正N邊型的完全圖被分割成幾個多邊形？

這篇文章被分為四個部分

一、知識鋪墊

二、在不允許對角線重合的情況下，N邊形可以分為多少個多邊形

三、正N邊形可以分為多少個圖形

四、附錄（在附錄進(jìn)行總結(jié)）

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一、知識鋪墊

1.組合數(shù)公式(Combinatorial Number Formual)

這個公式用于示意在

個元素中，取 個元素，共有多少種取法。

2.歐拉示性數(shù)公式(Euler's Characteristic Formual)

柯西的證明

其中

即

是頂點的意思， 是面的意思， 是棱（邊）的意思。

這個公式表示了三維幾何體內(nèi)各個元素的關(guān)系，亦表示了平面內(nèi)各個元素的關(guān)系，這是由于你可以把一個平面圖看作底面為平面的三維幾何體的俯視圖。

在平面內(nèi)， 的數(shù)量要加上圖形外的一個面， 會被交點分割，如下圖

歐拉示性數(shù)公式

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二、在不允許三個及以上的對角線相交于一點的情況下，N邊形可以分為多少個多邊形

這個問題很類似于分圓問題，感興趣的小伙伴可以去看一看。

我們把這個問題簡化一下，就引出以下兩個問題：

1.N邊形（非正）的完全圖有多少條線（不包括邊）？

2.N邊形（非正）的完全圖有多少個點（不包括頂點）？

3.第1問中所得得線被第2問中所得得點分為幾段？

解決前兩個問題還是很簡單的。

兩點連成一線，我們在

個點中選取 個點連成一條線，即每個線都可以用一個二元數(shù)表示，在 個元素中選取 個元素任意組合，那么有

兩線交于一點，但是并不是所有的線都交與N邊形內(nèi)，如下圖

不應(yīng)該的點L

我們可以讓每一個交點都對應(yīng)一個四元數(shù)，即一組直線（兩個直線）的每個端點為一元，四元即可對應(yīng)一個交點，即在

個元素選取 個元素任意組合，我們就有了

Then, 來求邊的數(shù)量。

每增加一個交點等價于增加兩條邊，每個交點由已知的直線構(gòu)成，然后這兩個直線又被分成四小份。

For Instance,

條線（線段）交于 點，會被分割成 ，也就是 小段。

3線2點 圖片來源于 分圓問題

條線交于 點，會被分割成 ，也就是 小段

4線3點 圖片來源于 分圓問題

在我們的圖像中，

條線交于 個點，那么有

根據(jù)歐拉示性數(shù)公式，有

展開一下，得到

由于我們只關(guān)注多邊形以內(nèi)的部分，我們在最后的結(jié)果上減去

，那么N邊形（非正）完全圖就被分為了 個多邊形。

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三、正N邊形可以分為多少個圖形

由于正奇邊形不會有三個及以上的連線交于同一點，如此，正奇邊形的完全圖便完解了。

正偶邊形呢？

正六邊形完全圖

Generally Speaking, 正偶邊形都會有若干條線交與同一點。

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（這可真不是一個簡易的解法 >_<）

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Now, 思考另一個問題，如果

條直線交于 點，隨后使其均不交于 點，會多出來多少個面？

答案是

，如下圖

同時交于1點的4條直線段

均不交于1點的4條直線段

That's So Easy, 但又引出一個問題：正偶邊形的特殊交點數(shù)目各幾何？

我們現(xiàn)在把由大于等于

條線的同一交點叫做特殊交點，并將其表示為 ，其中 為交點數(shù)量，該類交點由 條直線同時相交構(gòu)成。

接著引出以下函數(shù)

通過統(tǒng)計得到：

正四邊形

正六邊形

正八邊形

正十邊形

正十二邊形

正十四邊形

現(xiàn)在令

我們自然而然地對

展開討論。

很明顯，想要知道

，有必要從簡單問題入手，可以先討論 。

為了討論正偶邊形，我們引入一個函數(shù)

是個判斷類型的函數(shù)，可以給出它的簡易計算式

對于正偶邊形，均有

例如正十邊形與正十四邊形，他們有

，不過特殊的是，他們除數(shù)為不為 的偶數(shù)。

對于這類僅有（除數(shù)為偶數(shù)）

的正偶邊形的完全圖僅有過中心的直線上的交點，又分為兩種——

正十四邊形完全圖局部

我們對

進(jìn)行分析——

當(dāng)

條直線均不交于 點時，共有 個交點，比起 條直線同時交于 點，多了 個交點。

那么對于僅有（除數(shù)為偶數(shù)）

的這類正偶邊形，有

現(xiàn)在令

參考數(shù)據(jù)

將

和圖片中參考數(shù)據(jù)帶入得到

（

的數(shù)值僅為假設(shè)數(shù)值，作為逆推關(guān)系式的工具，并不為真實數(shù)值）

我們可以猜測

的數(shù)值與 的數(shù)值有關(guān)，就令

將

的數(shù)值與其對應(yīng) 的數(shù)值分別帶入得到一個方程組——

解得

最終發(fā)現(xiàn)

于是可以得出與

的積項為

用同樣的方法便可以得出與

、與 的積項等。

值得一提的是，在下面的文章中，也提到了

時，內(nèi)心角平分線上的交點個數(shù)一般等于過中心點的對角線上的交點個數(shù)，原因固然與此有關(guān)。

https://wenku.baidu.com/view/978b3eb1f111f18583d05abd.html

In Addition, 如果你對統(tǒng)計情有獨鐘的話，我認(rèn)為上面的文章會幫助到你。

Luckily, 我從OEIS得到了一個公式來計算以計算正N邊形構(gòu)成點數(shù)目的計算公式：

由于公式太長，為了能讓手機(jī)用戶看到，我把他分成了七行。

可以用同樣的方法得到

我有一個對這個命題十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。[手動滑稽]

Okay, 根據(jù)歐拉示性數(shù)公式，我們最終得出

那么 ，正N邊形完全圖就被分為了

個多邊形。

Interestingly, 即使在正偶邊形中，總交點的個數(shù)也并不隨著N的增大而嚴(yán)格單調(diào)增。

For Example, 正二十八邊形內(nèi)交點個數(shù)為

個，而正三十邊形內(nèi)交點個數(shù)為 個。

我最后準(zhǔn)備了一片Python代碼來計算它，如下

# Creating By KebRainydef delta(m,n):if n % m == 0:return 1return 0def vertex(n):return (n**4 - 6*n**3 + 11*n**2 + 18*n)/24 + (-5*n**3 + 45*n**2 - 70*n + 24)*delta(2,n)/24 - (3*n/2)*delta(4,n) + (-45*n**2 + 262*n)*delta(6,n)/6 + 42*n*delta(12,n) + 60*n*delta(18,n) + 35*n*delta(24,n) - 38*n*delta(30,n) - 82*n*delta(42,n) - 330*n*delta(60,n) - 144*n*delta(84,n) - 96*n*delta(90,n) - 144*n*delta(120,n) - 96*n*delta(210,n)def face(n):return (n**4 - 6*n**3 + 23*n**2 - 42*n + 48)/24 + delta(2, n)*(-5*n**3 + 42*n**2 - 40*n - 48)/48 - delta(4, n)*(3*n/4) + delta(6, n)*(-53*n**2 + 310*n)/12 + delta(12, n)*(49*n/2) + delta(18, n)*(32*n) + delta(24, n)*19*n - delta(30, n)*36*n - delta(42, n)*50*n - delta(60, n)*190*n - delta(84, n)*78*n - delta(90, n)*48*n - delta(120, n)*78*n - delta(210, n)*48*ndef edge(n):return (2*n**4 - 12*n**3 + 34*n**2 - 24*n)/24 + delta(2, n)*(-5*n**3 + 44*n**2 - 60*n)/16 - delta(4, n)*(9*n/4) + delta(6, n)*(-143*n**2 + 834*n)/12 + delta(12, n)*(133*n/2) + delta(18, n)*(92*n) + delta(24, n)*54*n - delta(30, n)*74*n - delta(42, n)*132*n - delta(60, n)*520*n - delta(84, n)*222*n - delta(90, n)*146*n - delta(120, n)*222*n - delta(210, n)*146*nn = int(input("請輸入要解析的正N邊形: N=")) print("正 %d 邊形完全圖點統(tǒng)計為: %d " % (n, vertex(n))) print("正 %d 邊形完全圖面統(tǒng)計為: %d " % (n, face(n))) print("正 %d 邊形完全圖棱統(tǒng)計為: %d " % (n, edge(n)))

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四、附錄

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這個問題來源于：

正n邊型的完全圖被分割成幾個多邊形？?www.zhihu.com

參考資料：

http://www.bilibili.com/video/av19849697

http://oeis.org/A007678

http://oeis.org/A006561

http://oeis.org/A135565

https://wenku.baidu.com/view/978b3eb1f111f18583d05abd.html

At Last, 喜歡小雨可白的小伙伴可以點一下關(guān)注，よろしくお願い！

KebRainy

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的n阶完全图边和顶点关系。_正N边型的完全图被分割成几个多边形的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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