逆元

逆元（inverse element）是在取模意義下，不能直接除以一個(gè)數(shù)，而要乘以它的逆元；a*b $\equiv$ 1 (mod p) , 那么a和b互為模p意義下的逆元，比如要計(jì)算(x/a)%p,可以寫成x*b%p；

方法一

費(fèi)馬小定理

若P為素?cái)?shù)，則 $a^{p?1}$ $\equiv$ 1 (mod p) 【費(fèi)馬小定理】
即：$a^{p?2}$ *a $\equiv$ 1 (mod p)
所以$a^{p?2}$就是a在模p意義下的逆元

const LL mod = 1e9+7; //快速冪 LL fastPow(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans; } //求x的逆元 LL inv(LL x){return fastPow(x,mod-2); }

歐拉定理

若a和p互素（P不一定是素?cái)?shù)），則$a^{?(p)}$ $\equiv$ 1 (mod p)
即 $a^{?(p)?1}?a$ $\equiv$ 1 (mod p)
所以$a^{?(p)?1}$ 就是a在模p意義下的逆元

聯(lián)系

$?(p)$稱為歐拉函數(shù)，表示小于等于P且與P互素的個(gè)數(shù)，顯然若p為素?cái)?shù)，則$?(p)=p?1$

const LL mod = 1e9+7; //求歐拉函數(shù) long long phi(long long x) {long long res = x;for(long long i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){res = res/i*(i-1);//res -= res/i;while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)res =res/x*(x-1);//res -= res/x;return res; } //快速冪 LL fastPow(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans; } //求x的逆元 LL inv(LL x){return fastPow(x,phi(mod)-1); }

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方法二

擴(kuò)展歐幾里得算法

a*b $\equiv$ 1 (mod p)
a * b+k * p = 1
a就是要求的逆元

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//擴(kuò)展歐幾里得算法 {if(b==0){x=1,y=0;return a;}LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ret; } LL getInv(LL a,LL mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 {LL x,y;LL d=exgcd(a,mod,x,y);return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1; }

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方法三：遞推求逆元

P是模數(shù)，i是待求的逆元，我們求的是$i^{?1}$在mod P意義下的值
p=k*i+r,若(r<i)，則有k=p/i,r=p%i
k * i+r $\equiv$ 1 (mod p)
兩邊同時(shí)除以i*r, $k?r^{?1}+i^{?1}\equiv 0(modP)$
移項(xiàng)得:$i^{?1}\equiv ?k?r^{?1}(modP)$
即：$i^{?1}\equiv ?p/i$ * inv[i % mod p]
邊界條件是 inv[1]=1

LL inv[mod+5]; void getInv(LL mod) {inv[1]=1;for(int i=2;i<mod;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元总结 3种基本方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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