?作者｜善財童子

學校｜西北工業大學

研究方向｜機器學習/射頻微波

在知乎看到一篇講解線性判別分析（LDA，Linear Discriminant Analysis）的文章，感覺數學概念講得不是很清楚，而且沒有代碼實現。所以童子在參考相關文章的基礎上在這里做一個學習總結，與大家共勉，歡迎各位批評指正~~

注意：在不加說明的情況下，所有公式的向量均是列向量，這個也會反映到代碼中。

本文的基本思路來自以下文章：

https://www.adeveloperdiary.com/data-science/machine-learning/linear-discriminant-analysis-from-theory-to-code/

基本概念和目標

線性判別分析是一種很重要的分類算法，同時也是一種降維方法（這個我還沒想懂）。和 PCA 一樣，LDA 也是通過投影的方式達到去除數據之間冗余的一種算法。

如下圖所示的 2 類數據，為了正確的分類，我們希望這 2 類數據投影之后，同類的數據盡可能的集中（距離近，有重疊），不同類的數據盡可能的分開（距離遠，無重疊），左圖的投影不好，因為 2 類數據投影后有重疊，而右圖投影之后可以很好地進行分類，因為投影之后的 2 類數據之間幾乎沒有重疊，只是類內重疊得很厲害，而這正是我們想要的結果。

正交投影

因為 LDA 用到了投影，所以這里有必要科普一下投影的知識。以二維平面為例，如圖所示

我們要計算向量 在 上的投影 ，很顯然 與 成比例關系：，其中 是一個常數。我們使用向量正交的概念來求出這個常數 。在上圖中，向量 ， 與 垂直，它們的內積為 0，即 ，即

注意：對于兩個向量 x 和 y，?，所以有 。

假設 w 是一個單位向量，則 ，這樣，對于任意向量 x，其在 w 上的投影 可表示為：

其中，??是一個常數。

對于一個數據集 ，其中 ，i=1,2,3,...m 是 d 維列向量。同樣假設 w 是一個單位向量，那么每一個 在 w 的投影是：

上述公式的 是叫做 在 w 上的偏移或者坐標。這一系列的值 表示我們做了一個映射 ，即通過投影，我們將 d 維向量降維到了 1 維。

投影數據的均值

為簡化起見，我們先假設有 2 類數據，定義樣本 ：，其中 。

我們再定義 ：

其中 是類別， 是所有類別為 的樣本的集合。所有數據 投影到 w 后，求其均值：

其中， 是 數據集的均值，同理 的均值是 ，投影后的均值 。為了使投影之后數據可正確地分類，我們希望這 2 類數據的中心離得越遠越好，也就是要使 最大，但是單獨這個條件并不能保證能夠正確地對每一個數據進行分類，我們還需要考慮每一類數據的方差，大的方差表示 2 類數據之間有重疊，小的方差表示 2 類數據之間沒有重疊。

LDA 并沒有直接使用方差的計算公式，而是采用如下的定義：

這個有個名稱叫 scatter matrix，本文暫時將其翻譯成散步矩陣吧。

總結一下，LDA 主要就兩點：

（1）最大化各類數據中心的距離，也就是各類數據的均值之間的距離要最大；

（2）各類數據的散步矩陣之和要小，也就是每個類別中的數據盡可能地集中。

將上述兩點整合在一起，得到一個優化公式：

這個公式也叫做 Fisher LDA，這樣，LDA 的問題就是關于??最優化上述的公式。我們重寫上述公式如下：

同理有??：

這樣：

這樣，LDA 目標優化函數就可以重寫為：

對公式（9）關于??求導，并令其導數為 0，可得：

整理得：

公式（11）中 做了替代：， 是一個常量。如果 S 是非奇異矩陣，那么公式（11）左乘 得到：

最終，LDA 問題其實就是求 對應最大特征值，而我們前面要求的投影方向就是最大特征值對應的特征向量，我們將 LDA 問題化成了矩陣的特征值和特征向量的問題了。

上述推導針對二分類問題進行的，對于多分類問題， 矩陣的計算方式不變，而 矩陣需要采用如下的公式計算：

其中：

C 表示類別的個數； 表示第 i 類中樣本的個數； 表示第 i 類樣本的均值； 表示整個樣本的均值。

關于矩陣微分可參考如下文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977

這里提醒一下，對 關于 x 求導的結果是 ，如果 A 是對稱矩陣，即 ，則 。公式（10）中因為 B 和 S 都是對稱矩陣（由它們的定義可以看出是對稱矩陣），所以對 關于 w 求導的結果是? 2Bw ，即 ，同理 。

代碼實現

import?numpy?as?np from?sklearn?import?datasetsfrom?sklearn.datasets?import?make_blobs import?matplotlib.pyplot?as?pltclass?MyLDA:def?__init__(self):passdef?fit(self,?X,?y):#?獲取所有的類別labels?=?np.unique(y)#print(labels)means?=?[]for?label?in?labels:#?計算每一個類別的樣本均值means.append(np.mean(X[y?==?label],?axis=0))#?如果是二分類的話if?len(labels)?==?2:mu?=?(means[0]?-?means[1])mu?=?mu[:,None]?#?轉成列向量B?=?mu?@?mu.Telse:total_mu?=?np.mean(X,?axis=0)B?=?np.zeros((X.shape[1],?X.shape[1]))for?i,?m?in?enumerate(means):n?=?X[y==i].shape[0]mu_i?=?m?-?total_mumu_i?=?mu_i[:,None]?#?轉成列向量B?+=?n?*?np.dot(mu_i,?mu_i.T)#?計算S矩陣S_t?=?[]for?label,?m?in?enumerate(means):S_i?=?np.zeros((X.shape[1],?X.shape[1]))for?row?in?X[y?==?label]:t?=?(row?-?m)t?=?t[:,None]?#?轉成列向量S_i?+=?t?@?t.TS_t.append(S_i)S?=?np.zeros((X.shape[1],?X.shape[1]))for?s?in?S_t:S?+=?s#?S^-1B進行特征分解S_inv?=?np.linalg.inv(S)S_inv_B?=?S_inv?@?Beig_vals,?eig_vecs?=?np.linalg.eig(S_inv_B)#從大到小排序ind?=?eig_vals.argsort()[::-1]eig_vals?=?eig_vals[ind]eig_vecs?=?eig_vecs[:,?ind]return?eig_vecs#構造數據集 def?make_data(centers=3,?cluster_std=[1.0,?3.0,?2.5],?n_samples=150,?n_features=2):????X,?y?=?make_blobs(n_samples,?n_features,?centers,?cluster_std)return?X,?yif?__name__?==?"__main__":X,?y?=?make_data(2,?[1.0,?3.0])print(X.shape)lda?=?MyLDA()eig_vecs?=?lda.fit(X,?y)W?=?eig_vecs[:,?:1]colors?=?['red',?'green',?'blue']fig,?ax?=?plt.subplots(figsize=(10,?8))for?point,?pred?in?zip(X,?y):#?畫出原始數據的散點圖ax.scatter(point[0],?point[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)#?每個數據點在W上的投影proj?=?(np.dot(point,?W)?*?W)?/?np.dot(W.T,?W)#畫出所有數據的投影ax.scatter(proj[0],?proj[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)plt.show()

4.1 2類2個特征

if?__name__?==?"__main__":X,?y?=?make_data(2,?[1.0,?3.0])?#rint(X.shape)lda?=?MyLDA()eig_vecs?=?lda.fit(X,?y)W?=?eig_vecs[:,?:1]colors?=?['red',?'green',?'blue']fig,?ax?=?plt.subplots(figsize=(10,?8))for?point,?pred?in?zip(X,?y):#?畫出原始數據的散點圖ax.scatter(point[0],?point[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)#?每個數據點在W上的投影proj?=?(np.dot(point,?W)?*?W)?/?np.dot(W.T,?W)#畫出所有數據的投影ax.scatter(proj[0],?proj[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)plt.show()

運行結果是：

可見，數據投影后在 1 維上可以很好的分類。

4.2 3類2個特征

if?__name__?==?"__main__":#?3類X,?y?=?make_data([[2.0,?1.0],?[15.0,?5.0],?[31.0,?12.0]],?[1.0,?3.0,?2.5])print(X.shape)lda?=?MyLDA()eig_vecs?=?lda.fit(X,?y)W?=?eig_vecs[:,?:1]colors?=?['red',?'green',?'blue']fig,?ax?=?plt.subplots(figsize=(10,?8))for?point,?pred?in?zip(X,?y):#?畫出原始數據的散點圖ax.scatter(point[0],?point[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)#?每個數據點在W上的投影proj?=?(np.dot(point,?W)?*?W)?/?np.dot(W.T,?W)#畫出所有數據的投影ax.scatter(proj[0],?proj[1],?color=colors[pred],?alpha=0.5)plt.show()

運行結果是：

4.3 3類4個特征

if?__name__?==?"__main__":#X,?y?=?load_data(cols,?load_all=True,?head=True)X,?y?=?make_data([[2.0,?1.0],?[15.0,?5.0],?[31.0,?12.0]],?[1.0,?3.0,?2.5],?n_features=4)print(X.shape)lda?=?MyLDA()eig_vecs?=?lda.fit(X,?y)#?取前2個最大特征值對應的特征向量W?=?eig_vecs[:,?:2]#?將數據投影到這兩個特征向量上，從而達到降維的目的transformed?=?X?@?Wplt.subplots(figsize=(10,?8))plt.scatter(transformed[:,?0],?transformed[:,?1],?c=y,?cmap=plt.cm.Set1)plt.show()

運行結果如下：

對上述結果使用 sklearn 官方實現的 LDA 進行對比驗證：

if?__name__?==?"__main__":X,?y?=?make_data([[2.0,?1.0],?[15.0,?5.0],?[31.0,?12.0]],?[1.0,?3.0,?2.5],?n_features=4)print(X.shape)lda?=?MyLDA()eig_vecs?=?lda.fit(X,?y)#?取前2個最大特征值對應的特征向量W?=?eig_vecs[:,?:2]#?將數據投影到這兩個特征向量上，從而達到降維的目的transformed?=?X?@?Wplt.subplots(figsize=(10,?8))plt.scatter(transformed[:,?0],?transformed[:,?1],?c=y,?cmap=plt.cm.Set1)plt.title('self-implementation')from?sklearn.discriminant_analysis?import?LinearDiscriminantAnalysissk_lda?=?LinearDiscriminantAnalysis()sk_lda.fit(X,?y)transformed?=?sk_lda.transform(X)plt.subplots(figsize=(10,?8))plt.scatter(transformed[:,?0],?transformed[:,?1],?c=y,?cmap=plt.cm.Set1)plt.title("sklearn's?offical?implementation")plt.show()

左圖是本文實現的 LDA 分類結果，右圖是官方實現的 LDA 分類結果，可見，兩者的結果是一致的。

總結

LDA 是一個很強大的工具，但它是一個有監督的分類算法，PCA 是一個無監督的算法，這是和 PCA 的一個很重要的區別。

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總結

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