《轉》探討:3D透視投影變換詳解-兼談視平面和屏幕的寬高比問題

原文：http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2006/09/17/509598.html

感覺很多書上都沒講清楚透視投影變換的推導過程,自己推導了下,以前一直含糊的關于方形/非方形的視平面和屏幕的寬高比的問題也有了答案.本文組織如下：

1.相機空間到視平面的變換
2.視平面到屏幕的變換
3.綜合
4.一般情形

1.相機空間到視平面的變換

?????????????????????? * p (xc,0, zc)
???????????????????? ?/ |
??????????????????? ?/? |
?????????????????? ?/?? |
?????????? X??? |/???? |
?????????? ^???? *p' |(xp,0,zp)
?????????? |?? / |????? |
?????????? |? /? |???? ?|
?????????? | /?? |???? ?|
C(cam)?|/??? |???? ?|
--------*----|----*------------->Z
?????????? 0??? dx?? zc
???? (X-Z平面的投影示圖)

a.透視投影一般的視景體為棱臺，相機空間的物體會投影到視平面z=d，這里考慮左手坐標系，矩陣使用行優先方式。如圖所示，由相似三角形知識可知相機空間中的物體投影到視平面上的坐標為：

xp = xc*(dx/zc)
yp = yc*(dy/zc)

其中,xc,yc,zc為相機空間坐標,xp,yp,zp為視平面坐標，dx，dy為x,y軸向的視距view distance，視平面到camera的距離,
故相機空間投影到視平面上的矩陣Tcp為：

|dx 0? 0 0? |

|0? dy 0 0? |

|0? 0?? 1 1? |

|0? 0?? 0 0? |

(驗證:Tcp右乘點p(xc,yc,zc,1)得點p'(xc*dx, yc*dy, zc, zc),轉換為3D坐標為(xc*dx/zc, yc*dy/zc, 1),正確。)

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注：因為轉換過程中點使用的是4D齊次坐標,所以最后需轉換為3D坐標。4D齊次坐標(x,y,z,w)轉換為3D坐標的方法為除以w分量，即對應3D坐標為(x/w,y/w,z/w)。
********************************************************************

考慮dx/zc和dy/zc項，如果dx != dy,則投影后x,y的比例會發生變化（原因：投影前坐標比例為xc/yc,投影后為xp/yp = xc*(dx/zc)/yc*(dy/zc) = xc*dx/yc*dy），從而投影后的圖像的x,y比例會發生變形。

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結論1：所以，一般都會令d=dx=dy,即x,y向的視距相同。否則，圖像失真。
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于是，相機到投影平面的透視投影變化矩陣為

|d? 0 0 0 |

|0? d 0 0 |

|0? 0 1 1 |

|0? 0 0 0 |

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擴展話題1：這個矩陣是如何得出的？
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其實這里有個技巧： 根據方程組
xp = xc*(d/zc)
yp = yc*(d/zc)
zp = ?

原來變換矩陣應該是這樣的：Tcp=
|d/zc 0? 0 0 |

|0? d/zc 0 0 |

|0? 0??? k 0 |

|0? 0??? b 1 |

（其中，k,b 可以為任意值，因為投影變換后z值無所謂）

驗證：
轉換為齊次坐標：(xc yc zc 1)*Tcp = (x' y' z' w') = (xc*d/zc, yc*d/zc, k*zc+b, 1*1)
轉換為3D坐標： (x'/w' y'/w' z'/w') = (xc*d/zc, yc*d/zc, k*zc+b) ------（式1）
正確。

簡化1：
我們可以發現可以將zc放到齊次坐標轉換到3D坐標的時候考慮，即令w'=zc,這樣，
轉換為齊次坐標：(xc yc zc 1)*Tcp = (x' y' z' w') = (xc*d yc*d k*zc+b 1*zc)
轉換為3D坐標： (x'/w' y'/w' z'/w') = (xc*d/zc, yc*d/zc, (k*zc+b)/zc) -------可以看到

變換后x,y坐標和（式1）一樣，但是，矩陣Tcp就可簡化了：

|d 0? 0 0|

|0? d 0 0|

|0? 0 k 1|

|0? 0 b 0|

簡化2：將d考慮到齊次坐標轉換為3D坐標中去，令w'=zc/d
轉換為齊次坐標：(xc yc zc 1)*Tcp = (x' y' z' w') = (xc*1 yc*1 k*zc+b 1*zc/d)
這樣轉換為3D坐標： (x'/w' y'/w' z'/w') = (xc*d/zc, yc*d/zc, (k*zc+b)*d/zc) -------

可以看到變換后x,y坐標和（式1）一樣，但是，矩陣Tcp就可簡化了：
|1 0 0 0? |

|0 1 0 0? |

|0 0 k 1/d|

|0 0 b 0? |


特別地，令k=1,b=0,還可進一步簡化成:

|d? 0 0 0|

|0? d 0 0|

|0? 0 1 1|

|0? 0 0 0|

(此即上面使用的矩陣，此時z被變換為1/z)

以及：

|1 0 0 0? |

|0 1 0 0? |

|0 0 1 1/d|

|0 0 0 0? |

(此時z被變換為d/z)

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擴展話題2：為什么DX/OGL中的投影矩陣這么復雜？
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我們知道DX和OGL使用的投影矩陣要復雜的多。為什么呢，因為DX/OGL會將相機可見范圍(frustum)內所有的點經過

投影變換后線性映射到一個單位空間內，這個空間是：
DX:x={-1,1},y={-1，1}，z={0,1}
OGL:x={-1,1},y={-1，1}，z={-1,1}
(其中frustum為由right,left,top, bottom, near, far構成的一個可見空間-六面體,投影平面為near

平面，所以視距d = near)


經過投影變換Tcp=
|d 0? 0 0|

|0? d 0 0|

|0? 0 k 1|

|0? 0 b 0|
后，坐標轉換為(xc*d/zc, yc*d/zc, (k*zc+b)/zc)，現在的問題就是如何將(xc*d/zc, yc*d/zc, (k*zc+b)/zc)線性映射到這個空間？

方法：
DX:
對于x，將x'= xc*d/zc從{left,right}線性映射到{-1,1}
簡單，構造線性映射x''=kx'+ b, 將邊界值代入得k=2*d/(r-l)=2*n/(r-l),b=-(r+l)/(r-l).
對于y，同理k=2*d/(t-b)=2*n/(t-b),b=-(t+b)/(t-b).
對于z，將z'=(k*zc+b)/zc從{near,far}映射到{0,1}
代入邊界值得k=f/(f-n),b=-f*n/(f-n)

所以最終矩陣Tcp（dx）=

|2*n/(r-l)???? 0??????????? 0????????? 0|

|0???????????? 2*n/(t-b)??? 0????????? 0|

|-(r+l)/(r-l)? -(t+b)/(t-b) f/(f-n)??? 1|

|0???????????? 0??????????? -f*n/(f-n) 0|

這個即是DX使用的投影矩陣。

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?

考慮視角（view angle,或視野filed of view）的問題，視角的大小不會影響到物體投影后的坐標，只會影響可視的范圍。

在視距一樣的情況下，x,y軸的視角可以不一樣。如果一樣，那么視平面就是一個正方形的。于是有：

tan(theta_x/2) = width_p/d
tan(theta_y/2) = height_p/d?

其中，theta_x，theta_y為x,y軸向的視角，width_p，height_p為視平面z=d的寬度（x軸）和高度(y軸)。
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結論2：視平面的寬高比rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)。
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2.視平面到屏幕的變換

下面就是視平面到屏幕的變換了，這是一個2D到2D的變換（視平面的坐標需伸縮以填滿整個屏幕空間,即在視平面中出現的所有的點要變換到屏幕上去， 同時x,y軸向的比例還要維持和變換前一樣，以免比例失真，同時視平面的坐標原點和屏幕中心點（x0=(width_s)/2, y0=(height_s)/2）對應），其實，就是一個坐標縮放加平移的過程:

xs = xp*kx + x0
ys = -yp*ky + y0
?
矩陣Tps為：

|kx???? 0??????0 0? |

|0????? -ky????0 0? |

|0????? 0?????? 1 0? |

|x0?? y0??????0 1? |

(驗證:Tps右乘點p(xp,yp,zp,1)得點p'(xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp, 1),轉換為3D坐標為(xp*kx + x0, -yp*ky + y0, zp)，正確。)

其中，kx,ky(kx>0,ky>0)為x,y軸向的縮放因子（kx=(width_s)/(width_p)， ky = (height_s)/(height_p），和視距相同，kx,ky的值必須一樣，否則圖像的x,y比例又會發生變形。這里-yp*ky是因為一般屏幕 的y軸是向下的，跟相機空間和視平面坐標系中的y軸方向相反。
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結論3: 一般令k=kx=ky，即x,y向的縮放因子相同。否則，圖像失真。
于是有，width_s/width_p = height_s/height_p，變化等式得，rp = width_p/height_p = width_s/height_s = rs
所以，在x,y軸視距一樣的情況下，要想最后變換到屏幕上的圖像x,y比例不失真，必須rp=rs,即視平面的寬高比和屏幕的寬高比一樣。
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注：若屏幕寬高為W,H，當W != H，即屏幕不為方形的時候，要確保投影到屏幕上的圖像x,y比例不失真，則x,y軸視角(或視野FOV)肯定不能相等。
原因： 由結論2,3知，rp=width_p/height_p = tan(theta_x/2)/tan(theta_y/2)=width_s/height_s=rs=W/H。 故由W/H != 1 => theta_x != theta_Y.
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擴展話題3：DX/OGL中的投影平面到屏幕的變換矩陣是怎樣的？
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因為已經投影平面上的坐標已經映射到{-1,1},{-1,1},{0,1}/{-1,1}
所以kx=W/2,ky=H/2,x0=W/2,y0=H/2,z的變換無所謂。

Tps(dx) =

|W/2 0?????? 0 0? |

|0????? -H/2 0 0? |

|0????? 0??? 1 0? |

|W/2???? H/2 0 1? |?

?

3.綜合：

相機空間點p轉換到屏幕空間點p'，變換公式為：

xs = xc*(dx/zc)*kx + x0 = xc*(d/zc)*k + x0
ys = -yc*(dy/zc)*ky + y0 = -yc*(d/zc)*k + y0

綜合變換矩陣(相機空間到屏幕空間)Tcs為：
?
Tcs = Tcp*Tps =

|d*k??? 0?????? 0 0? |

|0????? -d*k??? 0 0? |

|x0???? y0????? 1 1? |

|0????? 0???????? 0? 0|

?其中，d為視距，k為屏幕和視平面之間的寬度比或高度比，x0,y0為屏幕中心，注：最后需轉換為3D坐標。

(驗證:Tcs右乘點p(xc,yc,zc,1)得點p'(xc*d*k + x0*zc, -yc*d*k + y0*zc, zc, zc),轉換為3D坐標為(xc*(d/zc)*k + x0, -yc*(d/zc)*k + y0, 1)，正確。)

4.一般情形：
?************************************
視距為1，x軸視角為90度，屏幕寬高為W,H.
************************************
?
代入d=1，theta_x = PI/2,x0= W/2,y0=H/2,則視平面寬高為width_p = 2。
要確保屏幕上的圖像x,y比例不失真，即rs=rp,有
height_p = 2/rp=2/rs=2H/W,
k=kx=ky=width_s/width_p = W/2.

于是,矩陣為:

Tcs1 =?

|W/2??? 0?????? 0 0? |

|0????? -W/2??? 0 0? |

|W/2??? H/2?? 1 1? |

|0????? 0???????? 0 0? |

或

?? |W/2??? 0????????????????? 0 0? |

|0????? -H/2*(W/H)??? 0 0? |

|W/2??? H/2????????????? 1 1? |

|0????? 0?????????????????? ?0 0? |

(可以看到，y軸的縮放因子中乘上了寬高比(aspect ratio))
?這個矩陣較常用。


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擴展話題4：DX/OGL中的相機到屏幕的變換矩陣和這個一致么？
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Tcs(dx)=Tcp（dx）*Tps(dx)=

|W*n/(r-l)???? 0???????????? 0????????? 0|

|0???????????? -H*n/(t-b)??? 0???????? 0|

|-W*l/(r-l)??? -H*b/(t-b)??? f/(f-n)??? 1|

|0???????????? 0??????????? -f*n/(f-n) 0|

n=1,r=1,l=-1t=1,b=-1代入：

|W/2????????? 0????????? 0???????? 0|

|0??????????? -H*/2????? 0???????? 0|

|W/2????????? H*/2?????? f/(f-1)?? 1|

|0???????????? 0???????? -f*/(f-1) 0|
?

有什么問題,歡迎探討.

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posted on 2012-04-08 10:59 Wayne Cheng 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的《转》探讨:3D透视投影变换详解-兼谈视平面和屏幕的宽高比问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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