一、飛機(jī)運(yùn)動方程分析 二、線性化的基本步驟 三、縱向運(yùn)動線性小擾動模型 四、橫航向運(yùn)動線性小擾動模型 五、參考文獻(xiàn)

一、飛機(jī)運(yùn)動方程分析

要描述一個飛機(jī)的飛行狀態(tài)，我們通常需要9個狀態(tài)變量，即：

即飛機(jī)的飛行速度

，滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率以及航向角速率 ，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角以及偏航角 。

其中航向角

不影響受力分析，這個也很容易理解，假設(shè)你在一塊很大的平地上騎自行車，而且沒有風(fēng)，那往哪個方向騎，都應(yīng)該是一樣費(fèi)力的，如下圖所示。

因此，對于飛機(jī)的飛行力學(xué)方程而言，我們只需要搞定剩余8個狀態(tài)變量即可。

說完?duì)顟B(tài)變量，我們再來分析一下控制變量。在文章J Pan：飛機(jī)是怎么飛起來的 我們介紹了，飛機(jī)的控制主要通過三個主舵面來完成：升降舵控制飛機(jī)俯仰運(yùn)動；副翼控制飛機(jī)的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動；方向舵控制飛機(jī)的航向運(yùn)動。也就是說通過舵面的偏轉(zhuǎn)量可以控制飛機(jī)的姿態(tài)，這三個控制變量用

來表示，其中 為副翼（aileron）偏轉(zhuǎn)量， 為升降舵（elevator）偏轉(zhuǎn)量， 為方向舵（rudder）偏轉(zhuǎn)量。

除此之外，我們還需要一個重要的控制變量，那就是發(fā)動機(jī)的油門（Throttle），我們用

表示。

總結(jié)一下就是飛機(jī)可以通過如下變量定義其飛行運(yùn)動：

狀態(tài)變量為：

控制變量為：

那飛機(jī)運(yùn)動方程具體是什么樣呢？在文章J Pan：如何獲得飛機(jī)運(yùn)動方程 我們給出了飛機(jī)三個方向的力平衡方程如下：

以及力矩方程

看著就頭疼，是嗎？——實(shí)際上還會更頭疼，因?yàn)榭刂谱兞?

以及姿態(tài)角 體現(xiàn)在方程右側(cè)的力 以及力矩 里面，如果展開的話，形式會更復(fù)雜。這個方程組不僅僅看著復(fù)雜，而且是嚴(yán)重非線性的，是無法得到解析解的，這也給我們預(yù)估飛機(jī)的飛行特性帶來很大的困難。

那怎么辦呢？——無它，簡化而已。后面我們將主要進(jìn)行方程簡化的思路和邏輯，為使精力都集中在關(guān)鍵點(diǎn)，我們先將先將前面飛機(jī)運(yùn)動方程改寫成形式：

簡化的方式是利用泰勒展開，核心思想是抓大放小，如下圖所示：

圖片來源：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784

就像素描一樣，最關(guān)鍵的一步是輪廓的搭建（樹干），也就是確定各個部位的大致的空間分布，在此基礎(chǔ)上再逐步刻畫細(xì)節(jié)（枝葉）。比如，按照泰勒公式，我們可以把指數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)的形式：

而研究冪級數(shù)要比要就超越函數(shù)

要簡單多了。關(guān)于泰勒公式的理解，推薦文章怎樣更好地理解并記憶泰勒展開式？（作者原知乎用戶陳二喜）。顯然，冪級數(shù)的形式越高，刻畫越精細(xì)（見右側(cè)蒼老師），但是也越復(fù)雜；冪級數(shù)越低，刻畫約粗糙（見上圖左側(cè)），同時也越簡單。我們需要在簡約和精確之間找到一個平衡，幸運(yùn)的是，對于平飛的飛機(jī)而言，我們只保留線性項(xiàng)，就可以獲得比較滿意的結(jié)果，我們把這種方法稱之為小擾動模型或者增量式模型。

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二、線性化的基本步驟

對于非線性方程

我們通常很難獲得其解析解。那怎么研究其特性呢？不妨先用一個稍微簡單一點(diǎn)的函數(shù)研究一下，假如我們有如下非線性方程組：

這其實(shí)是一種生物界的進(jìn)化數(shù)學(xué)模型——競爭模型，主要研究在同一個自然環(huán)境中生存的兩個種群之間的競爭關(guān)系對其數(shù)量的影響，

代表兩個種群的數(shù)量。根據(jù)常識我們可以猜測，當(dāng)外界條件不變時，如果給定初始條件 ，那最終兩個種群的數(shù)量應(yīng)該趨于穩(wěn)定的。我們可以把 放在同一個坐標(biāo)軸上（也就是相圖（phase portrait））來觀察其相互變化關(guān)系，如下圖所示。

圖中

軸表示變量 ， 軸表示變量 ，軌跡代表矢量 變化情況，箭頭軌跡的切線反向，即 。從這個圖中可以看出很多有意思的事情：

• 圖中有四個點(diǎn)，分別為 , , 以及 。在這四個點(diǎn)上有 以及 ，也就是說，這四個點(diǎn)都是平衡點(diǎn)（equilibrium points），因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零，狀態(tài)不再發(fā)生變化；
• 點(diǎn) 與其他三個點(diǎn)又略有不同，因?yàn)樵谶@個點(diǎn)周圍，所有箭頭都指向它，也就時說在它周圍的所有點(diǎn)，最終都會收斂到穩(wěn)定點(diǎn) ；
• 根據(jù)箭頭所指示的軌跡方向，很容易得到：如果 ，則系統(tǒng)會穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會穩(wěn)定在點(diǎn)；如果 ，則系統(tǒng)會穩(wěn)定在點(diǎn)；
• 實(shí)際工程中，初始條件都不可能剛好為零，多少都會有擾動，因此，穩(wěn)定點(diǎn) 才是最經(jīng)常碰到的。

在很多情況下，我們更感興趣的是系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)下受到擾動時的動態(tài)行為，如果我們把相圖（phase portrait）在平衡點(diǎn)附近放大，可以得到：

那怎么來研究這個區(qū)域的性質(zhì)呢？——這個時候我們最簡單的方法就是進(jìn)行線性化（linearization），也就是多元泰勒展開，只保留線性項(xiàng)。

對于飛機(jī)而言，穩(wěn)定點(diǎn)（stable point）或平衡點(diǎn)（equilibrium point）稱之為配平狀態(tài)，運(yùn)動方程的線性化就是在配平狀態(tài)進(jìn)行泰勒展開，具體實(shí)施方式如下：

第一步：

找到配平狀態(tài)，按照之前的定義，也就是求解

，即求解 ,得到飛機(jī)的配平狀態(tài) 以及對應(yīng)的控制量 。

第二步：

考慮到在配平狀態(tài)有一個小的擾動，

也就是

帶入到微分方程就可以得到：

將微分方程展開，就可以得到：

對于配平狀態(tài)，有

忽略高次項(xiàng)，就可以得到線性小擾動方程組：

注意，此時的狀態(tài)變量已經(jīng)發(fā)生了變化，由

變成了增量 ，控制量也由 變成了增量 。

好了，鋪墊結(jié)束，我們來看一下具體到飛機(jī)上是怎么處理的。在文章J Pan：如何獲得飛機(jī)運(yùn)動方程 我們介紹了，除偏航角

之外，剩余8個狀態(tài)變量是之間相互耦合在一起的，處理起來還是比較麻煩。通常采取的方法是，將這8個狀態(tài)變量分為相對耦合性最小的兩組運(yùn)動：縱向運(yùn)動和橫航向運(yùn)動。

其中縱向方程組為一個旋轉(zhuǎn)，兩個平動，變量為

：

橫航向?yàn)閮蓚€旋轉(zhuǎn)，一個平動，變量為

：

接下來我們就分別對這兩組方程線性化。

---

三、縱向運(yùn)動線性小擾動模型

3.1 擾動量為

我們先將縱向方程組改寫成如下形式：

式中

表示在穩(wěn)定性坐標(biāo)系下，飛機(jī)在 軸方向上收到的外力，包括氣動力的合力在 軸分量信息 以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時 均為除以飛機(jī)質(zhì)量 以后的值），其中氣動力信息 又可以分為升力信息 以及阻力信息 。注意由于歷史原因， 有時候表示升力信息，有時候表示繞 軸力矩信息，需要根據(jù)上下文區(qū)分。 的意義和 類似。

當(dāng)然，這樣寫太復(fù)雜了，其輸入和輸出之間的關(guān)系可簡要寫成如下形式：

然后可進(jìn)一步簡化書寫形式：

其狀態(tài)變量和控制變量分別為：

其配平狀態(tài)和擾動分別為：

,

,

根據(jù)常識，我們能做如下判斷，飛機(jī)平飛（level flight）時是一種配平狀態(tài)，此時有：

,

把以上代入縱向運(yùn)動方程組，具體過程就不說了，得到縱向小擾動方程組為：

其中形如

的量表示氣動力（或力矩）對擾動的導(dǎo)數(shù)，簡稱氣動導(dǎo)數(shù)，取決于飛機(jī)的氣動系數(shù)，比如升力系數(shù)和阻力系數(shù)，是由飛機(jī)本身特性決定的，一般可通過吹風(fēng)得到，這些導(dǎo)數(shù)都有明確的物理意義，是決定飛機(jī)飛行特性最重要的參數(shù)，感興趣可以查看參考文獻(xiàn)1，里面對每個導(dǎo)數(shù)都有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

此時的控制變量已經(jīng)變成了：

這個矩陣?yán)锩娴臄?shù)表示控制變量在一定擾動下，氣動力和力矩的變化情況。

前面我們進(jìn)行線性化的時候，我們把氣動力和力矩（

）對于擾動 進(jìn)行展開時只保留了線性項(xiàng)，這樣做一般精度也是可以的。實(shí)際上呢，對于變量 （代表攻角信息）而言，其二次項(xiàng)也有較大影響，所以，如果想要模型更加準(zhǔn)確，需增加對 的二次導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，其中 一般比較小，可忽略。這樣就需要對之前的線性方程組進(jìn)行修正，即：

其中

為

則可以得到更新后的矩陣為：

比如對于波音747飛機(jī)而言，在標(biāo)準(zhǔn)海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時

）時，縱向其氣動導(dǎo)數(shù)如下（單位為英制）：

則帶入到矩陣

就可以得到如下矩陣：

我們簡要分析一下這個矩陣，這是一個4階矩陣，特征根有4個，具體是怎么分布的呢？令

進(jìn)過計(jì)算可以得到，矩陣

的4個特征根為兩組共軛根：

其中

為實(shí)部， 為虛部，對應(yīng)的阻尼比為：

兩個模態(tài)的無阻尼固有頻率為：

則兩個模態(tài)對應(yīng)的周期為：

可見，對于縱向運(yùn)動擾動，有兩個模態(tài)：

• 一個模態(tài)周期短，稱之為短周期運(yùn)動（short period），其阻尼一般比較大；
• 一個模態(tài)周期長，稱之為長周期運(yùn)動（phugoid），其阻尼一般比較小；

3.2 狀態(tài)變量為

當(dāng)然，很多時候我們才會采取其他的狀態(tài)變量，比如說，把攻角的擾動量作為一個狀態(tài)變量。

上圖展示了攻角、側(cè)滑角與相對風(fēng)速及其分量的關(guān)系。

不難發(fā)現(xiàn)，攻角的的增量

與 軸的速度增量 近似成線性關(guān)系，即：

同時還可以得到，側(cè)滑角的的增量

與 軸的速度增量 近似成線性關(guān)系，即：

所以，以速度增量

為狀態(tài)變量，和以攻角及側(cè)滑角 基本是一回事。當(dāng)然，氣動導(dǎo)數(shù)也需要相應(yīng)變化

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四、橫航向運(yùn)動線性小擾動模型

4.1 狀態(tài)變量為

橫航向?yàn)閮蓚€旋轉(zhuǎn)，一個平動，變量為

：

通常來說呢，

相比于 和 要小很多，我們可以先暫時將其忽略，然后將方程改寫成如下形式：

式中

表示在穩(wěn)定性坐標(biāo)系下，飛機(jī)在 軸方向上收到的外力，包括氣動力的合力在 軸分量信息以及重力分量信息 （為使參量歸一化，此時 均為除以飛機(jī)質(zhì)量 以后的值） 。注意由于歷史原因， 有時候表示升力，有時候表示繞 軸力矩，需要根據(jù)上下文區(qū)分。

表示氣動力在 軸和 軸方向產(chǎn)生的力矩，習(xí)慣用 和 表示。

其輸入和輸出之間的關(guān)系可簡要寫成如下形式：

然后可進(jìn)一步簡化書寫形式：

其狀態(tài)變量和控制變量分別為：

其配平狀態(tài)和擾動分別為：

,

,

根據(jù)常識，我們能做如下判斷，飛機(jī)平飛（level flight）時是一種配平狀態(tài)，此時有：

, ， ，

把以上代入可以得到縱向小擾動方程組為：

其中形如

的量表示氣動力（或力矩）對擾動導(dǎo)數(shù)，即氣動導(dǎo)數(shù)，一般可通過吹風(fēng)得到，感興趣可以查看參考文獻(xiàn)1。

這樣我們就獲得了縱橫向的運(yùn)動方。面前我們假設(shè)

相比于 和 要小很多，如果我們想更精確的話，也可以把這兩項(xiàng)加上，令

通過公式推導(dǎo)，可獲得修正矩陣如下：

這樣，完整的微分方程為：

這樣，修正后的矩陣

還是波音747飛機(jī)，在標(biāo)準(zhǔn)海平面條件下，以0.25馬赫平飛（此時

）時，其橫航向氣動導(dǎo)數(shù)如下（單位為英制）：

慣性矩之比為：

知道了

,通過計(jì)算可以得到，矩陣 的4個特征根為一組共軛根，兩個負(fù)實(shí)根，數(shù)值分別為：

• 對于一組共軛根，對應(yīng)的模態(tài)稱之為荷蘭滾模態(tài)（橫航向耦合模態(tài)）。其阻尼比為： ；無阻尼截止頻率為： ；周期為 。
• 對于負(fù)實(shí)根 ，對應(yīng)的的模態(tài)為翻滾模態(tài)，在這種模態(tài)下，飛機(jī)幾乎只有翻滾運(yùn)動；
• 對于負(fù)實(shí)根 ，對應(yīng)的的模態(tài)為螺旋模態(tài)，在這種模態(tài)下，飛機(jī)主要進(jìn)行偏航運(yùn)動，同時伴隨一個較小的翻滾運(yùn)動；

4.2 狀態(tài)變量為

同樣，對于橫航向運(yùn)動，我們也可以選擇側(cè)滑角擾動作為狀態(tài)變量，前面我們已經(jīng)說過：

當(dāng)然，橫航向的氣動導(dǎo)數(shù)也需要相應(yīng)變化。

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飛機(jī)的五種運(yùn)動模態(tài)是理解飛機(jī)運(yùn)動的重要概念，后面文章中還會就此展開。

五、參考文獻(xiàn)

Thomas R. Yechout. Introduction to Aircraft Flight Mechanics Performance, Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback Control. AIAA

David A. Caughey. Introduction to Aircraft Stability and Control，Course Notes for M&AE 5070. Cornell University

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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