題目描述

JOHNKRAM?最近在研究集合。他從 $[1,2n]$ 中任選了 $n$ 個不同的整數(shù)，組成了 $\binom{2n}{n} $ 個不同的集合。現(xiàn)在他想知道，在這些集合中，有多少個集合含有偶數(shù)個偶數(shù)？答案可能很大，你只需要告訴他答案 $\text{mod}\ 1000003$ 的結果即可。

$n\le 10^{18}$ 。

題解

結論題+Lucas定理

結論：

1. 當 $n$ 為奇數(shù)時，答案為 $\frac{\binom{2n}{n}}2$ ；

2. 當 $n$ 為偶數(shù)且為 $4$ 的倍數(shù)時，答案為 $\frac{\binom{2n}{n}+\binom{n}{\frac n2}}2$ ；

3. 當 $n$ 為偶數(shù)且不為 $4$ 的倍數(shù)時，答案為 $\frac{\binom{2n}{n}-\binom{n}{\frac n2}}2$ ；

我不會證明...打表打出來的...

然后使用Lucas定理求組合數(shù)即可。

另外本題好像還可以用數(shù)位dp來做

1 #include <cstdio> 2 #define mod 1000003 3 #define inv2 500002 4 typedef long long ll; 5 ll fac[mod] , inv[mod] , fin[mod]; 6 ll C(ll n , ll m) 7 { 8 if(n < m) return 0; 9 else if(n <= mod) return fac[n] * fin[m] % mod * fin[n - m] % mod; 10 else return C(n / mod , m / mod) * C(n % mod , m % mod) % mod; 11 } 12 int main() 13 { 14 ll n; 15 int i; 16 fac[0] = fac[1] = inv[1] = fin[0] = fin[1] = 1; 17 for(i = 2 ; i < mod ; i ++ ) 18 { 19 fac[i] = fac[i - 1] * i % mod; 20 inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; 21 fin[i] = fin[i - 1] * inv[i] % mod; 22 } 23 scanf("%lld" , &n); 24 if(n & 1) printf("%lld\n" , C(2 * n , n) * inv2 % mod); 25 else if(n & 2) printf("%lld\n" , (C(2 * n , n) - C(n , n / 2) + mod) * inv2 % mod); 26 else printf("%lld\n" , (C(2 * n , n) + C(n , n / 2)) * inv2 % mod); 27 return 0; 28 }

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總結

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