愚人節(jié)期間，我們哆嗒和往年一樣，發(fā)了一篇愚人節(jié)的整蠱文章《素數(shù)公式發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)學(xué)之謎即將揭開》，沒想到大家和我們一起玩的很嗨，真是一個歡樂的愚人節(jié)。

文章中我們寫出了下面這樣一個公式，并說它是第n個素數(shù)p(n)的表達式：

文章還專門解釋了方括號[x]是取整函數(shù)，p!表示階乘，并規(guī)定0! = 1。

歡樂歸歡樂，因為愚人節(jié)的關(guān)系很少有人注意到我們貼出的公式本身是不是對的。

在這里，我們哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)的小編負責人的說，如果只從等式兩端是否相等的角度來說，這絕對是如假包換、童叟無欺、“珍珠”都沒這么真的素數(shù)公式。整篇文章，也許就這個公式是靠譜的。

這個公式其實寫進了不少數(shù)學(xué)科普書，要解釋它也很容易。

說來奇怪，按照一般人的標準課程，我們大多數(shù)人對數(shù)學(xué)中數(shù)論知識的學(xué)習(xí)都集中在小學(xué)。到了初中、高中除了一些競賽需求，幾乎不怎么學(xué)習(xí)數(shù)論了。到了大學(xué)，也只有部分專業(yè)的同學(xué)才學(xué)習(xí)初等數(shù)論。

初等數(shù)論中，有很多有趣的知識，和數(shù)數(shù)差不多，也就是我們解釋這個公式的重點。

公式有兩個“連加號”Σ，也就是我們要解釋的重點。

數(shù)素數(shù)的π(x)函數(shù)

給定一個整數(shù)x，我們把不超過x的素數(shù)的個數(shù)表示為π(x)這個函數(shù)。比如不超過6的素數(shù)有2、3、5三個，那么π(6) = 3 。 不超過11的素數(shù)有2、3、5、7、11這5個素數(shù)，于是π(11) = 5。

這樣，很容易看出，如果是第n個素數(shù)p(n)，π(p(n)) = n, 而且x < p(n) 時候π(x) < n(即π(x) ≤ n-1), x ≥ p(n)的時候π(x) ≥ n 。

這個時候π(x) 還只是數(shù)數(shù)游戲的，我們需要表示成一種只有加減乘除的東西。

利用威爾遜定理把π(x)函數(shù)表示出來

學(xué)過初等數(shù)論的同學(xué)們都知道一個叫做威爾遜定理的命題：

p是素數(shù)或1，當且僅當 (p-1)!+1是p的倍數(shù)。不止如此，當p是大于4合數(shù)的時候(p-1)!還是p的倍數(shù)。

有了這個，我們可以分析分母了那個連加號了。

我們先看分母上連加號的內(nèi)部：

這里，k=1的時候，上面的式子值是1。

根據(jù)威爾遜定理，當k是合數(shù)的時候，[(k-1)!/k]是整數(shù)，所以方括號可以去掉。上面式子的值其實是[1/k]。對于正整數(shù)，值是0。

當k是素數(shù)的時候，(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k，所以對右邊的方括號做一些簡單變換，可以得到整個式子是值是1。

所以當連加號的k從1跑遍j的時候，實際上是一堆1和一堆0的加總。k是素數(shù)或1的時候是1，合數(shù)的時候是0。這些1加起來正好是不超過j的素數(shù)的個數(shù)加上1，即1+π(j) 。

伯特蘭-切比雪夫定理、π(x)和素數(shù)公式

我們已經(jīng)把開頭的式子改寫了成下面的樣子了：

看看連加號內(nèi)部根號下的部分，

這是一個關(guān)于j的遞減的式子，關(guān)鍵點在j = p(n) 這一處。當j ≥ p(n)的時候π(j) ≥ n，分子小于了分母，取整后就是零了。

相反，當j < p(n) 的時候π(j) < n就是說π(j) ≤ n-1，這樣分母不會比n大，取整后是一個不小于1但不超過n的整數(shù)。

好了，我們都知道n的開n次根號是不小于1且嚴格小于2的。利用這個我們能得到下面的結(jié)論：

當j < p(n)的時候整個連加號內(nèi)部的式子(下圖式子)的值都是1，j ≥ p(n)的時候都是0。

所以當連加號的j從1開始一直的時候，實際上是連續(xù)的幾個1相加，然后到p(n)開始都是0相加。正好跑了p(n) - 1個1。

至于為什么跑到的終點是2的n次方，這是因為

伯特蘭-切比雪夫定理：對所有正整數(shù)n，n和2n之間必有素數(shù)。

利用這個定理，你能歸納出，第n個素數(shù)p(n)不會超過2的n次方。

于是素數(shù)公式出爐。

愚人節(jié)的文章還給出另外一個公式，其實是換湯不換藥啦。

一點心得

好了，對于這個公式你們想說什么呢？復(fù)雜度太高？因為它里面有階乘！矯揉造作？這個和一個一個數(shù)有什么區(qū)別？

理由也許都對！這些理由或許就是即便看上去把素數(shù)寫成了一個“簡單公式”，也對和素數(shù)有關(guān)問題的解決沒有任何幫助的原因。

但它的確是一個正確的公式，也許可以看成“正確的廢話”素數(shù)公式版吧。

不過，讀者中有第一次見這個公式的小伙伴，是不是也感到一些有趣呢——你們可以拿去繼續(xù)騙人吶！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的java中开根号是什么函数_这真的是素数的公式！但没有什么卵用！的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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