數(shù)論

j.. 非線性泛函分析

k.. 泛函分析其他學科

16..計算數(shù)學

a.. 插值法與逼近論

b.. 常微分方程數(shù)值解

c.. 偏微分方程數(shù)值解

d.. 積分方程數(shù)值解

e.. 數(shù)值代數(shù)

f.. 連續(xù)問題離散化方法

g.. 隨機數(shù)值實驗

h.. 誤差分析

i.. 計算數(shù)學其他學科

17..概率論

a.. 幾何概率

b.. 概率分布

c.. 極限理論

d.. 隨機過程包括正態(tài)過程與平穩(wěn)過程、點過程等

e.. 馬爾可夫過程

f.. 隨機分析

g.. 鞅論

h.. 應用概率論具體應用入有關學科

i.. 概率論其他學科

18..數(shù)理統(tǒng)計學

a.. 抽樣理論包括抽樣分布、抽樣調(diào)查等

b.. 假設檢驗

c.. 非參數(shù)統(tǒng)計

d.. 方差分析

e.. 相關回歸分析

f.. 統(tǒng)計推斷

g.. 貝葉斯統(tǒng)計包括參數(shù)估計等

h.. 試驗設計

i.. 多元分析

j.. 統(tǒng)計判決理論

k.. 時間序列分析

l.. 數(shù)理統(tǒng)計學其他學科

19..應用統(tǒng)計數(shù)學

a.. 統(tǒng)計質(zhì)量控制

b.. 可靠性數(shù)學

c.. 保險數(shù)學

d.. 統(tǒng)計模擬

20..應用統(tǒng)計數(shù)學其他學科

21..運籌學

a.. 線性規(guī)劃

b.. 非線性規(guī)劃

c.. 動態(tài)規(guī)劃

d.. 組合最優(yōu)化

e.. 參數(shù)規(guī)劃

f.. 整數(shù)規(guī)劃

g.. 隨機規(guī)劃

h.. 排隊論

i.. 對策論亦稱博弈論

j.. 庫存論

k.. 決策論

l.. 搜索論

m.. 圖論

n.. 統(tǒng)籌論

o.. 最優(yōu)化

p.. 運籌學其他學科

22..組合數(shù)學

23..模糊數(shù)學

24..應用數(shù)學具體應用入有關學科

25..數(shù)學其他學科

最后，推薦幾本數(shù)學書籍。①《數(shù)學》([英] 蒂莫西·高爾斯所著)，傳達主流數(shù)學的魅力，揭開數(shù)與空間的神秘面紗。從哲學高度展示數(shù)學思維方式，啟示你如何抽象思考。劍橋大學數(shù)學教授，“數(shù)學界諾貝爾獎”——菲爾茨獎得主蒂莫西·高爾斯著，中國科學院院士、著名數(shù)學學者李大潛推薦。②《數(shù)學指南--實用數(shù)學手冊》(埃伯哈德·蔡德勒等編；李文林等譯)，一部暢銷歐美的數(shù)學手冊，內(nèi)容全面而豐富，涵蓋分析學、代數(shù)學、幾何學、數(shù)學基礎、變分法與優(yōu)化、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、計算數(shù)學與科學計算、數(shù)學分析等。③《代數(shù)的歷史》(J,Derbyshir)，代數(shù)之法，無論何數(shù)，皆可以任何記號代之。代數(shù)學最大的特點：引入了未知數(shù)，建立方程，對未知數(shù)加以運算。伽羅瓦群論(group)代數(shù)的范疇：算數(shù)初等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学体系概述、主要分支、学科分类(MSC)、构成联系和应用数学简介的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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