主要內容：旋轉矩陣、變換矩陣、四元數、歐拉角

3.1 旋轉矩陣

3.1.1 點、向量和坐標系

• 剛體：三維空間中的物體，需要用三維坐標（xyz）和位姿（物體朝向）來描述
• 左/右手坐標系：將大拇指、食指、中指兩兩垂直，定義大拇指代表x軸，食指代表y軸，中指代表z軸；那么左手xyz三個方向合起來表示的即是左手坐標系，右手xyz三個方向合起來表示的即是右手坐標系；區別是，左手坐標系和右手坐標系對應的xyz軸，三軸不能同時重合

3.1.2 坐標系間的歐氏變換

• 世界坐標系/慣性坐標系：固定不動
• 移動坐標系：從世界坐標系看移動坐標系，會發現移動坐標系在世界坐標系中，原點會變化；而移動坐標系自己看自己，原點是不變的
• 剛體運動：兩個坐標系之間的運動，由旋轉加上平移組成
• 歐式變換：在世界坐標系下一個物體從一個點移動到另一個點的過程，由旋轉和平移組成
• 旋轉矩陣：旋轉前后坐標系的兩組基的內積構成的矩陣，描述了旋轉本身；旋轉矩陣是一個行列式為1的正交矩陣（充要）
• 平移矩陣：向量加減

3.1.3 變換矩陣與齊次坐標

變換并不是線性的，為了方便表示多次變換的結果，引入了矩陣的表示方法，即齊次坐標和變換矩陣，引入齊次坐標后，寫成矩陣形式，變換即為線性了

• 齊次坐標：在某個向量坐標末尾增加一個數值為1的維度，使其變成四維向量，該向量則被稱為齊次坐標
• 變換矩陣：包含旋轉和平移，使變換關系為線性的矩陣。變換矩陣是一個分塊矩陣，其左上角為旋轉矩陣，右上角為平移向量，左下角為0向量，右下角為1；自由度為6（前，右，上，旋轉，俯仰，偏航）

3.2 旋轉向量和歐拉角

由于旋轉矩陣用了4*4共16個數值來表達6個自由度之間的變換存在數據的冗余、旋轉矩陣自身帶有的行列式為1和正交的約束使得求解過程可能存在困難——從而引出了旋轉向量和歐拉角

3.2.1 旋轉向量

任意旋轉都可以用一個旋轉角和一個旋轉軸來刻畫，而旋轉向量正好包含了這兩個特性。

• 旋轉向量：向量方向與旋轉軸一致，向量長度等于旋轉角，是一個三維向量，用于描述旋轉
  假定存在一個單位向量n，此時向量具有一個方向，為旋轉軸的方向；假定旋轉角為θ，那么θn即可描述一次旋轉

• 變換矩陣的旋轉向量表示：使用一個旋轉向量和一個平移向量即可表示變換矩陣，表達一次旋轉

• 旋轉矩陣R和旋轉向量θn之間的相互計算：
  n -> R：
  R -> θ:
  
  旋轉軸n與R之間的關系：由于旋轉軸上的向量經過旋轉后不發生改變，則有Rn = n，因此轉軸n是矩陣R特征值1對應的特征向量

3.2.2 歐拉角

由于旋轉矩陣和旋轉向量的表述比較不直觀，為了直觀地表述旋轉究竟是怎么回事，歐拉角的概念被引入
大部分領域使用歐拉角時的定義（旋轉順序，旋轉方式）不一定相同

• 歐拉角：有三個分離的轉角，將一次旋轉分解成三次三個不同方向旋轉的總和
  存在多種分解方式：旋轉軸旋轉的先后順序（xyz, zyx, yzx等），繞固定軸旋轉還是繞最新旋轉的軸旋轉等
• 偏航（yaw）、俯仰（pitch）、翻滾（roll）
  偏航：繞物體Z軸旋轉得到
  俯仰：繞物體Y軸旋轉得到
  翻滾：繞物體X軸旋轉得到
• rpy角：一個膾炙人口的特定旋轉流程的歐拉角描述，rpy角旋轉順序是zyx

歐拉角的使用過程中會碰到一個萬向鎖問題。具體自行查閱。

3.3 四元數

旋轉矩陣用9個數值描述3個自由度的旋轉存在一定的冗余，而歐拉角和旋轉向量雖然緊湊但存在奇異性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的「SLAM」三维空间刚体运动名词笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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