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問題

現在有一班飛機將要起飛，乘客們正準備按機票號碼（1, 2, 3, …N）依次排隊登機。突然來了一只大猩猩（對，他叫金剛）。他也有飛機票，但是他插隊第一個登上了飛機，然后隨意地選了一個座位坐下了。根據社會的和諧程度，其他的乘客有兩種反應：

乘客們都義憤填膺，“既然金剛同志不遵守規定，為什么我要遵守？”他們也隨意地找位置坐下，并且堅決不讓座給其他乘客。

乘客們雖然感到憤怒，但還是以“和諧”為重，如果自己的位置沒有被占領，就趕緊坐下，如果自己的位置已經被別人（或者金剛同志）占了，就隨機地選擇另一個位置坐下，并開始閉目養神，不再挪動位置。

那么，在這兩種情況下，第 i 個乘客（除去金剛同志之外）坐到自己原機票位置的概率分別是多少？

解答

第一題：因為每位乘客（包括金剛）都是隨機的，問題等同于抽獎問題，先到先抽，即第 i 個乘客抽到自己的座位的概率為1/N。

第二題：用 F(i, n) 表示當座位總數為n時，第 i 個乘客坐到自己原位置的概率。根據全概率公式，得

其中 P(K=j) 表示金剛坐在位置 j 上，P(i | K=j) 是條件概率，表示當金剛坐在位置 j 上時，第 i 個乘客坐到自己原位置的概率。顯然 P(K=j)=1/n，現在來分析 P(i | K=j)。

金剛若挑自己的座位或選的座位在第i個座位后（即 i < j），則第 i 個乘客肯定能坐到原來的座位。此時 P(i │ K=j) = 1；

金剛若挑選的座位在第 i 個座位前，（即 i > j），則第j個乘客除非坐到金剛的座位，不然就會搶其他人的座位，因為他的行為和金剛相似，可以將他當做金剛處理。去除前 j 個座位，剩下的座位和乘客再按原大小排序重新從1開始編號，則先前的第 i 個乘客，其座位號變為 i-j，新的總座位數變為 n-j。所以得 P(i │ K=j) = F(i-j, n-j)。

由上分析得：

再取 n+1 和 i+1 代入上式并與原式相減得：

代入計算的時候，譬如要求當i=3的做到座位上的概率，則需要取i-1=2代入到上式中

總結

以上是生活随笔為你收集整理的金刚做飞机的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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