图神经网络的二阶池化：从节点表示中学习图的表示
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?PaperWeekly 原創 ·?作者｜石壯威
學校｜南開大學碩士生
研究方向｜機器學習、圖神經網絡
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本文 [1] 提出圖神經網絡的二階池化方法，用以從節點表示中學習圖的表示。與現有的圖池化方法相比，二階池化能夠通過二階信息增強圖池化的性能。本文提出了兩種基于二階池化的全局圖池化方法：雙線性映射與注意力二階池化。此外，作者將注意力二階池化推廣到了層次圖池化方法。作者在圖分類任務進行了詳細的實驗，實驗結果表明，該方法在圖分類任務上表現優秀。
論文標題：
Second-Order Pooling for Graph Neural Networks
Arxiv地址：
https://arxiv.org/abs/2007.10467
IEEE官網地址：
https://ieeexplore.ieee.org/document/9104936
代碼地址：
https://github.com/divelab/sopool
圖池化
考慮一個圖 G=(A,X)，其中 A 和 X 分別表示鄰接矩陣和特征矩陣，假設圖的節點數為 n，節點特征維度為 d，那么 ，圖神經網絡（GNN）從通過圖的拓撲結構和特征矩陣，為每個節點學習一個 f 維的表示。
而圖池化，則是通過表示矩陣 H，為全圖學習一個 c 維的特征向量。
其中 g 是圖池化函數。池化函數 g 必須滿足以下兩個要求。
對于不同的圖，節點數 n 是不同的，但 g 輸出的向量維度應該固定，以適應分類器。
將 H 中不同行的順序調換，應輸出相同的 。
將 H 矩陣不同行的順序調換，等價于左乘一個置換矩陣 。
注記1（置換矩陣）例如，將一個三階矩陣的第 1, 2 行調換，等價于左乘置換矩陣
置換矩陣滿足 。
若 H1 是 H2 的一個置換排列，即存在置換矩陣 P 使得 ，那么 。
注記2（圖神經網絡三種基本的池化方法）均值池化（mean pooling 或 average pooling）、加和池化（sum pooling）和最大值池化（max pooling）是圖神經網絡中最常見、最簡易的兩種池化方法。定義如下。
容易驗證，這三種池化方法都滿足以上的兩個要求。
二階池化
定義1（二階池化）
容易證明，二階池化 SOPOOL 滿足上述的、圖池化的兩個性質。
通過 SOPOOL 得到的 f 階矩陣，可以拉伸為一個 維的向量。
作者提出了兩種進行二階池化的方式，即雙線性二階池化（SOPOOLbimap）和注意力二階池化（SOPOOLattn）。
定義2（雙線性二階池化）通過一個全連接層，將節點特征由 f 維降到 維，再進行 SOPOOL，即
定義3（注意力二階池化）
其中，μ 是一個 f 維的、可學習的向量。
注記3（注意力機制）回顧注意力機制的計算過程，考慮一個詞嵌入矩陣：
其中 表示單詞個數， 表示每個詞向量表示的維度。則注意力的計算可以表示為：
其中 是一個可學習的、 維的向量。（9）-（10）式寫成矩陣形式為 ，（11）式就是這一過程省略了 softmax 歸一化的形式。
雙線性二階池化和注意力二階池化的計算過程如圖 1 所示。
多頭注意力與層次圖二階池化
多頭注意力（multi-head attention），是使用注意力機制的一種常用方法 [2]，也被廣泛適用于圖神經網絡中 [3]。作者基于注意力二階池化，定義了多頭注意力二階池化（SOPOOLmattn）。
定義4（多頭注意力二階池化）
（16）式定義了一個 k 頭注意力二階池化，設 ，則（16）式等價于：
（15）式也可以從層次圖池化（hierarchical graph pooling）的角度加以解釋。所謂層次圖池化，是指將一個有 n 個節點的圖聚類為 k 個簇（即轉化為一個有 k 個節點的圖，其中 k<n），多次重復這一過程，直到 k=1，這個單節點圖的節點表示向量，就是圖的表示向量，這一思想已經在多種圖池化方法中得到應用 [4][5]。這一過程可以表示為：
在本文提出的多頭注意力二階池化中，H' 的計算如（15）式，而鄰接矩陣則可以這樣計算：令：
則：
實驗
作者在 10 個圖分類數據集上做了實驗，包括 3 個化合物分類數據集（MUTAG, PTC, NCI1），2 個蛋白質分類數據集（DD, PROTEINS）和 5 個社交網絡分類數據集（COLLAB, IMDB-BINARY, IMDB-MULTI, REDDIT-BINARY, REDDIT-MULTI5K）。這里，作者使用圖同構網絡（GIN）[6] 作為進行池化前的 GNN 模型。
在表 1 中，作者對比了 SOPOOLbimap, SOPOOLattn, SOPOOLmattn 與其他圖分類方法，包括基于圖核（graph kernel）[7] 的方法和基于 GNN 的方法。
在表 2 中，作者在都使用圖同構網絡（GIN）[6] 作為進行池化前的 GNN 模型的前提下，對比了SOPOOLbimap, SOPOOLattn, SOPOOLmattn 與其他圖池化方法。
在表 3 中，作者使用不同的 GNN 作為進行池化前的 GNN 模型，結果表明，使用GIN-0 [6] 的效果最好。
在表 4 中，作者對比了 SOPOOLmattn 和不同的基于層次圖的圖池化算法。在表 5 中，作者對比了 SOPOOLmattn 在不同層數下的表現。
表 1，表 2 和表 4 體現了本文所提出的 SOPOOL 在圖分類任務上超越了現有了 SOTA 方法，體現出卓越的性能，表 3 和表 5 則為優化 SOPOOL 的結構提供了參考。
參考文獻
[1]?Z. Wang and S. Ji, Second-Order Pooling for Graph Neural Networks, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2020.
[2]?A. Vaswani, N. Shazeer, N. Parmar, J. Uszkoreit, L. Jones, A. N. Gomez, L. Kaiser, and I. Polosukhin, Attention is all you need, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2017, pp. 5998–6008.
[3]?P. Velickovic, G. Cucurull, A. Casanova, A. Romero, P. Lio, and Y. Bengio, Graph attention networks, in International Conference on Learning Representations, 2018.
[4]?Z. Ying, J. You, C. Morris, X. Ren, W. Hamilton, and J. Leskovec, Hierarchical graph representation learning with differentiable pooling, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2018, pp. 4800–4810.
[5]?H. Gao and S. Ji, Graph U-Net, in International Conference on Machine Learning, 2019.
[6]?K. Xu, W. Hu, J. Leskovec, and S. Jegelka, How powerful are graph neural networks, in International Conference on Learning Representations, 2019.
[7]?N. Shervashidze, P. Schweitzer, E. J. v. Leeuwen, K. Mehlhorn, and K. M. Borgwardt, “Weisfeiler-Lehman graph kernels,” Journal of Machine Learning Research, vol. 12, no. Sep, pp. 2539–2561, 2011.
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