現代控制理論中用狀態方程和輸出方程描述系統，輸入和輸出構成系統的外部變量，而狀態為系統的內部變量，這就存在著系統內的所有狀態是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統所有狀態變量的運動都可以由輸入來影響和控制而由任意的初態達到原點，則稱系統是可控的，或者更確切地是狀態可控的。否則，就稱系統是不完全可控的，或簡稱為系統不可控。相應地，如果系統所有狀態變量地任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統是狀態可觀測的，簡稱為系統可觀測。

例： 給定系統的動態方程為

將其表示為標量方程組的形式，有

這表明狀態變量X1和X2都可通過選擇控制量u而由始點達到原點，因而系統完全可控。但是，輸出y只能反映狀態變量X2，而與狀態變量x1既無直接關系也無間接關系，所以系統是不完全可觀測的。

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例：下圖所示網絡，設x1=Uc1，x2=Uc2,輸出y=x2。

當R1=R2,C1=C2且初始狀態x1(t0)=x2(t0)時，則不論將輸入U取為何種形式，對于所有t≥t0，只能是x1(t)≡x2(t)，不可能做到x1(t)≠x2(t)。也就是說，輸入u能夠做到使X1和x2同時轉移到任意相同的目標值，但不能將x1和x2分別轉移到不同的目標值。這表明此電路不完全可控，簡稱電路不可控。由于y=x1=x2，故系統可觀測。 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

1、可控性

考慮線性時變系統的狀態方程

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系統可控： 對于上式所示線性時變系統，如果狀態空間中的所有非零狀態都是在

時刻可控的，則稱系統在t0時刻是完全可控的，簡稱系統在t0時刻可控。若系統在所有時刻都是可控的，則稱系統是一致可控的。

系統不完全可控： 對于上式所示線性時變系統，取定初始時刻

，如果狀態空間中存在一個或一些非零狀態在t0時刻是不可控的，則稱系統在t0時刻是不完全可控的，也稱為系統是不可控的。

可控性是表征系統狀態運動的一個定性特性。u(t)必須是容許控制，即u(t)的每個分量均在時間Tt區間上平方可積，即

此外，對于線性時變系統，其可控性與初始時刻t0的選取有關，是相對于Tt中的一個取定時刻來定義的。而對于線性定常系統，其可控性與初始時刻t0的選取無關。

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狀態與系統可達： 若存在能將狀態x(t0)=0轉移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態 xf是t0時刻可達的。若xf對所有時刻都是可達的，則稱狀態xf為完全可達或一致可達。若系統對于狀態空間中的每一個狀態都是t0時刻可達的，則稱該系統是t0時刻狀態完全可達的，或簡稱該系統是t0時刻可達的。

對于線性定常連續系統，可控性與可達性是等價的。但對于離散系統和時變系統，嚴格地說兩者是不等價的。

2、可觀測性

可觀測性表征狀態可由輸出完全反映的性能，所以應同時考慮系統的狀態方程和輸出方程

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其中，A(t),B(t),C(t)和D(t)分別為(n×n)，(n×p),(q×n) 和(q×p)的滿足狀態方程解的存在惟一性條件的時變矩陣。狀態方程的解為

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的可觀測性。輸出響應成為

下面給出系統可觀測性的有關定義。

系統完全可觀測：對于線性時變系統，如果取定初始時刻t0∈Tt，存在一個有限時刻t0∈Tt，t1>t0,對于所有t∈[t0,t1]系統的輸出y(t)能惟一確定狀態向量x(t0)的初值，則稱系統在[t0,t1]內是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切t1>t0系統都是可觀測的，則稱系統在[t0,∞)內完全可觀測。

系統不可觀測：對于線性時變系統，如果取定初始時刻t0∈Tt，存在一個有限時刻t1∈Tt， t1>t0,對于所有t∈[t0,t1]，系統的輸出y(t)不能惟一確定所有狀態xi(t0),i=1,2,Α,n的初值，即至少有一個狀態的初值不能被y(t)確定，則稱系統在時間區間[t0,t1]內是不完全可觀測的，簡稱不可觀測。

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3、線性定常連續系統的可控性判據

考慮線性定常連續系統的狀態方程 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

其中x為n維狀態向量；u為p維輸入向量；A和B分別為(n*n)和(n*p)常陣。

下面根據A和B給出系統可控性的常用判據。

格拉姆矩陣判據 線性定常連續系統完全可控的充分必要條件是，存在時刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：

為非奇異。

格拉姆矩陣判據主要用于理論分析。線性定常連續系統可控性的常用判據是直接由矩陣A和B判斷可控性的秩判據。

凱萊－哈密頓定理 設階矩陣的特征多項式為

例： 橋式網絡如圖所示，試用可控性判據判斷其可控性。

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解： 該橋式電路的微分方程為 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

其可控性矩陣為 本文來自www.eadianqi.com

可控性矩陣為 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

解 可控性判別矩陣為

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由于這一判據是由波波夫和貝爾維奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可廣泛應用性，故稱為PBH秩判據。

例： 已知線性定常系統的狀態方程為 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

試判別系統的可控性。

解： 根據狀態方程可寫出 本文來自www.eadianqi.com

PBH特征向量判據 線性定常連續系統完全可控的充分必要條件是，A不能有與B 的所有列相正交的非零左特征向量。即A對的任一特征值λi，使同時滿足 本文來自www.eadianqi.com

的特征向量a≡0 。

一般地說，PBH特征向量判據主要用于理論分析中，特別是線性系統的復頻域分析中。

約當規范型判據 線性定常連續系統完全可控的充分必要條件分兩種情況：

1)矩陣A的特征值λ1,λ2,∧,λn是兩兩相異的。

由線性變換可將狀態方程變為對角線規范型 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

則系統完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素全為零的行。 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

由線性變換化為約當規范型 本文來自www.eadianqi.com

4、輸出可控性

如果系統需要控制的是輸出量而不是狀態，則需研究系統的輸出可控性。

輸出可控性： 若在有限時間間隔[t0,t1]內，存在無約束分段連續控制函數u(t),t∈[t0,t1],能使任意初始輸出y(t0)轉移到任意最終輸出y(t1)，則稱此系統是輸出完全可控，簡稱輸出可控。

輸出可控性判據 設線性定常連續系統的狀態方程和輸出方程為

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令

則

令

S0為

矩陣，稱為輸出一矩陣。輸出可控的充分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數，即 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

注意：狀態可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者沒有什么必然的聯系。

例： 已知系統的狀態方程和輸出方程為

試判斷系統的狀態可控性和輸出可控性。

解： 系統的狀態可控性矩陣為

故狀態不完全可控。

輸出可控性矩陣為 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

5、線性定常連續系統的可觀測性判據

考慮輸入u=0時系統的狀態方程和輸出方程

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其中，x為n維狀態向量；y為q維輸出向量；A和c分別為n*n和q*n的常值矩陣。

格拉姆矩陣判據 線性定常連續系統完全可觀測的充分

必要條件是，存在有限時刻t1>0 ，使如下定義的格拉姆矩

陣：

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為非奇異。

秩判據 線性定常連續系統完全可觀測的充分必要條件是

或

上兩式中的矩陣均稱為系統可觀測性判別陣，簡稱可觀測性陣。

例： 判斷下列系統的可觀測性：

解：1)

故系統不可觀測。

2)

故系統可觀測。

6、線性離散系統的可控性和可觀測性

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(1)線性離散系統的可控性和可達性

設線性時變離散時間系統的狀態方程為 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k), k∈Tk

其中Tk為離散時間定義區間。如果對初始時刻l∈Tk和狀態空間中的所有非零狀態x(l)，都存在時刻m∈Tk,m>l，和對應的控制u(k)，使得x(m)=0 ，則稱系統在時刻l為完全可控。對應地，如果對初始時刻l∈Tk和初始狀態x(l)=0，存在時刻m∈Tk,m>l和相應的控制u(k)，使x(m)可為狀態空間中的任意非零點，則稱系統在時刻l為完全可達。

對于離散系統，不管是時變的還是定常的，其可控性和

可達性只有在一定條件下才是等價的。其等價的條件分別為

1)線性離散時間系統的可控性和可達性為等價的充分必要

條件是，系統矩陣

對所有

為非奇異；

2)線性定常離散時間系統 自動控制網www.eadianqi.com版權所有

可控性和可達性等價的充分必要條件是系統矩陣

為非奇異。

3)如果離散時間系統是相應連續時間系統的時間離散化模型，則其可控性和可達性必是等價的。

線性定常離散系統的可控性判據 設單輸入線性定常離散系統的狀態方程為

其中x為n維狀態向量；u為標量輸入；G為(n*n)非奇異矩陣。狀態方程的解為

根據可控性定義，假定k=n時，x(n)=0，將上式兩端左乘

，則有 本文來自www.eadianqi.com

記

稱s'為(n*n)可控性矩陣。由線性方程組解的存在定理可知，當矩陣s1'的秩與增廣矩陣[s1',Mx(0)]的秩相等時，方程組有解且為惟一解，否則無解。在x(0)為任意的情況下，使方程線有解的充分必要條件是矩陣s1'滿秩，即

當

時，系統不可控，表示不存在使任意x(0)轉移至x(n)=0的控制。

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以上研究了終態為x(n)=0的情況，若令終態為任意給定狀態x(n)，則狀態方程的解變為

由于初態x()可任意給定，根據解存在定理，矩陣s2' 的秩為n時，方程組才有解。于是多輸入線性離散系統狀態可控的充分必要條件是

例： 雙輸入線性定常離散系統的狀態方程為

試判斷可控性，并研究使x(1)=0的可能性。

顯然，由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故系統可控。

一定能求得控制序列使系統由任意初始狀態三步內轉移到原點。 本文來自www.eadianqi.com

其向量－矩陣形式為

令

(3)連續動態方程離散化后的可控性和可觀測性

一個可控的或可觀測的連續系統，當其離散化后并不一定能保持其可控性或可觀測性。現舉例來說明。

設連續系統動態方程為

由于系統的狀態方程為可控標準型，故一定可控。根據可觀測性判據有

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故系統可觀測。

系統的狀態轉移矩陣為

系統離散化后的狀態方程為

離散化后系統的可控性矩陣為

離散化后系統的可觀測性矩陣為

當采樣周期時

，可控性矩陣S1和可觀測性矩陣V1均出現零行，

，系統不可控也不可觀測。這表明連續系統可控或可觀測時，若采樣周期選擇不當，對應的離散化系統便有可能不可控或不可觀測，也有可能既不可控又不可觀測。若連續系統不可控或不可觀測，不管采樣周期 如何選擇，離散化后的系統一定是不可控或不可觀測的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的可观测性PHP秩判据,线性系统的可控性与可观测性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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