?PaperWeekly 原創(chuàng) ·?作者｜王東偉

單位｜致趣百川

研究方向｜深度學(xué)習(xí)

本文介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Network）及激活函數(shù)（Activation Function）的基本原理。

考慮以下分類問題：

▲ 圖1

顯然，該分類問題具有非線性的決策邊界。如果不增加特征，采用線性核的 SVM（以下簡(jiǎn)稱線性 SVM）和邏輯回歸都無(wú)法擬合，因?yàn)樗鼈冎荒艿玫叫稳? 的線性邊界。

一個(gè)可行的辦法是增加高次方項(xiàng)作為特征輸入，比如以 作為線性 SVM 或邏輯回歸輸入，可以擬合形如 的決策邊界（實(shí)際上它可以擬合圓或橢圓），對(duì)于圖 1 所示的例子這可能是不錯(cuò)的模型。

然而，在實(shí)際案例中我們通常都無(wú)法猜到?jīng)Q策邊界的“形狀”，一是因?yàn)闃颖镜奶卣鲾?shù)量很大導(dǎo)致無(wú)法可視化，二是其可能的特征組合很多。

對(duì)于上述非線性模型擬合的問題，我們之前介紹了采用核函數(shù)的 SVM，本文將介紹更通用的方法——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

考慮以下矩陣運(yùn)算：

即：

可以看到??的每個(gè)元素都是??的線性變換。一般地，對(duì)于權(quán)重矩陣?、輸入向量?、偏置向量?，可以得到 x 的線性變換?。

這里我們用 ? 表示 k 行 n 列的矩陣， 表示 n 維向量。由于一些傳統(tǒng)的原因，當(dāng)我們說 n 維向量，一般指 n 維列向量，即 n 行 1 列的矩陣。

我們可以對(duì) x 作多次線性變換得到最終的輸出 y，如：

其中，我們用上標(biāo)來(lái)區(qū)分不同變換的參數(shù)。

用圖形表示為（假設(shè)向量 的維數(shù)分別是 2,3,2,1）。

▲ 圖2

上述連續(xù)變換我們稱之為 3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它有 2 個(gè)隱藏層（hidden layer）、1 個(gè)輸出層（output layer），并且輸入 x 有兩個(gè)特征，注意輸入層不計(jì)入層數(shù)。一般地，如果輸入 x 經(jīng)過 L 次連續(xù)變換得到輸出 y，那么該變換對(duì)應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有 L 層，并且具有 L-1 個(gè)隱藏層。

如圖 1，隱藏層 1 有 3 個(gè)神經(jīng)元（注意不包括偏置項(xiàng)），其中 ， 可以視為關(guān)于 x 的函數(shù)，我們也稱之為神經(jīng)元（neuron）或單元（unit），它接收上一層發(fā)出的信號(hào) x，進(jìn)行運(yùn)算后將結(jié)果信號(hào)傳遞到下一層與其連接的神經(jīng)元。如果某一層的任意神經(jīng)元都分別連接到上一層的所有神經(jīng)元，則該層稱為全連接層（full connected layer，FC）。

作為個(gè)人的建議，你可以把一個(gè)層理解為一次變換（或映射），其輸出將作為下一層（如果有的話）的輸入。事實(shí)上，關(guān)于層的定義，我不認(rèn)為我完全清楚，但是我通常會(huì)用矩陣運(yùn)算或函數(shù)來(lái)看待神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的問題，所以如果你理解了原理，這些名詞其實(shí)不重要。

關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同義名詞。由于部分人不喜歡神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與人腦機(jī)制的類比，所以他們更傾向于將神經(jīng)元稱為單元，此外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也被稱為多層感知機(jī)（multilayer perceptron）。說實(shí)話我也不喜歡，但是為了盡可能減少信息差，本文將采用使用率更高的名詞。

現(xiàn)在，我們來(lái)分析如何用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解決本文開篇的非線性分類問題。

仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，x 經(jīng)過多次線性變換的結(jié)果仍然是關(guān)于 x 的線性變換，顯然，為了擬合非線性的模型我們需要加一些“非線性的運(yùn)算”。具體的操作如下：

其中，????(·)?是對(duì)矩陣或向量的點(diǎn)操作（elementwise），即：

?????稱為激活函數(shù)（activation function），activation 一詞來(lái)源于神經(jīng)科學(xué)，稍后我們將進(jìn)一步探討。考慮以下激活函數(shù)：

對(duì)于只有一個(gè)隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，以 Sigmoid 函數(shù)為激活函數(shù)，即：

假設(shè)隱藏層有 N 個(gè)神經(jīng)元且輸出 y 為實(shí)數(shù)，則 y 可以表示為如下形式：

可以證明?????(????)?是一個(gè)通用近似器（universal approximator），能夠近似任何函數(shù)。

某種意義上，可以認(rèn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)進(jìn)行了特征組合，我們需要做的是找到合適的模型架構(gòu)，并且通過優(yōu)化算法得到擬合數(shù)據(jù)樣本的模型參數(shù)。

對(duì)于本文開篇的分類問題，我們只需要一個(gè)兩層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，即有一個(gè)隱藏層和一個(gè)輸出層，隱藏層單元數(shù)量一般可以取輸入特征維數(shù) n 的倍數(shù)，比如 2n。模型可以用矩陣運(yùn)算表示：

其中：

你可以檢驗(yàn)上述運(yùn)算是否符合矩陣乘法規(guī)則。

關(guān)于隱藏層單元數(shù)量。通常隱藏層單元數(shù)量越多越好，一個(gè)直覺的理解是，如果我們把待擬合的目標(biāo)函數(shù)看成一個(gè)具有無(wú)窮項(xiàng)及任意系數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，更多的隱藏層單元意味著更多的獨(dú)立參數(shù)，它將有更強(qiáng)的擬合能力，但是需要更大的計(jì)算量，當(dāng)然擬合能力強(qiáng)也意味著更容易過擬合，因此我們還會(huì)在誤差函數(shù)中加入正則化項(xiàng)，后續(xù)文章將深入探討。

此外，隱藏層單元數(shù)量一般不能小于輸入特征維數(shù)，特別是對(duì)于當(dāng)你的模型使用了 ReLU 這樣的激活函數(shù)時(shí)，它將有可能無(wú)法擬合目標(biāo)函數(shù)。

注意到我們用 Sigmoid 函數(shù)將模型輸出 y 映射到（0,1）區(qū)間，但這里的 Sigmoid 通常不認(rèn)為是激活函數(shù)，僅僅作為分類問題的歸一化作用。 表示第 i 個(gè)訓(xùn)練樣本，M(x) 表示模型的輸出，則其誤差函數(shù)（用小寫 θ 表示所有模型參數(shù)）。

接下來(lái)我們可以用梯度下降（將在下一篇文章探討）得到最小化誤差的模型參數(shù) ，于是，對(duì)于給定的測(cè)試樣本 ，我們給出的預(yù)測(cè)是：

對(duì)于非線性的回歸問題，我們模型可以是：

此時(shí)誤差函數(shù)應(yīng)該用最小平方誤差（mean squared error）：

總結(jié)一下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的基本步驟：

1) 設(shè)計(jì)模型架構(gòu)（提出假設(shè)）

2) 設(shè)定誤差函數(shù)

3) 最小化誤差（求極值點(diǎn)）

關(guān)于模型架構(gòu)。雖然具有一個(gè)隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)可以模擬大部分函數(shù)，但是實(shí)踐證明深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（即有更多的隱藏層）在圖像識(shí)別和自然語(yǔ)言處理等任務(wù)中具有更優(yōu)的表現(xiàn)，因此有各類復(fù)雜的模型被設(shè)計(jì)出來(lái)，并在相應(yīng)任務(wù)中取得了很好的效果。

一些典型的模型架構(gòu)，如 CNN（常用于圖像類任務(wù)），RNN（常用于序列類任務(wù)），Autoencoders（常用于特征學(xué)習(xí)），GAN（常用于生成類任務(wù)）。

關(guān)于最小化誤差。在實(shí)際任務(wù)中，誤差函數(shù)通常無(wú)法得到解析解，因此我們一般采用梯度下降這樣的迭代算法以期得到近似值，但這里面需要考慮各類“函數(shù)形狀”所帶來(lái)的問題，我們將在后續(xù)文章介紹這些問題及其解決方案。

激活函數(shù)

▲ 圖3.1 Sigmoid

▲ 圖3.2 Tanh

Sigmoid 函數(shù)。最古老的激活函數(shù)，表達(dá)式 ，據(jù)說選中它的原因是其函數(shù)特征很像生物學(xué)中的“全或無(wú)定律”（all or none law）——神經(jīng)元對(duì)于超過閾值的刺激強(qiáng)度以最大的脈沖振幅作出反應(yīng)，而對(duì)于低于閾值的刺激不作反應(yīng)。

如圖 3.1，Sigmoid 函數(shù)在x很大時(shí)趨近于 1 而在 x 很小時(shí)趨近于 0， 然而，Sigmoid 函數(shù)的梯度也在兩端快速趨近于零，這將有可能導(dǎo)致梯度消失（這是后向傳播算法和計(jì)算機(jī)精度帶來(lái)的問題，我們將在后續(xù)文章探討），進(jìn)一步導(dǎo)致參數(shù)無(wú)法更新（可以說模型停止了“學(xué)習(xí)”）。

Tanh 函數(shù)。Tanh 與 Sigmoid 有類似的特征，可以由 Sigmoid 縮放平移得到，即??????????????(????)=2?????????????????????????????(????)–1。它的優(yōu)點(diǎn)是值域?yàn)?#xff08;-1,1）并且關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于零均值的輸入將得到零均值的輸出，這將有利于更高效的訓(xùn)練（類似于 batch normalization 的作用）。需要注意的是，Tanh 仍然有梯度消失的問題。

ReLU 函數(shù)。表達(dá)式為?????????????????(????)=????????????(0,????)，一般來(lái)說，它相比 Sigmoid 和 Tanh 可以加速收斂，這可能得益于其在正半軸有恒為 1 的梯度，另外由于只需要一次比較運(yùn)算，ReLU 需要更小的計(jì)算量。注意到 ReLU 在負(fù)半軸恒為零，這將導(dǎo)致神經(jīng)元在訓(xùn)練時(shí)“永久死亡”（即對(duì)于上一層的任何輸入，其輸出為 0），從而降低模型的擬合能力，事實(shí)上，這也是梯度消失的一種表現(xiàn)。

關(guān)于 ReLU 的“死亡”。考慮以 ReLU 為激活函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（通常同一個(gè)模型只用一種激活函數(shù)），以任意神經(jīng)元為例，將其視為函數(shù) θ，其中 x 為上一層的輸出向量。假設(shè)某一次梯度更新后 ?θ，進(jìn)一步假設(shè)任意 為數(shù)值很大的負(fù)值，考慮到上一層的輸出 x≥0，容易發(fā)現(xiàn)對(duì)于后續(xù)的輸入，f(x) 取值將有可能一直為 0。上述分析思路同樣適合 Sigmoid 函數(shù)，當(dāng)然這也進(jìn)一步解釋了 Tanh 零均值輸出的優(yōu)勢(shì)。如果你對(duì)于 batch normalization 有所了解，應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)它將有助于改善“Dying ReLU”問題。

類 ReLU 函數(shù)。實(shí)踐證明 ReLU 在多數(shù)任務(wù)中具有更優(yōu)的表現(xiàn)，特別是在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。考慮到 ReLU 本身的缺陷，有許多改進(jìn)版的 ReLU 被設(shè)計(jì)出來(lái)并得到了不錯(cuò)的效果。主要改進(jìn)的地方有兩點(diǎn)，一是 ReLU 在零點(diǎn)不可導(dǎo)，二是其在負(fù)半軸取值為零。其中比較典型的有：

Leaky ReLU:

GELU:

Swish:

▲ 圖4.1 ReLU

▲ 圖4.2 Leaky ReLU

▲ 圖4.3 GELU

▲ 圖4.4 Swish

Leaky ReLU 給 ReLU 的負(fù)半軸增加了一個(gè)微小的梯度，改善了“Dying ReLU”的問題。GELU 用了高斯累計(jì)分布來(lái)構(gòu)造 ReLU，著名的 NLP 模型 BERT 用的是 GELU，參考 [1]。Swish 是通過自動(dòng)化技術(shù)搜索得到的激活函數(shù)，作者做了大量的對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明 Swish 在不同的任務(wù)中均有超出其他類 ReLU 函數(shù)的表現(xiàn)（包括 GELU），參考 [2]。

Swish 和 GELU都屬于“光滑 ReLU”（smooth ReLU），因?yàn)樘幪庍B續(xù)可導(dǎo)，一篇最近的論文展現(xiàn)了用光滑 ReLU 進(jìn)行“對(duì)抗訓(xùn)練”（adversarial training）的良好表現(xiàn)，參考 [3]。

關(guān)于激活函數(shù)的選擇。沒有人任何科學(xué)家會(huì) 100% 確定地告訴你哪個(gè)函數(shù)更好用，但是如果按照實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們可以說類 ReLU 函數(shù)目前在多數(shù)任務(wù)中有更優(yōu)的表現(xiàn)，就個(gè)人的建議，Swish 和 GELU 會(huì)是不錯(cuò)的選擇，Swish 的論文雖然以實(shí)驗(yàn)表明其優(yōu)于 GELU，但 Google 在 BERT 中使用了 GELU。其他激活函數(shù)，可參考 [4]。

上文我們提到了通用近似器的概念，事實(shí)上這就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之所以有效的原因，而其關(guān)鍵的部分則是激活函數(shù)。

在“通用近似理論”（universal approximation theorem）領(lǐng)域，可以分為兩類近似理論，一類研究任意寬度（arbitrary width）和有界深度（bounded depth）的情況，另一類是任意深度和有界寬度。

比如上文的 G(x) 屬于任意寬度和有界深度，即 depth >= 1，width 根據(jù)近似的目標(biāo)函數(shù)可以任意調(diào)整。在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，有很多關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱藏層的寬度（width，平均單層神經(jīng)元數(shù)量）和深度（depth，模型層數(shù)）如何影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型性能的研究，比如，是單層具有 1000 個(gè)神經(jīng)元的隱藏層，還是 10 層具有 100 個(gè)神經(jīng)元的隱藏層表現(xiàn)更好。

值得注意的是，對(duì)于某些激活函數(shù)，寬度如果小于等于某個(gè)數(shù)值（對(duì)于 ReLU，這個(gè)數(shù)值是輸入特征維數(shù) n），無(wú)論其模型深度多大，都存在一些其無(wú)法模擬的函數(shù)。詳情請(qǐng)參考?[5]，以及關(guān)于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究 [6]。

以下一個(gè)簡(jiǎn)單的例子展示了以 ReLU 為激活函數(shù)的單隱藏層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其擬合效果與隱藏層單元數(shù)量的關(guān)系，為了方便可視化，擬合的目標(biāo)是一元二次函數(shù)（x>0）。圖 3.1 為隨機(jī)采樣的 50 個(gè)樣本，圖 3.2、3.3、3.4 分別為隱藏層單元數(shù)量取 1、2、5 時(shí)的擬合曲線。

▲ 圖5.1

▲ 圖5.2

▲ 圖5.3

▲ 圖5.4

可以看到隨著隱藏層神經(jīng)元數(shù)量的增多，模型的擬合能力逐步增大，如果神經(jīng)元數(shù)量太小，則有可能無(wú)法在允許的誤差范圍內(nèi)擬合目標(biāo)函數(shù)。

一個(gè)有趣的事情是，當(dāng)我們不用激活函數(shù)時(shí)，相當(dāng)于我們用了一個(gè)恒等函數(shù) f(x)=x ?作為激活函數(shù)，這將導(dǎo)致我們的模型只能擬合線性函數(shù)。但是，ReLU 僅僅簡(jiǎn)單地“舍去”負(fù)值就取得了通用近似器的效果，有點(diǎn)類似于二極管對(duì)交流電的整流作用，這也是 ReLU 名稱的由來(lái)（Rectified Linear Unit）。

事實(shí)上，計(jì)算機(jī)的運(yùn)算就是基于開關(guān)控制的邏輯電路，所以從這個(gè)角度，ReLU 似乎有一種二進(jìn)制的美感。

參考文獻(xiàn)

[1] Gaussian Error Linear Units (GELUs). Dan Hendrycks. University of California, Berkeley. 2016.?

[2] Searching for Activation Functions. Prajit Ramachandran. Google Brain. 2017.?

[3] Smooth Adversarial Training. Cihang Xie. Google. 2020.?

[4] Activation function. Wikipedia.?

[5] Universal approximation theorem. Wikipedia.?

[6] Learning Functions: When Is Deep Better Than Shallow. Hrushikesh Mhaskar. California Institute of Technology. 2016

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總結(jié)

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