對(duì)于一元二次方程

,我們由求根公式可得：

。

對(duì)于一元三次方程

,我們有卡爾丹公式法和盛金公式法。不過公式比較冗長(zhǎng)、不易計(jì)算，但我們還是有方法計(jì)算的，那么如果是一元四次、一元五次甚至更高呢？

遇到高次方程

我們通常的做法是先用試根法(the rational zero test)找到方程一個(gè)根c，然后根據(jù)Factor Theorem可知， 。于是，我們把P(x)次數(shù)降低了，只需要找 的根就可以了。如果次數(shù)還比較高，繼續(xù)采用試根法找根、降次，直至找到所有的根。

圖：試根法

這里給出一道例題：

根據(jù)試根法可知，根是100的因子，從1開始，發(fā)現(xiàn) 是方程的一個(gè)根，那么 。
接著又發(fā)現(xiàn) 是 的根，所以得到： 。
最后得到方程的解為 ,一共有2個(gè)有理數(shù)根，先C。

可以發(fā)現(xiàn)試根法是一種不錯(cuò)的求解高次方程的方法，但是比較繁瑣，需要找到根才能用，如果方程沒有實(shí)根，那么找根的難度就更大了。

下面分享兩道國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高次求根，拋磚引玉。

2018-美國(guó)區(qū)域聯(lián)賽(ARML)-Team Round-14

Compute the sum of the real roots of

.

這是一個(gè)一元六次方程，問題是要找到所有實(shí)數(shù)根的和，如果是所有根的和，那么直接用高次韋達(dá)定理就解決了，說明還是要把所有的根解出來(lái)的。第一道題采用整式合并的方法。

因?yàn)? ,所以 。
因?yàn)? 不是方程的根，所以兩邊可以同時(shí)除 ,可得 。
根據(jù)對(duì)稱性可知，如果 是方程的一個(gè)根，那么 也是方程的一個(gè)根，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為： 。

這道題雖然是一元六次方程但是發(fā)現(xiàn)可以通過完全立方公式化簡(jiǎn)合并，當(dāng)然這需要對(duì)公式有較為深刻的認(rèn)識(shí)。下面給出幾個(gè)常見的公式：

接下去再給出一道題

2016-杜克數(shù)學(xué)大會(huì)(DMM)-Individual Round-9

Find the root with the largest real part to

over the complex numbers.

根據(jù)代數(shù)基本定理一個(gè)四次方程應(yīng)該有4個(gè)根，而現(xiàn)在要在復(fù)根中找到實(shí)部最大的，說明我們要算出這些根然后進(jìn)行比較。第二道題采用整體代換的方法。

因?yàn)? 不是方程的根，所以兩邊同除以 可得： 。
令 ,
則 ,原式就變?yōu)?#xff1a; 。
這是一個(gè)一元二次方程，可用十字相乘法得到 。
于是得到兩個(gè)方程： 和 。
那么，可以解得 ,
發(fā)現(xiàn)都是實(shí)數(shù)根，所以最大的根為： 。

這里采用整體代換的方法把一個(gè)一元四次方程轉(zhuǎn)化成了一元二次方程，順利的求得了四個(gè)根，令

也是比較常見的代換技巧。一般的高次方程求解是比較困難的，不同的方程可能要采用不同的方法求解，不過試根法、整體代換等都是可以考慮。

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今年DMM中國(guó)區(qū)終選Team round第5題又出現(xiàn)了一道高次方程求解的問題。

2019-DMM中國(guó)區(qū)終選-Team Round-5

Find the real root of the polynomial .

這道題因?yàn)榭床怀鰧?duì)稱，不像上一題除以

就能看出來(lái)了，但是方法還是用了我們上述講的代換方法。令 ,則
因此，
于是，令 ,上式變?yōu)? ,因此 或 .

這里出題者應(yīng)該是先想好了要考

的代換，然后湊了一個(gè)整系數(shù)的高次方程，所以之后如果遇到高次方程不妨試試 。類似的，我們也可以把上述問題變?yōu)?#xff1a;Find the real root of the polynomial .

那么這里就要令

進(jìn)行代換了。

一己拙見，歡迎交流指正~~

更多關(guān)于國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)，可參閱：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/62918360?zhuanlan.zhihu.com

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的盛金公式解一元三次方程_【国际数学竞赛】高次方程求根的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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