数组中三个只出现一次的数字
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題目：一個(gè)數(shù)組中有三個(gè)數(shù)字a、b、c只出現(xiàn)一次，其他數(shù)字都出現(xiàn)了兩次。請(qǐng)找出三個(gè)只出現(xiàn)一次的數(shù)字。
分析：在博客http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/中我們討論了如何在一個(gè)數(shù)組中找出兩個(gè)只出現(xiàn)一次的數(shù)字。在這道題中，如果我們能夠找出一個(gè)只出現(xiàn)一次的數(shù)字，剩下兩個(gè)只出現(xiàn)一次的數(shù)字就很容易找出來了。
如果我們把數(shù)組中所有數(shù)字都異或起來，那最終的結(jié)果（記為x）就是a、b、c三個(gè)數(shù)字的異或結(jié)果（x=a^b^c）。其他出現(xiàn)了兩次的數(shù)字在異或運(yùn)算中相互抵消了。
我們可以證明異或的結(jié)果x不可能是a、b、c三個(gè)互不相同的數(shù)字中的任何一個(gè)。我們用反證法證明。假設(shè)x等于a、b、c中的某一個(gè)。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。這與a、b、c是三個(gè)互不相同的三個(gè)數(shù)相矛盾。
由于x與a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。
我們定義一個(gè)函數(shù)f(n)，它的結(jié)果是保留數(shù)字n的二進(jìn)制表示中的最后一位1，而把其他所有位都變成0。比如十進(jìn)制6表示成二進(jìn)制是0110，因此f(6)的結(jié)果為2（二進(jìn)制為0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的結(jié)果均不等于0。
接著我們考慮f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結(jié)果。由于對(duì)于非0的n，f(n)的結(jié)果的二進(jìn)制表示中只有一個(gè)數(shù)位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結(jié)果肯定不為0。這是因?yàn)閷?duì)于任意三個(gè)非零的數(shù)i、j、k，f(i)^f(j)的結(jié)果要么為0，要么結(jié)果的二進(jìn)制結(jié)果中有兩個(gè)1。不管是那種情況，f(i)^f(j)都不可能等于f(k)，因?yàn)?/span>f(k)不等于0，并且結(jié)果的二進(jìn)制中只有一位是1。
于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的結(jié)果的二進(jìn)制中至少有一位是1。假設(shè)最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的結(jié)果中，有一個(gè)或者三個(gè)數(shù)字的第m位是1。
接下來我們證明x^a、x^b、x^c的三個(gè)結(jié)果第m位不可能都是1。還是用反證法證明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三個(gè)數(shù)字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三個(gè)數(shù)字的第m位相同。如果a、b、c三個(gè)數(shù)字的第m位都是0，x=a^b^c結(jié)果的第m位是0。由于x和a兩個(gè)數(shù)字的第m位都是0，x^a結(jié)果的第m位應(yīng)該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這與我們的假設(shè)矛盾。如果a、b、c三個(gè)數(shù)字的第m位都是1，x=a^b^c結(jié)果的第m位是1。由于x和a兩個(gè)數(shù)字的第m位都是1，x^a結(jié)果的第m位應(yīng)該是0。同理可以證明x^b、x^c第m位都是0。這還是與我們的假設(shè)矛盾。
因此x^a、x^b、x^c三個(gè)數(shù)字中，只有一個(gè)數(shù)字的第m位是1。于是我們找到了能夠區(qū)分a、b、c三個(gè)數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)。這三個(gè)數(shù)字中，只有一個(gè)數(shù)字滿足這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，而另外兩個(gè)數(shù)字不滿足。一旦這個(gè)滿足標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字找出來之后，另外兩個(gè)數(shù)字也就可以找出來了。
這種思路的C++代碼如下：
void getThreeUnique(vector<int>& numbers, vector<int>& unique) {if(numbers.size() < 3)return;int xorResult = 0;vector<int>::iterator iter = numbers.begin();for(; iter != numbers.end(); ++iter)xorResult ^= *iter;int flags = 0;for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)flags ^= lastBitOf1(xorResult ^ *iter);flags = lastBitOf1(flags);// get the first unique numberint first = 0;for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter){if(lastBitOf1(*iter ^ xorResult) == flags)first ^= *iter;}unique.push_back(first);// move the first unique number to the end of arrayfor(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter){if(*iter == first){swap(*iter, *(numbers.end() - 1));break;}}// get the second and third unique numbersgetTwoUnique(numbers.begin(), numbers.end() - 1, unique); }int lastBitOf1(int number) {return number & ~(number - 1); }void getTwoUnique(vector<int>::iterator begin, vector<int>::iterator end, vector<int>& unique) {int xorResult = 0;for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)xorResult ^= *iter;int diff = lastBitOf1(xorResult);int first = 0;int second = 0;for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter){if(diff & *iter)first ^= *iter;elsesecond ^= *iter;}unique.push_back(first);unique.push_back(second); }
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数组中三个只出现一次的数字的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
