第一類斯特林數

定理：

第一類斯特林數S1（p，k）計數的是把p個對象排成k個非空循環排列的方法數。

證明：把上述定理敘述中的循環排列叫做圓圈

遞推公式：

S1（p，p）=1（p>=0)，有p個人和P個圓圈，每個圓圈就只有一個人

S1（P，0）=0（P>=1)如果至少有1個人，那么任何安排都至少包含一個圓圈

S1（P，K）=（P-1）*S1（P-1，K）+S1（P-1，K-1）

設P個人的編號為1，2，3，4.....P，將P個人排成k個圓圈有兩種情況：

1.在一個圓圈里只有編號為P的人，排法有S1（P-1，K-1）個。

2.P至少和另外一個人在一個圓圈里。這些排法可以通過把1，2.....p-1排成k個圓圈，再把p放在1，2........p-1任意一個人的左邊，因此，第二種類型的排法有（p-1）*S1（p-1，k）種做法

在證明中，我們所作的就是把{1，2，3，4.......P}劃分到K個非空且不可區分的盒子，然后每個盒子中的元素排成一個循環排列

long long s1[maxn][maxn];//存放第一類Stirling數 long long mod=1e9+7;//取模 void init() {s1[1][1]=1;for(int i=2;i<maxn;i++)for(int j=1;j<maxn;j++)s1[i][j]=(s1[i-1][j-1]+(i-1)*s1[i-1][j])%mod; }

第二類斯特林數

定理：

第二類Stirling數S2（P，K）計數表示把P元素劃分到k個不可區分的盒子里且沒有空盒子的劃分個數

證明：

S2（P，P）=1（P>=0)? ? ? ? ? ?

S2(P，0)=0 (p>=1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

遞推公式：S2(p,k)=k*S2(p-1,k)+S2(p-1,k-1)? (1<=k<=p-1)

把{1，2，3，4......p}分到k個非空且不可區分的盒子里的劃分有兩種情況：

1.P單獨在一個集合，存在S2（p-1，k-1）種劃分個數

2.p不單獨在一個盒子的劃分，p和其他元素在一個集合，也就是在沒有放P之前，有p-1個元素已經分到了K個非空且不可區分的盒子里，現在把P放進去，有K種選擇，存在K*S2（p-1，k）種劃分

long long s2[maxn][maxn];//存放第二類Stirling數 long long mod=1e9+7;//取模 void init() {s2[1][1]=1;for(int i=2;i<maxn;i++)for(int j=1;j<maxn;j++)s2[i][j]=(s2[i-1][j-1]+j*s2[i-1][j])%mod; }

擴展：K！* S(P,K)計數就是把P元素集合劃分到K個可區分的盒子里，且沒有空盒子的劃分個數

Bell數

定理：B(P)是將P元素集合分到非空，且不可區分盒子的劃分個數（沒有要求分到幾個盒子里）

B(p)=S2(P,0)+S2(P,1)+S2(P,2)+S2(P,3)+S2(P,4)+........S2(P,n);

即先求出第二類斯特林數，然后求和即可

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】第一类，第二类斯特林数（Stirling），Bell数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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