奇異值分解(Singular Value Decomposition，以下簡稱SVD)是在機器學習領域廣泛應用的算法，它不光可以用于降維算法中的特征分解，還可以用于推薦系統，以及自然語言處理等領域。是很多機器學習算法的基石。本文就對SVD的原理做一個總結，并討論在在PCA降維算法中是如何運用運用SVD的。

1. 回顧特征值和特征向量

首先回顧下特征值和特征向量的定義如下：
$$Ax=\lambda x$$
其中$A$是一個$n\times n$矩陣，$x$是一個$n$維向量，則$\lambda$是矩陣$A$的一個特征值，而$x$是矩陣$A$的特征值$\lambda$所對應的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好處呢？ 就是我們可以將矩陣A特征分解。如果我們求出了矩陣A的n個特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$ ，以及這$n$個特征值所對應的特征向量$w_1,w_2,...,w_n$，

那么矩陣A就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{?1}$$

其中$W$是這$n$個特征向量所張成的$n\times n$維矩陣，而$\Sigma$為這$n$個特征值為主對角線的$n\times n$維矩陣。

一般我們會把$W$的這$n$個特征向量標準化，即滿足${\Vert w_i\Vert }_2=1$，或者$\Vert w_i^T{w}_i\Vert =1$，此時W的$n$個特征向量為標準正交基，滿足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{?1}$，也就是說W為酉矩陣。

這樣我們的特征分解表達式可以寫成
$$A=W\Sigma W^T$$
注意到要進行特征分解，矩陣A必須為方陣。

那么如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進行分解嗎？答案是可以，此時我們的SVD登場了。

SVD的定義

SVD也是對矩陣進行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個m×n的矩陣，那么我們定義矩陣A的SVD為：
$$A=U\Sigma V^T$$

其中$U$是一個$m\times m$的矩陣， $\Sigma$是一個$n\times n$的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值， $V$是一個$n\times n$的矩陣。$U$和$V$都是酉矩陣，即滿足
$$U^{T}U=I,V^{T}V=I$$
下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：

那么我們如何求出SVD分解后的$U$,$\Sigma$,$V$這三個矩陣呢？

如果我們將$A$的轉置和$A$做矩陣乘法，那么會得到$n\times n$的一個方陣$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$

這樣我們就可以得到矩陣$A^{T}A$的$n$個特征值和對應的$n$個特征向量$v$了。將$A^{T}A$的所有特征向量張成一個$n\times n$的矩陣$V$，就是我們SVD公式里面的$V$矩陣了。一般我們將$V$中的每個特征向量叫做$A$的右奇異向量。

如果我們將$A$和$A$的轉置做矩陣乘法，那么會得到$m\times m$的一個方陣$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：

$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
這樣我們就可以得到矩陣$A{A}^T$的$m$個特征值和對應的$m$個特征向量$u$了。將$A{A}^T$的所有特征向量張成一個$m\times m$的矩陣$U$，就是我們SVD公式里面的$U$矩陣了。一般我們將$U$中的每個特征向量叫做A的左奇異向量。

$U$和$V$我們都求出來了，現在就剩下奇異值矩陣$\Sigma$沒有求出了.

由于$\Sigma$除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值$\sigma$就可以了。

我們注意到:
$$A=U\Sigma V^T?AV=U\Sigma V^{T}V?AV=U\Sigma ?A{v}_i={\sigma }_i?{\sigma }_i=A{v}_i/u_i$$

這樣我們可以求出我們的每個奇異值，進而求出奇異值矩陣$\Sigma$。

上面還有一個問題沒有講，就是我們說$A^{T}A$的特征向量組成的就是我們SVD中的$V$矩陣，而$A{A}^T$的特征向量組成的就是我們SVD中的$U$矩陣，這有什么根據嗎？這個其實很容易證明，我們以$V$矩陣的證明為例。
$$A=U\Sigma V^T?A^T=V\Sigma U^T?A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$$
上式證明使用了$U^{T}U=I,{\Sigma }^T=\Sigma$。可以看出$A^{T}A$的特征向量組成的的確就是我們SVD中的$V$矩陣。類似的方法可以得到$A{A}^T$的特征向量組成的就是我們SVD中的$U$矩陣。

進一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等于奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關系：
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

這樣也就是說，我們可以不用${\sigma }_i=\frac{A{V}_i}{u_i}$來計算奇異值，也可以通過求出$A^{T}A$的特征值取平方根來求奇異值。

3. SVD計算舉例

這里我們用一個簡單的例子來說明矩陣是如何進行奇異值分解的。我們的矩陣A定義為：

data=np.array(([0, 1],[1, 1],[1, 0])) #array([[0, 1], # [1, 1], # [1, 0]])

求出$A^{T}A$和$A{A}^T$

np.dot(data.T, data) array([[2, 1],[1, 2]])np.dot(data, data.T) array([[1, 1, 0],[1, 2, 1],[0, 1, 1]])

進而求出$A^{T}A$的特征值和特征向量：

val, vector = np.linalg.eig(np.dot(data.T, data)) val array([3., 1.]) vector array([[ 0.70710678, -0.70710678],[ 0.70710678, 0.70710678]])

接著求出$A{A}^T$的特征值和特征向量：

val, vector = np.linalg.eig(np.dot(data, data.T)) val array([ 3., 1., -0.]) vector vector array([[-0.40824829, 0.70710678, 0.57735027],[-0.81649658, 0. , -0.57735027],[-0.40824829, -0.70710678, 0.57735027]])

利用$A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求奇異值：

也可以用${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇異值為$\sqrt{3}$和$1$.

np.sqrt(val)

最終得到A的奇異值分解為：

4. SVD的一些性質

對于奇異值,它跟我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。

也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。

也就是說：

$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$
其中$k$要比$n$小很多，也就是一個大的矩陣$A$可以用三個小的矩陣$U_{m\times k}，{\Sigma }_{k\times k}，V_{k\times n}$來表示。如下圖所示，現在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

由于這個重要的性質，SVD可以用于PCA降維，來做數據壓縮和去噪。也可以用于推薦算法，將用戶和喜好對應的矩陣做特征分解，進而得到隱含的用戶需求來做推薦。同時也可以用于NLP中的算法，比如潛在語義索引（LSI）。

下面我們就對SVD用于PCA降維做一個介紹。

5. SVD用于PCA

PCA降維，需要找到樣本協方差矩陣$X{X}^T$的最大的$d$個特征向量，然后用這最大的$d$個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維。可以看出，在這個過程中需要先求出協方差矩陣$X^{T}X$，當樣本數多樣本特征數也多的時候，這個計算量是很大的。

注意到我們的SVD也可以得到協方差矩陣$X^{T}X$最大的$d$個特征向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現算法可以不求先求出協方差矩陣$X^{T}X$，也能求出我們的右奇異矩陣$V$。也就是說，我們的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的實現就是用的SVD，而不是我們我們認為的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？

假設我們的樣本是$m\times n$的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣$X{X}^T$最大的$d$個特征向量張成的$m\times d$維矩陣$U$，則我們如果進行如下處理：
$$x_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$
可以得到一個$d\times n$的矩陣$X^{\prime }$,這個矩陣和我們原來的$m\times n$維樣本矩陣$X$相比，行數從$m$減到了$k$，可見對行數進行了壓縮。

左奇異矩陣可以用于行數的壓縮。

右奇異矩陣可以用于列數即特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。

6. SVD小結

SVD作為一個很基本的算法，在很多機器學習算法中都有它的身影，特別是在現在的大數據時代，由于SVD可以實現并行化，因此更是大展身手。

SVD的缺點是分解出的矩陣解釋性往往不強，有點黑盒子的味道，不過這不影響它的使用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转】奇异值分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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