試題 歷屆試題 包子湊數(shù)

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0x00 問題描述

小明幾乎每天早晨都會在一家包子鋪吃早餐。他發(fā)現(xiàn)這家包子鋪有N種蒸籠，其中第i種蒸籠恰好能放Ai個包子。每種蒸籠都有非常多籠，可以認(rèn)為是無限籠。

每當(dāng)有顧客想買X個包子，賣包子的大叔就會迅速選出若干籠包子來，使得這若干籠中恰好一共有X個包子。比如一共有3種蒸籠，分別能放3、4和5個包子。當(dāng)顧客想買11個包子時，大叔就會選2籠3個的再加1籠5個的（也可能選出1籠3個的再加2籠4個的）。

當(dāng)然有時包子大叔無論如何也湊不出顧客想買的數(shù)量。比如一共有3種蒸籠，分別能放4、5和6個包子。而顧客想買7個包子時，大叔就湊不出來了。

小明想知道一共有多少種數(shù)目是包子大叔湊不出來的。
輸入格式
　　第一行包含一個整數(shù)N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一個整數(shù)Ai。(1 <= Ai <= 100)
輸出格式
　　一個整數(shù)代表答案。如果湊不出的數(shù)目有無限多個，輸出INF。
樣例輸入

2 4 5

樣例輸出

6

樣例輸入

2 4 6

樣例輸出

INF

樣例說明
　　對于樣例1，湊不出的數(shù)目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
　　對于樣例2，所有奇數(shù)都湊不出來，所以有無限多個。
數(shù)據(jù)規(guī)模和約定
　　峰值內(nèi)存消耗（含虛擬機(jī)） < 256M
　　CPU消耗 < 1000ms
　　請嚴(yán)格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入…” 的多余內(nèi)容。

0x01思路

這題和之前做過的題目：買不到的數(shù)目 可以說是一種類型的題目。
（做題目就是那么奇妙，感覺這題不就是之前做過的題目原題嗎？
問法不一樣了而已。所以，秒A了這題~）

情況1：湊不出的數(shù)目為無限多個

對于INF的情況，由做買不到的數(shù)目時的經(jīng)驗可知：
當(dāng)所有的ai的gcd不為1時，湊不出的數(shù)目有無限多個。（做題經(jīng)驗很有用哈~，具體證明我就…）

情況2：湊不出的數(shù)目為有限多個

定義狀態(tài)dp[i]為i是否可以由已知的數(shù) 拼湊到：
dp[i] = 1:表示可以；
dp[i] = 0:表示不可以；

用a[]保存已知的數(shù)，

那么對于一個數(shù) i:
它可能由:(i-a[j])+a[j]得到，并且此時i > a[j]；
邊界：dp[a[j]] = 1；
即的到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]],i > a[j]

然后只需要只需外層枚舉i,內(nèi)層枚舉a[j]即可。

現(xiàn)在和上面提到的題目買不到的數(shù)目 有相同的問題，就是確定i的上界：

為了快速AC,我沒有深入思考上界具體是多少,

直接根據(jù)做題經(jīng)驗，根據(jù)題目數(shù)據(jù)范圍:N,ai <= 100，只有兩層循環(huán)，內(nèi)層極端是100，所以可以估計 外層i 不會超過1e4。
（我是按計算不超過1e6粗略估計的，當(dāng)然可以適當(dāng)再大一點點。。）

事實證明我估計的還是能夠水過測試數(shù)據(jù)~

i的上界具體為多少？

我AC后，也有思考并且測試：

lcm(a[i])

lcm(a[i]) - sum(a[i])

這兩種是我的猜測，但是測試后并不對。

所以我暫且將此題告落。

ps : 如果有幸讓大佬看到這篇博客，并且知道 i的上界具體值的確定方法，可以給我留言哦，謝了~

0x02代碼

#include <iostream> const int N = 1e6+2; const int MAX = 1e3+5; using namespace std; int a[MAX]; int dp[N]; int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a; } int main() {int n;cin>>n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin>>a[i];dp[a[i]] = 1;}int tmp = gcd(a[1],a[2]);for(int i = 3; i <= n; ++i){tmp = gcd(tmp,a[i]);}if(tmp != 1){cout<<"INF"<<endl;}else{for(int i = 1; i <= 1e4; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j){if(dp[i]) break;if(i > a[j])dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]];}}int ans = 0;for(int i = 1; i <= 1e4; ++i){//if(!dp[i]) cout<<i<<endl;ans += !dp[i];}cout<<ans<<endl;}return 0; }

總結(jié)

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