我們學高等數學無窮級數里面有一個重要的級數叫做傅里葉級數，這個級數表述起來非常復雜，不好理解，很多人也是看到這個級數感覺摸不著頭腦，被一長串公式嚇到了，這里將通俗講解傅里葉級數。

傅里葉級數是周期函數一個級數，對于一個滿足一定條件的周期為T的周期函數f(t)，可以分解為以下形式：

簡單來講，傅里葉級數就是將一個周期函數分解為一系列正余弦函數的線性組合，看公式還是不好理解，舉個例子，下圖就是某周期函數分解出的四個正弦曲線，最上面那個頻率最小的波稱之為基波，第二條正弦曲線的頻率為基本的兩倍，第三條曲線的頻率是基波的三倍，以此類推，周期函數還可以分解成很多正弦函數，頻率倍數依次遞增，通過圖像可以直觀看出每條曲線的振幅和相位。

那么，為什么要干這么麻煩的事呢？數學家閑著沒事搞這些復雜的東西來干啥呢？這就要介紹一下分解在我們生活中的應用，我們在學高中物理時要經常要將力進行分解，這樣做的目的是分析物體在不同方向上的受力特征，并且分析該力會產生什么效果，同樣，我們的耳朵聽到的聲音就是一個關于時間的信號，這些聲音是由很多聲音疊加而成的，我們的大腦在接收聲音信號后會將這個信號分解，于是我們就會識別聲音中有哪些是人的說話聲，哪些是動物的叫聲，哪些是汽車聲音，哪些是噪音，于是我們就能得到對我們有用的信息，電子設備同樣可以分解信號獲得有用的信息，甚至可以過濾無用的信息。總之，分解對于信息的處理是很重要的。

既然分解的應用很重要，那么為什么要將周期函數分解為三角函數呢？為什么不分解為簡單的周期函數呢？比如這樣的鋸齒波：

這里就要討論正余弦函數的特殊性質，正余弦函數的微分和積分運算的結果以及同頻率的正余弦函數的線性運算結果仍然還是正余弦函數，周期即頻率不變，只有振幅和相位會發生變化，這叫做運算的形式不變性，而鋸齒波、方波等不具有這樣的性質，廣義來講復指數函數的運算具有形式不變性，正余弦函數是復指數函數中的一類。對于一個已知結構的系統，如果輸入信號是正余弦信號，那么輸出信號也是正余弦信號，并且很容易計算出來，對于線性系統來說，如果輸入信號是周期信號，那么將它分解為正余弦信號，然后分別求解這些分量的輸出信號，最后再線性疊加，就可以得到最終的輸出信號。比如：

既然理解了傅里葉分解的重要性，那么傅里葉級數是如何來的呢？接下來講傅里葉級數的推導過程，如果一個余弦函數為f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一個余弦函數cos2ω0t，角頻率為2ω0，周期也是T，余弦函數cosnω0t，角頻率為nω0，周期也是T，正弦函數也具有相同的性質。根據周期函數的性質，周期相同的周期函數的線性組合也是同周期的函數，比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期為T=2π/ω0的周期函數，在加上一個常數也是如此，即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期為T=2π/ω0的周期函數。根據這種思想，我們將所有周期相同但頻率不同的正余弦函數組合在一起，構造成一個無窮級數：

這樣的一個函數就是周期為T=2π/ω0的周期函數，其中，C為常數，an和bn為各頻率余弦與正弦的系數，只要改變常數和各系數就可以表示不同的周期為T的函數。既然三角函數可以組合為周期函數，那么反過來，一個周期已知的周期函數是否可以這樣分解呢？如果可以分解，那么只要計算出常數和各系數就可以分解出來，那么，計算常數和各系數就是一個關鍵問題。

要計算常數和各系數，首先要了解一些三角函數積分特征，如下，其中，n,m為正整數，T=2π/ω0。

將周期函數f(t)做一個積分：

于是，我們通過這樣的一個積分，把常數項給算出來了，接下來計算各頻率余弦的系數，構造一個積分：

上式中，如果n=0，那么

接下來就是計算各頻率正弦系數，構造積分：

通過這方法，我們就能計算常數和所有的系數，這樣一來，傅里葉級數的表達式就推導出來了，然而，不是所有的周期函數都可以這樣分解，必須滿足一定條件：在一個周期內絕對可積、第一類間斷點數量有限、極值點有限、不存在第二類間斷點，正切函數就不滿足這個條件，所以雖然正切函數是周期函數，但不能分解為傅里葉級數。

也許有些人有疑問，鋸齒波可以分解為傅里葉級數，但是鋸齒波存在很多“折點”，函數圖像中的“折點”是不可導的，而傅里葉級數是正余弦函數構成的，我們知道，正余弦函數在整個實數域都是可導的，那么這是否就矛盾呢？其實要解釋這個問題不難，舉個例子，有限個有理數之和一定是有理數，如果是無限個有理數之和呢？比如：

對于傅里葉級數，同樣可以這樣理解，有限個正余弦函數的線性組合，依然是實數域可導的，但無限個正余弦函數的線性組合，就可能會存在不可導點，這是無窮級數的一個特殊性質。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的周期三角波傅里叶级数例题_如何理解傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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