作者丨蘇劍林

單位丨廣州火焰信息科技有限公司

研究方向丨NLP，神經網絡

個人主頁丨kexue.fm

在這個系列中，我們嘗試從能量的視角理解 GAN。我們會發現這個視角如此美妙和直觀，甚至讓人拍案叫絕。?

上一篇文章里，我們給出了一個直白而用力的能量圖景，這個圖景可以讓我們輕松理解 GAN 的很多內容，換句話說，通俗的解釋已經能讓我們完成大部分的理解了，并且把最終的結論都已經寫了出來。

在這篇文章中，我們繼續從能量的視角理解 GAN，這一次，我們爭取把前面簡單直白的描述，用相對嚴密的數學語言推導一遍。?

跟第一篇文章一樣，對于筆者來說，這個推導過程依然直接受啟發于 Bengio 團隊的新作 Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models。?

原作者的開源實現：

https://github.com/ritheshkumar95/energy_based_generative_models?

本文的大致內容如下：?

1. 推導了能量分布下的正負相對抗的更新公式；

?

2. 比較了理論分析與實驗采樣的區別，而將兩者結合便得到了 GAN 框架；?

3. 導出了生成器的補充 loss，理論上可以防止 mode collapse；?

4. 簡單提及了基于能量函數的 MCMC 采樣。

數學視角的能量

在這部分中，我們先來簡單引入能量模型，并且推導了能量模型理論上的更新公式，指出它具有正相、負相對抗的特點。

能量分布模型

首先，我們有一批數據 x1, x2, … , xn～p(x)，我們希望用一個概率模型去擬合它，我們選取的模型為：

其中 Uθ 是帶參數 θ 的未定函數，我們稱為“能量函數”，而 Zθ 是歸一化因子（配分函數）。

這樣的分布可以稱為“能量分布”，在物理中也被稱為“玻爾茲曼分布”。

至于為什么選擇這樣的能量分布，解釋有很多，既可以說是從物理角度受到啟發，也可以說是從最大熵原理中受到啟發，甚至你也可以簡單地認為只是因為這種分布相對容易處理而已。但不可否認，這種分布很常見、很實用，我們用得非常多的 softmax 激活，其實也就是假設了這種分布。

現在的困難是如何求出參數 θ 來，而困難的來源則是配分函數 (2) 通常難以顯式地計算出來。當然，盡管實際計算存在困難，但不妨礙我們繼續把推導進行下去。

正負相的對抗

為了求出參數 θ ，我們先定義對數似然函數：

我們希望它越大越好，也就是希望下式越小越好：

為此，我們對 Lθ 使用梯度下降。我們有：

所以：

這意味著梯度下降的更新公式是：

注意到式 (6) 的特點，它是分別在真實分布下和擬合分布下的均值之差，這就是機器學習中著名的“正相”和“負相”的分解，式 (6) 體現了正負相之間的對抗，也有人將其對應為我們做夢的過程。

揚長避短 ? GAN?

在這部分中，我們表明“容易分析”與“容易采樣”是很難兼容的，容易理論分析的模型，在實驗上難以采樣計算，而容易采樣計算的模型，難以進行簡明的理論推導。而試圖將兩者的優點結合起來，就得到了 GAN 模型。?

理論分析與實驗采樣

事實上，式 (6) 和式 (7) 表明我們開始假設的能量分布模型的理論分析并不困難，但是落實到實驗中，我們發現必須要完成從 qθ 中采樣：。也就是說，給定一個具體的，我們要想辦法從中采樣出一批 x 出來。?

然而，就目前而言，我們對從中采樣并沒有任何經驗。對于我們來說，方便采樣的是如下的過程：

這里的 q(z) 代表著標準正態分布。也就是說，我們可以從標準正態分布中采樣出一個 z 出來，然后通過固定的模型 Gφ 變換為我們想要的 x。這意味著這種分布的理論表達式是：

問題是，如果用 qφ(x) 代替原來的 qθ(x)，那么采樣是方便了，但是類似的理論推導就困難了，換句話說，我們根本推導不出類似 (7) 的結果來。?

GAN誕生記

那么，一個異想天開的念頭是：能不能把兩者結合起來，在各自擅長的地方發揮各自的優勢？?

式 (7) 中的不是難以實現嗎，那我只把這部分用代替好了：

也就是：

現在采樣是方便了，但前提是 qφ(x) 跟 qθ(x) 足夠接近才行呀（因為 qθ(x) 才是標準的、正確的），所以，我們用 KL 散度來度量兩者的差異：

式 (11) 有效的前提是 qφ(x) 跟 qθ(x) 足夠接近，也就是上式足夠小，而對于固定的 qθ(x)，Zθ 是一個常數，所以 φ 的優化目標是：

這里代表 qφ(x) 的熵。?Hφ(X) 希望熵越大越好，這意味著多樣性；希望圖片勢能越小越好，這意味著真實性。

另外一方面，注意到式 (11) 實際上是目標的梯度下降公式。

所以我們發現，整個過程實際上就是 (14) 和 (13) 的交替梯度下降。而正如第一篇所說的，θ 的這個目標可能帶來數值不穩定性，基于第一篇所說的理由，真樣本應該在極小值點附近，所以我們可以把梯度懲罰項補充進 (14)，得到最終的流程是：

這便是基于梯度懲罰的 GAN 模型，我們在能量視角下的GAN模型（一）中已經把它“頭腦風暴”出來了，而現在我們從能量模型的數學分析中把它推導出來了。

所以說，GAN 實際上就是能量模型和采樣模型各自揚長避短的結果。

直擊H(X)！

現在，距離完整地實現整個模型，就差 Hφ(X) 了。我們已經說過：

代表 qφ(x) 的熵，而 qφ(x) 的理論表達式是 (9)，積分難以計算，所以 Hφ(X) 也難以計算。

打破這一困境的思路是將熵轉化為互信息，然后轉化為互信息的估計，其估計方式有兩種：通過 f 散度的方式（理論上精確）估計，或者通過信息下界的方式估計。

最大熵與互信息

首先，我們可以利用 x=Gφ(z) 這一點： x=Gφ(z) 意味著條件概率 qφ(x|z)=δ(x?G(z))，即一個確定性的模型，也可以理解為均值為 G(z) 、方差為 0 的高斯分布 N(x;Gφ(z),0)。

然后我們去考慮互信息 I(X,Z)：

現在我們找出了 Iφ(X,Z) 和 Hφ(X) 的關系，它們的差是：

事實上 Hφ(X|Z) 稱為“條件熵”。

如果我們處理的是離散型分布，那么因為 x=Gφ(z) 是確定性的，所以 qφ(x|z)≡1，那么 Hφ(X|Z) 為 0，即 Iφ(X,Z)=Hφ(X)。

如果是連續型分布，前面說了可以理解為方差為 0 的高斯分布 N(x;Gφ(z),0)，我們可以先考慮常數方差的情況，計算發現是一個常數，然后 σ→0，不過發現結果是無窮大。無窮大原則上是不能計算的，但事實上方差也不需要等于 0，只要足夠小，肉眼難以分辨即可。

所以，總的來說我們可以確定互信息 Iφ(X,Z) 與熵 Hφ(X) 只相差一個無關緊要的常數，所以在式 (15 )中，可以將 Hφ(X) 替換為 Iφ(X,Z)：

現在我們要最小化 ?Iφ(X,Z) ，也就是最大化互信息 Iφ(X,Z)。直觀上這也不難理解，因為這一項是用來防止 mode callopse 的，而如果一旦 mode callopse，那么幾乎任意的 z 都生成同一個 x，X,Z 的互信息一定不會大。?

但是將目標從 Hφ(X) 改為 Iφ(X,Z) ，看起來只是形式上的轉換，似乎依然還沒有解決問題。但很幸運的是，我們已經做過最大化互信息的研究了，方法在深度學習的互信息：無監督提取特征的“互信息本質”一節，也就是說，直接估算互信息已經有解決方案了，讀者直接看那篇文章即可，不再重復論述。?

互信息與信息下界

如果不需要精確估計互信息，那么可以使用 InfoGAN 中的思路，得到互信息的一個下界，然后去優化這個下界。?

從互信息定義出發：

記 qφ(z|x)=qφ(x|z)q(z)/qφ(x)，這代表精確的后驗分布；然后對于任意近似的后驗分布 p(z|x)，我們有：

也就是說，互信息大于等于?qφ(x|z)q(z)logp(z|x) 加上一個常數。如果最大化互信息，可以考慮最大化這個下界。由于 p(z|x) 是任意的，可以簡單假設，其中 E(x) 是一個帶參數的編碼器，代入計算并省去多余的常數，可以發現相當于在生成器加入一項 loss：

所以，基于 InfoGAN 的信息下界思路，式 (15) 變為：

到這里，我們已經從兩個角度完成了 Hφ(X) 的處理，從而完成了整個 GAN 和能量模型的推導。

MCMC提升效果

回顧開頭，我們是從能量分布出發推導出了 GAN 模型，而能量函數 U(x) 也就是 GAN 模型中的判別器。既然 U(x) 具有能量函數的含義，那么訓練完成后，我們可以利用能量函數的特性做更多有價值的事情，例如引入 MCMC 來提升效果。?

MCMC的簡介

其實對于 MCMC，我只是略懂它的含義，并不懂它的方法和精髓，所謂“簡介”，僅僅是對其概念做一些基本的介紹。MCMC 是“馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法（Markov Chain Monte Carlo）”，在我的理解里，它大概是這么個東西：我們難以直接從某個給定的分布 q(x) 中采樣出樣本來，但是我們可以構造如下的隨機過程：

其中 α 是一個便于實現的隨機過程，比如從二元分布、正態分布采樣等。這樣一來，從某個 x0 出發，得到的序列 {x1,x2,…,xn,…} 是隨機的。

如果進一步能證明式 (24) 的靜態分布正好是 q(x)，那么就意味著序列 {x1,x2,…,xn,…} 正是從 q(x )中采樣出來的一批樣本，這樣就實現了從 q(x) 中采樣了，只不過采樣的結果經過了一定的順序排列。

Langevin方程

式 (24) 的一個特例是 Langevin 方程：

它也稱為隨機微分方程，當 ε→0 時，它的靜態分布正好是能量分布：

也就是說，給定能量函數 U(x) 后，我們可以通過式 (25) 實現從能量分布中采樣，這就是能量分布的 MCMC 采樣的原始思想。

當然，直接從能量函數和式 (25) 中采樣 x 可能不大現實，因為 x 維度（常見的情景下，x 代表圖片）過大，可控性難以保證。另一方面，式 (25) 最后一項是高斯噪聲，所以只要 ε≠0，那么結果必然是有噪聲的，圖片真實性也難以保證。

一個有趣的轉化是：我們可以不直接考慮 x 的 MCMC 采樣，而考慮 z 的采樣。因為在前面的模型中，我們最后既得到了能量函數 Uθ(x)，也得到了生成模型 Gφ(z)，這意味著 z 的能量函數為：

有了 z 的能量函數，我們可以通過式 (25) 實現 z 的 MCMC 采樣：

這樣剛才說的問題全部都沒有了，因為 z 的維度一般比 x 小得多，而且也不用擔心 ε≠0 帶來噪聲，因為 z 本來就是噪聲。

更好的截斷技巧

到這里，如果頭腦還沒有混亂的讀者也許會回過神來： z 的分布不就是標準的正態分布嗎？采樣起來不是很容易嗎？為啥還要折騰一套 MCMC 采樣？?

理想情況下，z 的能量函數 Uθ(Gφ(z)) 所對應的能量分布：

確實應該就是我們原始傳遞給它的標準正態分布 q(z)。但事實上，理想和現實總有些差距的，當我們用標準正態分布去訓練好一個生成模型后，最后能產生真實的樣本的噪聲往往會更窄一些，這就需要一些截斷技巧，或者說篩選技巧。

比如，基于flow的生成模型在訓練完成后，往往使用“退火”技巧，也就是在生成時將噪聲的方差設置小一些，這樣能生成一些更穩妥的樣本，可以參考細水長flow之NICE：流模型的基本概念與實現。而去年發布的 BigGAN，也討論了 GAN 中對噪聲的截斷技巧。

如果我們相信我們的模型，相信能量函數 Uθ(x) 和生成模型 Gφ(z) 都是有價值的，那么我們有理由相信會是一個比標準正態分布更好的 z 的分布（能生成更真實的 x 的 z 的分布，因為它將 Gφ(z) 也納入了分布的定義中），所以從采樣會優于從 q(z) 采樣，也就是說 MCMC 采樣 (28) 能夠提升采樣后的生成質量，原論文已經驗證了這一點。我們可以將它理解為一種更好的截斷技巧。

更高效的MALA?

采樣過程 (28) 其實依然會比較低效，原論文事實上用的是改進版本，稱為 MALA（Metropolis-adjusted Langevin algorithm），它在 (28) 的基礎上進一步引入了一個篩選過程：

這里：

也就是說以概率 γ 接受，以 1?γ 的概率保持不變。按照維基百科上的說法，這樣的改進能夠讓采樣過程更有機會采樣到高概率的樣本，這也就意味著能生成更多的真實樣本（筆者并不是很懂這一套理論，所以，只能照搬了）。

有力的能量視角

又是一篇公式長文，總算把能量分布下的 GAN 的數學推導捋清楚了，GAN 是調和“理論分析”與“實驗采樣”矛盾的產物。總的來說，筆者覺得整個推導過程還是頗具啟發性的，也能讓我們明白 GAN 的關鍵之處和問題所在。

能量視角是一個偏向數學物理的視角，一旦能將機器學習和數學物理聯系起來，還將可以很直接地從數學物理處獲得啟發，甚至使得對應的機器學習不再“黑箱”，這樣的視角往往讓人陶醉，給人一種有力的感覺。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的能量视角下的GAN模型（二）：GAN＝“分析”＋“采样”的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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